9. 部分分式积分（Partial Fraction Decomposition）
- 这是积分技巧中非常重要的一部分，主要用于处理：
∫P(x)Q(x)dx\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx∫Q(x)P(x)dx
这种 分子、分母都为多项式的有理函数 - 把这一节掌握，就能处理几乎所有分式积分
9.1 部分分式积分的总体思路
- 如果分子deg(P)<deg(Q)deg(P)<deg(Q)deg(P)<deg(Q)，并且分母可以分解成线性或二次项
人话：什么是 deg§ < deg(Q)？deg§ = 分子的最高次数，deg(Q) = 分母的最高次数。
如果deg§ > deg(Q)，不能直接做部分分式，必须先做多项式长除，把它变成
多项式部分+低阶x+1\text{多项式部分}+\frac{\text{低阶}}{x+1}多项式部分+x+1低阶
剩下的低阶部分才能做部分分式
"分母可以分解成线性或二次项"是什么意思？分母 Q(x) 必须能分解成以下形式：
（1）一次因子：(x − a)
（2）二次不可约因子：(x^2 + bx + c)，没有实根
（3）这些因子的乘积
为什么只允许线性和二次？
积分表告诉我们一次因子 → ln 形式，二次不可约因子 → arctan 形式，而三次、四次等不可约因子无法直接积分
（需要高等数学里复杂的技巧了） - 那么：
P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)P(x)
可以拆成简单分式的和，每一项都是可以直接积分的形式
9.2 最重要的三种分母结构
（1）不同根 → 写成 A/(x-a) + B/(x-b)
1x2−1\frac{1}{x^2-1}x2−11
- 分解：
x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1)x2−1=(x−1)(x+1) - 部分分式展开：
1x2−1=Ax−1+Bx+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}x2−11=x−1A+x+1B - 最后会得到：
12(1x−1−1x+1)\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)21(x−11−x+11)
（2）二次不可分解 → Ax + B / (quadratic)
- 例如：
x+1x2+4\frac{x+1}{x^2+4}x2+4x+1 - 拆成：
Ax+Bx2+4\frac{Ax+B}{x^2+4}x2+4Ax+B - 积分后变成：A 项 → ln(x² + 4)，B 项 → arctan(x/2)
（3）重复根 → A/(x-a) + B/(x-a)^2 + ...
- 例如：
1x2(x−1)\frac{1}{x^2(x-1)}x2(x−1)1 - 拆成：
Ax+Bx2+Cx−1\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}xA+x2B+x−1C
9.3 部分分式积分的流程
步骤 1：检查分子是否比分母低阶（必须满足 deg§ < deg(Q)）
- 不满足时，要先做多项式长除法。
步骤 2：分解分母（因式分解）
步骤 3：写出部分分式形式
- 根据分母类型：
- 一次因子 → A/(x-a)
- 重复一次因子 → A/(x-a) + B/(x-a)^2
- 二次不可分 → (Ax+B)/(quadratic-平方项/二次项)
步骤 4：通分，然后比较系数求 A, B, C
步骤 5：每一项分别积分
- 通常会用到：
∫1x−adx=ln∣x−a∣\int \frac{1}{x-a}dx=\ln{\lvert x-a \lvert}∫x−a1dx=ln∣x−a∣
∫1ax2+bx+cdx=arctan\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx=arctan∫ax2+bx+c1dx=arctan
9.4 本节练习题
练习 1（最基础）
∫1x2−1 dx\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx∫x2−11dx
解题 1
- deg(P)=0<deg(Q)=2deg(P)=0<deg(Q)=2deg(P)=0<deg(Q)=2，故可以直接分解分母
- x2−1=(x+1)(x−1)x^2-1=(x+1)(x-1)x2−1=(x+1)(x−1)
- 令原式=I原式=I原式=I
- 设：
1(x+1)(x−1)=Ax−1+Bx+1\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}(x+1)(x−1)1=x−1A+x+1B - 通分：
1(x+1)(x−1)=A(x+1)+B(x−1)(x+1)(x−1)\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x+1)(x-1)}(x+1)(x−1)1=(x+1)(x−1)A(x+1)+B(x−1) - 所以：
1=A(x+1)+B(x−1)1=A(x+1)+B(x-1)1=A(x+1)+B(x−1) - 展开：
