【每日算法】LeetCode238. 除自身以外数组的乘积

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LeetCode238. 除自身以外数组的乘积

1. 题目描述

给定一个整数数组 nums，返回一个数组 answer，使得 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。题目要求：

• 不能使用除法。
• 时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度为 O(1)（不计算输出数组的空间）。

进阶：你可以在 O(1) 额外空间复杂度内完成这个题目吗？（出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）

示例：

• 输入: nums = [1,2,3,4]
• 输出: [24,12,8,6]
• 解释: answer[0] = 23 4=24, answer[1] = 134=12, 以此类推。

2. 问题分析

这个问题要求计算数组中每个元素除自身外所有其他元素的乘积。直接思路包括：

• 使用除法：先计算总乘积，然后除以每个元素。但题目禁止使用除法，且如果数组中有零元素，会导致除零错误或结果不准确。
• 暴力计算 ：对于每个元素，遍历数组计算乘积，但时间复杂度为 O(n²)，不满足要求。
  因此，需要一种高效算法，在 O(n) 时间内完成，且空间开销最小。核心是避免重复计算，利用前缀和后缀乘积的思想。

3. 解题思路

3.1 思路一：暴力法（不推荐）

对于每个索引 i，遍历数组计算除 nums[i] 外所有元素的乘积。时间复杂度 O(n²)，空间 O(1)（输出数组除外）。不满足题目要求，仅用于理解问题。

3.2 思路二：左右乘积列表

维护两个数组：

• left[i] 表示 nums[0] 到 nums[i-1] 的乘积（即 i 左侧所有元素的乘积）。
• right[i] 表示 nums[i+1] 到 nums[n-1] 的乘积（即 i 右侧所有元素的乘积）。
  然后，answer[i] = left[i] * right[i]。这通过两次遍历实现：一次从左到右计算左乘积，一次从右到左计算右乘积。时间复杂度 O(n)，空间 O(n)（用于存储左右乘积列表）。

3.3 思路三：空间优化版左右乘积（最优解）

在思路二的基础上进行空间优化：

1. 使用输出数组 answer 先存储左乘积（即 answer[i] 初始为左侧所有元素的乘积）。
2. 然后从右向左遍历，用一个变量 rightProduct 累积右侧元素的乘积，并乘以 answer[i] 得到最终结果。
   这样，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)（忽略输出数组），满足进阶要求。这是最优解，因为它平衡了时间和空间效率。

4. 各思路代码实现

4.1 思路一代码实现（暴力法）

function productExceptSelf(nums) {
    const n = nums.length;
    const answer = new Array(n).fill(1);
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            if (i !== j) {
                answer[i] *= nums[j];
            }
        }
    }
    return answer;
}

4.2 思路二代码实现（左右乘积列表）

function productExceptSelf(nums) {
    const n = nums.length;
    const left = new Array(n).fill(1);
    const right = new Array(n).fill(1);
    const answer = new Array(n);

    // 计算左乘积
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        left[i] = left[i - 1] * nums[i - 1];
    }
    // 计算右乘积
    for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
        right[i] = right[i + 1] * nums[i + 1];
    }
    // 计算答案
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        answer[i] = left[i] * right[i];
    }
    return answer;
}

4.3 思路三代码实现（空间优化版）

function productExceptSelf(nums) {
    const n = nums.length;
    const answer = new Array(n).fill(1);

    // 第一步：计算左乘积并存入 answer
    let leftProduct = 1;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        answer[i] = leftProduct;
        leftProduct *= nums[i];
    }

    // 第二步：从右向左遍历，乘上右乘积
    let rightProduct = 1;
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        answer[i] *= rightProduct;
        rightProduct *= nums[i];
    }

    return answer;
}

5. 各实现思路的复杂度、优缺点对比表格

思路	时间复杂度	空间复杂度（除输出外）	优点	缺点	是否满足题目要求
暴力法	O(n²)	O(1)	简单直观，易于实现	效率极低，不适用于大数据集	否
左右乘积列表	O(n)	O(n)	高效，逻辑清晰，易于理解和调试	使用额外 O(n) 空间，未优化空间	是（时间满足，空间未优化）
空间优化版	O(n)	O(1)	时间和空间最优，满足进阶要求	代码稍复杂，需注意遍历顺序	是（最优解）

6. 总结

6.1 关键点回顾

• 核心思想：利用前缀和后缀乘积避免重复计算，将问题分解为左右两部分。
• 最优解：空间优化版左右乘积，通过两次遍历实现 O(n) 时间和 O(1) 空间。
• 前端关联：在前端开发中，这种算法思想可用于状态管理、数据转换等场景，例如计算累积值或处理数组映射。

6.2 实际应用场景

1. 前端数据处理：在表格或图表中，需要计算每个数据点相对于其他点的聚合值（如乘积、比率），例如在数据可视化库中处理归一化数据。
2. 状态管理：在 React 或 Vue 中，当派生状态依赖于其他状态时，类似算法可高效计算衍生值，避免不必要的重渲染。
3. 图像处理：在前端 canvas 或 WebGL 中，应用滤镜效果时，可能需要计算像素周围区域的累积值，这种前缀积思想可以优化性能。
4. 性能优化：在处理大型数组时（如日志分析、用户行为数据），高效算法能提升响应速度，增强用户体验。