【图论 组合数学】P10912 [蓝桥杯 2024 国 B] 数星星|普及+

闻缺陷则喜何志丹2025-12-13 12:06

本文涉及知识点

组合数学汇总
C++图论

P10912 [蓝桥杯 2024 国 B] 数星星

题目描述

小明正在一棵树上数星星，这棵树有 n n n 个结点 1 , 2 , ⋯   , n 1, 2,\cdots, n 1,2,⋯,n。他定义树上的一个子图 G G G 是一颗星星，当且仅当 G G G 同时满足：

  1. G G G 是一棵树。
  2. G G G 中存在某个结点，其度数为 ∣ V G ∣ − 1 |V_G| - 1 ∣VG∣−1。其中 ∣ V G ∣ |V_G| ∣VG∣ 表示这个子图含有的结点数。

两颗星星不相同当且仅当它们包含的结点集合 V G V_G VG 不完全相同。小明想知道这棵树上有多少颗不同的星星包含的结点的数量在区间 [ L , R ] [L, R] [L,R] 中，答案对 1000000007 1000000007 1000000007 取模。

输入格式

输入共 n + 1 n + 1 n+1 行。

第一行为一个正整数 n n n。

后面 n − 1 n - 1 n−1 行，每行两个正整数表示树上的一条边。

第 n + 1 n + 1 n+1 行，两个正整数 L , R L, R L,R。

输出格式

输出共 1 1 1 行，一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

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6
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 4

输出 #1

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6

说明/提示

【样例说明】

包含 3 3 3 个结点的星星有 5 5 5 个，它们的结点集合分别为 { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} {1,2,3}， { 1 , 2 , 4 } \{1, 2, 4\} {1,2,4}， { 1 , 2 , 5 } \{1, 2, 5\} {1,2,5}， { 2 , 4 , 5 } \{2, 4, 5\} {2,4,5}， { 1 , 3 , 6 } \{1, 3, 6\} {1,3,6}。

包含 4 4 4 个结点的星星有 1 1 1 个，它的结点集合为 { 1 , 2 , 4 , 5 } \{1, 2, 4, 5\} {1,2,4,5}。

【评测用例规模与约定】

对于 20 % 20\% 20% 的评测用例，保证 n ≤ 20 n \le 20 n≤20。

对于 100 % 100\% 100% 的评测用例，保证 n ≤ 1 0 5 n \le 10^5 n≤105， 1 ≤ L ≤ R ≤ n 1 \le L \le R \le n 1≤L≤R≤n。

图论 数论

如果G只有一个节点，则一定是星星。

如果G是2个节点u、v，即一条边。也一定是星星。

如果节点数N1>2，则一定只有一个根。因为N1个节点的树，只能有N1-1条边。第二个根不能新增边。

枚举各节点cur为根的星星数量：

如果cur有x个临接点，则从中选择任意个，共 2 x 2^x 2x种。

累加再扣掉边数，两个节点都可以是根。

由于本题是限制节点数[L,R]，则选择[L-1,R-1]个临接点。

枚举节点时间复杂度：O(n)，枚举临节点数量时间复杂度O(n)，总时间复杂度：O(nn)，超时。

如果x个节点的度数是y，则处理一次后乘以x。
时间复杂度 ： O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )。最多 n \sqrt n n 种度数。所有的度数之和是边数 × 2 \times 2 ×2

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this *= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};

class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& [u, v, w] : edges)
		{
			vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};

template<class T >
class CFactorial
{
public:
	CFactorial(int n) :m_res(n + 1) {
		m_res[0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
		}
	}
	T Com(int iSel, int iCanSel)const {
		return m_res[iCanSel] / m_res[iSel] / m_res[iCanSel - iSel];
	}
	T Com(const vector<int>& cnt)const {
		T biRet = 1;
		int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
		for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {
			biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);
			iCanSel -= cnt[j];
		}
		return biRet;
	}
	vector<T> m_res;
};

template<class Result = C1097Int<> >
class CCombination
{
public:
	CCombination()
	{
		m_v.assign(1, vector<Result>(1, 1));
	}
	Result Get(int sel, int total)
	{
		assert(sel <= total);
		while (m_v.size() <= total)
		{
			int iSize = m_v.size();
			m_v.emplace_back(iSize + 1, 1);
			for (int i = 1; i < iSize; i++)
			{
				m_v[iSize][i] = m_v[iSize - 1][i] + m_v[iSize - 1][i - 1];
			}
		}
		return m_v[total][sel];
	}
protected:
	vector<vector<Result>> m_v;
};

class Solution {
public:
	int Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& edge, int L, int R) {
		L--, R--;
		typedef C1097Int<> BI;
		vector<int> d(N + 1);
		vector<bool> vis(N + 1);
		vector<BI> cnt(N);
		for (const auto& [u, v] : edge)
		{
			d[u - 1]++, d[v - 1]++;
		}
		CFactorial<C1097Int<>> fac(N);
		auto Cal = [&](int d) {
			if (vis[d]) { return cnt[d]; }
			vis[d] = true;
			BI res = 0;
			for (int i = L; i <= min(R, d); i++)//对于每个i，d个点中选i-1个的结果数
				res += fac.Com(i, d);
			return cnt[d] = res;
		};
		BI ans;
		for (int i = 0; i < N; i++)
			ans += Cal(d[i]);
		if (L <= 1 && R >= 1) {
			ans -= (N - 1);
		}
		return ans.ToInt();
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
		int N,L,R;
		cin >> N;
		auto edge = Read<pair<int, int>>(N - 1);
		cin >> L >> R;
#ifdef _DEBUG	
		printf("N=%d,L=%d,R=%d", N,L,R);
		//Out(c, ",c=");
		//Out(que, ",que=");
		//Out(grid, ",grid=");
		Out(edge, ",edge=");
		//Out(rr, ",rr=");
	   //Out(ab, ",ab=");
	   //Out(par, "par=");
	   //Out(que, "que=");
	   //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		Solution slu;
		auto res = slu.Ans(N,edge,L,R);
		cout << res << "\n";
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码 
int N, L,R;
		vector<pair< int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			N = 6, L = 3, R = 4, edge = { {1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{3,6} };
			auto res = Solution().Ans(N, edge,L,R);
			AssertEx(6, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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