1=(A+B)x+(A−B)1=(A+B)x+(A-B)1=(A+B)x+(A−B) - 比较系数：
- x的系数：A+B=0
- 常数项：A-B=1
- 联立解得：
- 相加：2A=1⇒A=122A=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}2A=1⇒A=21
- 相减：2B=−1⇒B=−122B=-1\Rightarrow B=-\frac{1}{2}2B=−1⇒B=−21
- 所以：
1(x+1)(x−1)=1/2x−1−1/2x+1=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)(x+1)(x−1)1=x−11/2−x+11/2=21(x−11−x+11) - 原式：
I=∫1(x+1)(x−1)dx=∫12(1x−1−1x+1)dx=12(∫1x−1dx−∫1x+1dx)=12(ln∣x−1∣−ln∣x+1∣)+C=12(ln∣x−1x+1∣)+C \begin{aligned} &I=\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx \\ &=\int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx \\ &=\frac{1}{2} \left( \int \frac{1}{x-1}dx - \int \frac{1}{x+1} dx \right) \\ &=\frac{1}{2} \left( \ln{\lvert x-1 \lvert} - \ln{\lvert x+1 \lvert} \right) + C \\ &=\frac{1}{2} \left( \ln{\left\lvert \frac{x-1}{x+1} \right\lvert} \right) + C \end{aligned} I=∫(x+1)(x−1)1dx=∫21(x−11−x+11)dx=21(∫x−11dx−∫x+11dx)=21(ln∣x−1∣−ln∣x+1∣)+C=21(ln∣∣∣∣x+1x−1∣∣∣∣)+C
练习 2（简单分式）
∫3x+1x2+4dx\int \frac{3x+1}{x^2+4}dx∫x2+43x+1dx
解题 2
- 分母是二次不可约，不能拆成(x±a)(x\pm a)(x±a)，必须拆成这种形式：Ax+Bquadratic\frac{Ax+B}{quadratic}quadraticAx+B，本题刚好符合
- 积分后变成：A 项 → ln(x² + 4)，B 项 → arctan(x/2)
- 具体的推导：
- 尝试把分子"调整成"分母的导数：分母：x2+4x^2+4x2+4，导数，2x2x2x，3x3x3x很接近2x2x2x，说明可能用：
∫f′(x)f(x)dx=ln∣f(x)∣\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln{\left | f(x) \right |}∫f(x)f′(x)dx=ln∣f(x)∣ - 尝试把分子"调整成"分母的导数
3x+1=(某常数)⋅(2x)+剩余部分3x+1=(某常数)\cdot (2x)+剩余部分3x+1=(某常数)⋅(2x)+剩余部分 - 另一部分：
∫1x2+a2dx=1aarctan(xa)\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan{\left ( \frac{x}{a} \right )}∫x2+a21dx=a1arctan(ax) - 观察本题刚好x2+4x^2+4x2+4是x2+22x^2+2^2x2+22，所以：
- 令原式=III
I=∫3xx2+22+1x2+22=∫32⋅2xx2+22+1x2+22=32∫2xx2+22+∫1x2+22=32⋅ln(∣x2+4∣)+12arctan(x2)+C \begin{aligned} &I=\int \frac{3x}{x^2+2^2}+\frac{1}{x^2+2^2} \\ &=\int \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+2^2}+\frac{1}{x^2+2^2} \\ &=\frac{3}{2} \int \frac{2x}{x^2+2^2}+\int \frac{1}{x^2+2^2} \\ &=\frac{3}{2} \cdot \ln{(|x^2+4|)}+\frac{1}{2}\arctan{\left ( \frac{x}{2} \right )} +C\\ \end{aligned} I=∫x2+223x+x2+221=∫23⋅x2+222x+x2+221=23∫x2+222x+∫x2+221=23⋅ln(∣x2+4∣)+21arctan(2x)+C
练习3（重复根）
∫1x2(x+1)dx\int \frac{1}{x^2(x+1)}dx∫x2(x+1)1dx
解题3
- 典型的 重复根 + 一次根 的部分分式题
- 分母怎么拆？x2(x+1)x^2(x+1)x2(x+1)
- 包含重复一次因子：x2x^2x2，一次因子：x+1x+1x+1
- 根据部分分式规则，对于x2x^2x2（二次重复一次因子），必须写成：
