信息学奥赛一本通 1615：【例 1】序列的第 k 个数

【题目链接】

ybt 1615：【例 1】序列的第 k 个数

本题的 a 、 b 、 c a、b、c a、b、c，等差数列公差、等比数列的公比都为整数。

【题目考点】

1. 快速幂

相关知识见：洛谷 P1226 【模板】快速幂

2. 等差数列

相邻两项的差相等的数列为等差数列。

设第 i i i项为 a i a_i ai，公差为 d d d

等差数列的递推公式： a i = a i − 1 + d a_i = a_{i-1}+d ai=ai−1+d

等差数列的通项公式： a i = a 1 + ( i − 1 ) d a_i = a_1+(i-1)d ai=a1+(i−1)d

3. 等比数列

相邻两项的比值相等的数列为等比数列。

设第 i i i项为 a i a_i ai，公比为 q q q

等比数列的递推公式： a i = a i − 1 q a_i = a_{i-1}q ai=ai−1q

等比数列的通项公式： a i = a 1 q i − 1 a_i = a_1q^{i-1} ai=a1qi−1

【解题思路】

设 M = 200907 M=200907 M=200907

每组数据，输入了数列的前三项

先判断第二项减第一项的值，与第三项减第二项的值是否相等，即是否有 b − a = c − b b-a=c-b b−a=c−b

如果满足该情况，则该数列相邻两项的差相等，是等差数列。否则就是等比数列。

如果该数列是等差数列，则公差为 b − a b-a b−a，使用通项公式求等差数列第 k k k项，再对 M M M取模： a k m o d M = ( a 1 + ( k − 1 ) d ) m o d M = ( a + ( k − 1 ) ( b − a ) ) m o d M a_k\bmod M=(a_1+(k-1)d)\bmod M=(a+(k-1)(b-a))\bmod M akmodM=(a1+(k−1)d)modM=(a+(k−1)(b−a))modM
如果该数列是等比数列，则公比为 b a \frac{b}{a} ab，使用通项公式求等比数列第 k k k项，再对 M M M取模： a k m o d M = a 1 q k − 1 m o d M = a ( b a ) k − 1 m o d M = ( a m o d M ) ( ( b a ) k − 1 m o d M ) m o d M a_k\bmod M=a_1q^{k-1}\bmod M=a(\frac{b}{a})^{k-1}\bmod M=(a\bmod M)((\frac{b}{a})^{k-1}\bmod M)\bmod M akmodM=a1qk−1modM=a(ab)k−1modM=(amodM)((ab)k−1modM)modM

求 ( b a ) k − 1 m o d M (\frac{b}{a})^{k-1}\bmod M (ab)k−1modM需要用到快速幂取模算法。

本题无法使用递推公式求等差或等比数列第 k k k项，因为 k k k最大会达到 1 0 9 10^9 109，而递推求等差或等比数列第 k k k项的时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)的，写代码运行会超时）

【题解代码】

解法1：快速幂

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int M = 200907;
LL fastPow(LL a, LL b, LL m)
{
	LL r = 1;
	while(b > 0)
	{
		if(b%2 == 1)
			r = r*a%m;
		a = a*a%m;
		b /= 2;
	}
	return r;
}
int main()
{
	LL t, a, b, c, k;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		cin >> a >> b >> c >> k;
		if(c-b == b-a)
			cout << (a+(k-1)*(b-a))%M << endl;
		else//c/b == b/a 
			cout << a*fastPow(b/a, k-1, M)%M << endl;
	}
	return 0;
}