二叉搜索树 - 技术栈

一. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树（因为这里可以发现当我们对二叉搜索树进行中序读取的时候，它就是一个升序的排列），它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树（二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。）:

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
它的左右子树也分别为二叉搜索树。

二. 二叉树搜索树的性能分析

2.1 性能的分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N，最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N ，所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O (N)。那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

2.2 二叉搜索树的实现

在我们实现二叉搜索树之前我们要先掌握一些基本的小知识点，那就是怎么去插入，怎么去查找以及删除等等，让我们用这些知识先打个热身吧！

2.2.1二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。

树不空，按二叉搜索树性质，插容易值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。

如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）。

2.2.2 二叉搜索树的查找

当我们要查找一个数据x的过程：

首先和跟比较，如果大于根节点向右找，如果小于根节点想左找，如果等于根节点就返回跟节点。

查找最多次为高度次，如果还未找到就是该值不存在。

如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。

2.2.3 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩子均为空（把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的）。

要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空。

要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空（把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点）

要删除的结点N左右孩子结点均不为空（无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。）

2.2.4 代码的实现

在代码实现这一步骤中，我们可以一步步来，首先要想写出一个二叉搜索树那就要有节点，先写出一个节点的代码：

cpp 复制代码

template<class K>
struct BSTNode  //二叉树搜索树节点
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}
};

然后利用这个节点来完成二叉搜索树的代码编写，首先我们怎么去实现插入呢，这个相对来说是比较简单的，我们可以根据2.2.1中的方法来实现：

cpp 复制代码

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K> Node;
public:
	bool Insert(const K& key)
	{
		//树为空的情况
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)  //寻找一个空节点进行插入
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key < key)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;

	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

下面就是二叉搜索树的查找和删除，同样是根据我们2.2.2和2.2.3中说的情况，一步步实现我们的代码：

cpp 复制代码

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}
	return false;
}

cpp 复制代码

	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				// 0-1个孩子的情况
				// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变父亲对应孩子指针指向即可
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent == nullptr)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
					return true;
				}
				else
				{
					// 2个孩子的情况
					// 删除情况4，替换法删除
					// 假设这里我们取右子树的最小结点作为替代结点去删除
					// 一定要把cur给rightMinP，否会报错。
					Node * rightMinP = cur;
					Node* rightMin = cur->_right;
					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinP = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					cur->_key = rightMin->_key;
					if (rightMinP->_left == rightMin)
						rightMinP->_left = rightMin->_right;
					else
						rightMinP->_right = rightMin->_right;
						delete rightMin;
						return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}