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LeetCode238. 除自身以外数组的乘积
1. 题目描述
给定一个整数数组 nums，返回一个数组 answer，使得 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。题目要求：
- 不能使用除法。
- 时间复杂度为 O(n)。
- 空间复杂度为 O(1)（不计算输出数组的空间）。
进阶：你可以在 O(1) 额外空间复杂度内完成这个题目吗？（出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）
示例：
- 输入: nums = [1,2,3,4]
- 输出: [24,12,8,6]
- 解释: answer[0] = 23 4=24, answer[1] = 134=12, 以此类推。
2. 问题分析
这个问题要求计算数组中每个元素除自身外所有其他元素的乘积。直接思路包括：
- 使用除法：先计算总乘积，然后除以每个元素。但题目禁止使用除法，且如果数组中有零元素，会导致除零错误或结果不准确。
- 暴力计算 ：对于每个元素，遍历数组计算乘积，但时间复杂度为 O(n²)，不满足要求。
因此，需要一种高效算法，在 O(n) 时间内完成，且空间开销最小。核心是避免重复计算，利用前缀和后缀乘积的思想。
3. 解题思路
3.1 思路一：暴力法（不推荐）
对于每个索引 i，遍历数组计算除 nums[i] 外所有元素的乘积。时间复杂度 O(n²)，空间 O(1)（输出数组除外）。不满足题目要求，仅用于理解问题。
3.2 思路二：左右乘积列表
维护两个数组：
left[i]表示 nums[0] 到 nums[i-1] 的乘积（即 i 左侧所有元素的乘积）。right[i]表示 nums[i+1] 到 nums[n-1] 的乘积（即 i 右侧所有元素的乘积）。
然后，answer[i] = left[i] * right[i]。这通过两次遍历实现：一次从左到右计算左乘积，一次从右到左计算右乘积。时间复杂度 O(n)，空间 O(n)（用于存储左右乘积列表）。
3.3 思路三：空间优化版左右乘积（最优解）
在思路二的基础上进行空间优化：
- 使用输出数组
answer先存储左乘积（即answer[i]初始为左侧所有元素的乘积）。 - 然后从右向左遍历，用一个变量
rightProduct累积右侧元素的乘积，并乘以answer[i]得到最终结果。
这样，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)（忽略输出数组），满足进阶要求。这是最优解，因为它平衡了时间和空间效率。
4. 各思路代码实现
4.1 思路一代码实现（暴力法）
javascript
function productExceptSelf(nums) {
const n = nums.length;
const answer = new Array(n).fill(1);
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (i !== j) {
answer[i] *= nums[j];
}
}
}
return answer;
}4.2 思路二代码实现（左右乘积列表）
javascript
function productExceptSelf(nums) {
const n = nums.length;
const left = new Array(n).fill(1);
const right = new Array(n).fill(1);
const answer = new Array(n);
// 计算左乘积
for (let i = 1; i < n; i++) {
left[i] = left[i - 1] * nums[i - 1];
}
// 计算右乘积
for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
right[i] = right[i + 1] * nums[i + 1];
}
// 计算答案
for (let i = 0; i < n; i++) {
answer[i] = left[i] * right[i];
}
return answer;
}4.3 思路三代码实现（空间优化版）
javascript
function productExceptSelf(nums) {
const n = nums.length;
const answer = new Array(n).fill(1);
// 第一步：计算左乘积并存入 answer
let leftProduct = 1;
for (let i = 0; i < n; i++) {
answer[i] = leftProduct;
leftProduct *= nums[i];
}
// 第二步：从右向左遍历，乘上右乘积
let rightProduct = 1;
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
answer[i] *= rightProduct;
rightProduct *= nums[i];
}
return answer;
}5. 各实现思路的复杂度、优缺点对比表格
| 思路 | 时间复杂度 | 空间复杂度（除输出外） | 优点 | 缺点 | 是否满足题目要求 |
|---|---|---|---|---|---|
| 暴力法 | O(n²) | O(1) | 简单直观，易于实现 | 效率极低，不适用于大数据集 | 否 |
| 左右乘积列表 | O(n) | O(n) | 高效，逻辑清晰，易于理解和调试 | 使用额外 O(n) 空间，未优化空间 | 是（时间满足，空间未优化） |
| 空间优化版 | O(n) | O(1) | 时间和空间最优，满足进阶要求 | 代码稍复杂，需注意遍历顺序 | 是（最优解） |
6. 总结
6.1 关键点回顾
- 核心思想：利用前缀和后缀乘积避免重复计算，将问题分解为左右两部分。
- 最优解：空间优化版左右乘积，通过两次遍历实现 O(n) 时间和 O(1) 空间。
- 前端关联：在前端开发中，这种算法思想可用于状态管理、数据转换等场景，例如计算累积值或处理数组映射。
6.2 实际应用场景
- 前端数据处理：在表格或图表中，需要计算每个数据点相对于其他点的聚合值（如乘积、比率），例如在数据可视化库中处理归一化数据。
- 状态管理：在 React 或 Vue 中，当派生状态依赖于其他状态时，类似算法可高效计算衍生值，避免不必要的重渲染。
- 图像处理：在前端 canvas 或 WebGL 中，应用滤镜效果时，可能需要计算像素周围区域的累积值，这种前缀积思想可以优化性能。
- 性能优化：在处理大型数组时（如日志分析、用户行为数据），高效算法能提升响应速度，增强用户体验。