32. 最长有效括号
题目描述
思路
这是一道 LeetCode 当中的 Hard 问题，可以使用一维动态规划来解决。理解这道题目的思路可以很好地帮助我们加深对一维动态规划问题应用的理解。
为什么可以使用动态规划？我认为一个较强的信号在于"最长有效"二字。我们不能每在字符串当中找到一个')'就从后向前找到最长的有效括号子串并记录一次长度。我们应该记录字符串当中从0开始的子串有多少个最长有效括号，通过记录中间状态的方式避免重复的计算，以降低时间复杂度。
我们使用dp数组来记录0..<n区间内每一个索引i对应的0...i的子串的最长有效括号数是多少。显然，对于一个有效的括号，应该形成(...)，我们自然可以想到通过判断当前字符s[i]是否为')'来作为维护dp数组的依据。
当s[i] == ')'时，如果恰好满足s[i - 1] == '('，那么下标i - 1和i至少组成了一个有效括号，因此这个长度为2的子串对dp[i]的贡献是2。同时，0...i - 2构成的子串当中也有可能存在连续的有效括号，由于我们已经定义dp[i]的含义是0...i的最长有效括号长度（如果没有，则dp[i] == 0），因此dp[i] = dp[i - 2] + 2就是s[i] == ')'且s[i - 1] == '('情况的状态转移方程。
另一种情况是s[i] == ')'，且s[i - 1] == ')'的情况。这种情况可能对应...((...))...，因此，我们可以首先判断s[i - dp[i - 1] -1]是否是(。如果是的话，就说明i - dp[i - 1] - 1...i可能构成一个有效括号子串。此时我们的状态转移方程包括两部分答案，分别是dp[i - 1]以及dp[i - dp[i - 1] - 2]。我们先后来对这两部分答案来进行理解。
首先，对于dp[i - 1]，我们已经知道s[i - dp[i - 1] - 1] == '('且s[i] == ')'，因此有dp[i] = dp[i - 1] + 2，其含义就是在0...i - 1的最长有效括号数量的基础上，额外累计s[i - dp[i - 1] - 1]和s[i]构成的括号对。
此时我们已经确定s[i - dp[i - 1] - 1]是'('，但是s[i - dp[i - 1] - 2]及其之前的最长有效括号我们没有统计进来，如果0...i - dp[i - dp[i - 1] - 2]没有有效括号序列的话，这部分的dp[i - dp[i - 1] - 2]的值就是0；反之，如果出现()()(())的情况，dp[i - dp[i - 1] - 2] == 4，需要将其累加到dp[i]上。
综上，这种情况下的最长有效括号长度的状态转移方程就是：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - dp[i - 1] - 2] + 2。
基于以上分析，我们可以开始写代码解决这道问题。
Golang 题解
go
func longestValidParentheses(s string) int {
n := len(s)
dp := make([]int, n + 1)
for i := 1; i < n; i ++ {
if s[i] == ')' {
if s[i - 1] == '(' {
if i >= 2 {
dp[i] = dp[i - 2] + 2
} else {
dp[i] = 2
}
} else if s[i - 1] == ')' && i - dp[i - 1] - 1 >= 0 && s[i - dp[i - 1] - 1] == '(' {
if i - dp[i - 1] - 2 >= 0 {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - dp[i - 1] - 2] + 2
} else {
dp[i] = dp[i - 1] + 2
}
}
}
}
return slices.Max(dp)
}