一、树
1.常见概念
节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I.等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G.等节点为分支节点
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：（亲兄弟） 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度： 树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4（空树的高度为0）
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
**森林：**由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）
2.树的表示
①顺序表存孩子的指针
cpp
struct TreeNode
{
int data;
vector <struct TreeNode*> childs;
};②左孩子右兄弟
cpp
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1;
//第一个孩子节点
struct Node* _pNextBrother;
//指向其下一个兄弟节点
DataType _data;
//节点中的数据域
};
③双亲表示法
用数组存父节点的下标
3.树在实际中的运用
表示文件系统的目录树结构
二、二叉树基础
1.概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
2.特点
①每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
②二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
3.任何一颗二叉树都有三个部分
①根节点
②左子树
③右子树
**分治算法：**分而治之，大问题分成类似子问题，子问题再分成子问题......直到子问题不可再分割
前序（先根遍历）：根、左子树、右子树（根在前面）
A B D E C
A B D NULL NULL E NULL NULL C NULL NULL
中序（中根遍历）：左子树、根、右子树（根在中间）
D B E A C
NULL D NULL B NULL E NULL A NULL C NULL
后序（后根遍历）：左子树、右子树、根
4.二叉树的创建
cpp
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BTDataType data;
}BTNode;5.前序遍历
cpp
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
//前中后序只需调整这三行代码
printf("%c ", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}6.手动创建二叉树
cpp
void Test()
{
BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
A->data = 'A';
A->left = NULL;
A->right = NULL;
BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
B->data = 'B';
B->left = NULL;
B->right = NULL;
BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
C->data = 'C';
C->left = NULL;
C->right = NULL;
BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
D->data = 'D';
D->left = NULL;
D->right = NULL;
BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
E->data = 'E';
E->left = NULL;
E->right = NULL;
A->left = B;
A->right = C;
B->left = D;
B->right = E;
PrevOrder(A);
printf("\n");
}7.画函数递归图
8.特殊的二叉树：
①满二叉树： 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为h，且结点总数N=（2^h）-1，则它就是满二叉树。h=log2(N)+1
**②完全二叉树：**完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引|出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一---对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
判定完全二叉树：
假设树的高度是h
1、前h-1层都是满的
2、最后一层不满，但是最后一层从左往右都是连续的
9. 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
二叉树的性质
1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1） 个结点
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
3.对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2+1
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN
普通二叉树，不讲普通二叉树的增删查改，在实际中普通二叉树增删查改没有意义
a.可以为后面学习复杂有用平衡树做铺垫
b.考试角度，很多题都是出在普通二又树上的
真正有用的是搜索二叉树，任何一颗树，左子树都比根要小，右子树都比根要大a.搜索中查找一个数，最多查找高度次，时间复杂度：0（N）
b.左右两边的节点数据比较均匀：平衡树、AVL树、红黑树、B树------多叉搜索树（数据库原理）
5.例题
例1：在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（n）
假设度为0的节点有X0个，度为1的节点有X1个，度为2的节点有X2个
X0 + X1 + X2=2n
其中，X0= X2+1
X0 + X1 + X0-1 =2n
2X0+X1 -1=2n
X1可能是1，也可能是0
在这棵树里面，X1是1
例2：一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（10）
假设这棵树的高度是h，假设最后一层缺了X个
2h-1-X=531
X的范围[0,2^(h-1）-1]
常识：2^10=1024
例3：先序遍历：EFHIGJK；中序遍历：HFIEJKG。请还原该二叉树：
先通过先序确定根，再分割出左右子树中序区间
10.求二叉树的节点个数
左边+右边+根
cpp
int TreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
else
return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}递归图如下：
11.求二叉树叶子节点的个数
cpp
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
return 1;
return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}递归图如下：
12.二叉树的层序遍历
cpp
void levelOrder(struct TreeNode* root, int* returnSize, int** returnColumnSizes)
{
Queue q;
Init(&q);
//如果root不为空,就把root入到队列中
if (root)
Push(&q,root);
//如果队列不为空
while (!isEmpty(&q))
{
//把root取出来
TreeNode* front = Top(&q);
//把节点的指针从队列中删除，节点还在
Pop(&q);
printf("%c ", front->val);
//如果root的左孩子不为空
if (front->left)
{
//把左孩子放入队列中
Push(&q, root->left);
}
if (front->right)
{
Push(&q, root->right);
}
}
printf("\n");
}