Ax+Bx2\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}xA+x2B - 对于x+1x+1x+1，写成：
Cx+1\frac{C}{x+1}x+1C - 部分分式形式应该是：
1x2(x+1)=Ax+Bx2+Cx+1\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}x2(x+1)1=xA+x2B+x+1C - 通分，比较系数求A,B,C：
1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx21=A x(x+1)+ B(x+1)+Cx^21=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx2 - 展开 → 合并同类项 → 比较系数 → 解 A，B，C：
Ax2+Ax+Bx+B+Cx2=1(A+C)x2+(A+B)x+B=1令x=0，B=1令x=1，2A+2B+C=1令x=−1，A=−1所以，A=−1，B=1，C=1 \begin{aligned} &Ax^2+Ax+Bx+B+Cx^2=1 \\ &(A+C)x^2+(A+B)x+B=1 \\ &令x=0，B=1 \\ &令x=1，2A+2B+C=1 \\ &令x=-1，A=-1 \\ &所以，A=-1，B=1，C=1 \\ \end{aligned} Ax2+Ax+Bx+B+Cx2=1(A+C)x2+(A+B)x+B=1令x=0，B=1令x=1，2A+2B+C=1令x=−1，A=−1所以，A=−1，B=1，C=1 - 所以，令原式=I=I=I，
I=∫(−1x+1x2+1x+1)dx=∫−1xdx+∫1x2dx+∫1x+1dx=−ln∣x∣−1x+ln∣x+1∣+C \begin{aligned} &I=\int \left (-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1} \right ) dx \\ &=\int -\frac{1}{x}dx + \int \frac{1}{x^2}dx + \int \frac{1}{x+1}dx \\ &=-\ln|x|-\frac{1}{x}+\ln|x+1|+C \end{aligned} I=∫(−x1+x21+x+11)dx=∫−x1dx+∫x21dx+∫x+11dx=−ln∣x∣−x1+ln∣x+1∣+C
练习4（多项式长除法 + 部分分式）
∫x2+1x(x−1)dx\int \frac{x^2+1}{x(x-1)}dx∫x(x−1)x2+1dx
解题4
- 观察原式，deg(P)=deg(Q)=2deg(P)=deg(Q)=2deg(P)=deg(Q)=2
- 所以需要进行多项式长除法
- 最高次项相除：
x2x2=1（商）\frac{x^2}{x^2}=1（商）x2x2=1（商） - 算余数：
x2+1−1⋅(x2−x)=x+1（余数）x^2+1-1 \cdot (x^2-x)=x+1（余数）x2+1−1⋅(x2−x)=x+1（余数） - 原式：
∫(1+x+1x(x−1))dx\int \left( 1+\frac{x+1}{x(x-1)} \right )dx∫(1+x(x−1)x+1)dx - 部分分式观察：分母含有x,x−1x,x-1x,x−1项，则设III：
I=1+Ax+Bx−1=1+A(x−1)+Bxx(x−1) \begin{aligned} &I=1+\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1} \\ &=1+\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} \end{aligned} I=1+xA+x−1B=1+x(x−1)A(x−1)+Bx - 则：
A(x−1)+Bx=x+1令x=0，A=−1令x=1，B=2所以I=(1−1x+2x−1) \begin{aligned} &A(x-1)+Bx=x+1 \\ &令x=0，A=-1 \\ &令x=1，B=2 \\ &所以I=\left ( 1-\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1} \right ) \end{aligned} A(x−1)+Bx=x+1令x=0，A=−1令x=1，B=2所以I=(1−x1+x−12)
- 原式=
∫(1−1x+2x−1−)dx=x−∫1xdx+2∫1x−1dx=x−ln(∣x∣)+2ln(∣x−1∣)=x+ln(∣(x−1)2x∣)+C \begin{aligned} &\int \left ( 1-\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}- \right )dx \\ &=x-\int \frac{1}{x}dx +2\int \frac{1}{x-1}dx \\ &=x-\ln(|x|)+2\ln(|x-1|) \\ &=x+\ln \left ( \left | \frac{(x-1)^2}{x} \right | \right ) + C \end{aligned} ∫(1−x1+x−12−)dx=x−∫x1dx+2∫x−11dx=x−ln(∣x∣)+2ln(∣x−1∣)=x+ln(∣∣∣∣x(x−1)2∣∣∣∣)+C