贪心算法专题(五)：覆盖范围的艺术——「跳跃游戏」

哈喽各位，我是前端小L。

欢迎来到贪心算法专题第五篇！想象一下，你站在一个长长的走廊里，地面上标着数字。每个数字代表你在当前位置最多能向前跳几步（你可以跳满，也可以只跳一步）。你的目标很简单：判断你能否从起点一直跳到终点？

这道题容易陷入的一个误区是：纠结于"我是跳 1 步好，还是跳 2 步好？"。如果我们去模拟每一种跳法，那这就变成回溯问题了，复杂度会很高。

贪心算法告诉我们：别纠结具体跳几步，只看你最远能覆盖到哪！

力扣 55. 跳跃游戏

https://leetcode.cn/problems/jump-game/

题目分析：

输入：非负整数数组 nums。
规则：nums[i] 代表你在位置 i 的最大跳跃长度。
目标：判断是否能到达最后一个下标。

例子 1： [2, 3, 1, 1, 4]

在下标 0（数值2）：最远能覆盖到下标 2。
我们走到下标 1（数值3）：最远能覆盖到下标 1 + 3 = 4。
既然能覆盖到 4（即终点），那就返回 true。

例子 2： [3, 2, 1, 0, 4]

在下标 0（数值3）：最远覆盖到 3。
在下标 1（数值2）：最远覆盖到 1 + 2 = 3。
在下标 2（数值1）：最远覆盖到 2 + 1 = 3。
在下标 3（数值0）：最远覆盖到 3 + 0 = 3。
无论如何都跨不过下标 3 这个坎，到不了终点 4。返回 false。

核心思维：维护"最大覆盖范围"

我们要把问题转化为：在这个覆盖范围内，我能不能把覆盖范围进一步扩大？

Cover : 我们维护一个变量 cover，表示当前最远能走到的下标。初始时，我们在起点，cover = 0。
移动：我们在 0 到 cover 的范围内遍历每一个位置 i。
- 注意：我们只能在 cover 范围内移动！如果你当前的位置 i 已经超过了 cover，说明你根本跳不到这儿，游戏结束。
更新：对于遍历到的位置 i，我们计算这一跳能达到的最远距离：i + nums[i]。
- 如果 i + nums[i] 比当前的 cover 还要大，我们就更新 cover。
判定：一旦 cover >= nums.size() - 1（终点下标），说明终点已经被覆盖了，直接返回 true。

贪心策略： 不管我怎么跳，我每一步都尽可能去更新最大的覆盖范围。只要终点在这个范围内，我就赢了。

算法流程

cover = 0。
如果数组只有一个元素，直接返回 true。
遍历 i 从 0 到 nums.size() - 2（其实只需要遍历到 cover 即可，但为了代码简单，我们用循环控制）：
- 关键约束 ：只有当 i <= cover 时，我们才能站在 i 上。
- 贪心更新 ：cover = max(cover, i + nums[i])。
- 提前结束 ：如果 cover >= nums.size() - 1，返回 true。
循环结束后，如果还没返回 true，说明到不了，返回 false。

代码实现 (C++)

C++

复制代码

#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
        int cover = 0; // 当前能覆盖到的最远下标
        
        // 只有一个元素，肯定能到
        if (nums.size() == 1) return true;

        // 注意：i 只能在 cover 范围内移动
        // 虽然循环写的是 i <= cover，但 cover 是在动态增长的
        for (int i = 0; i <= cover; i++) {
            // 更新覆盖范围
            cover = max(cover, i + nums[i]);
            
            // 如果覆盖范围已经包含了终点
            if (cover >= nums.size() - 1) {
                return true;
            }
        }
        
        // 跑完所有能跑的地方，还是没覆盖到终点
        return false;
    }
};

深度复杂度分析

时间复杂度：O(N)
- 我们最多遍历数组一次。
空间复杂度：O(1)
- 只需要一个变量 cover。

总结：格局打开

这道题展示了贪心算法的一种**"宏观视角"。我们没有去纠结微观的"第一步跳几米，第二步跳几米"，而是直接审视"势能"**（覆盖范围）。

只要我的势能足够大，能罩住终点，那具体怎么跳，总归是有办法的。

下一题预告：跳跃游戏 II

现在难度升级了！如果在上一题的基础上，我保证一定能跳到终点 ，但我要求你求出最少跳几步能到？

这时候，"最大覆盖范围"这个单一指标就不够用了。我们需要两个指标："当前这一步最远能到哪" 和 "下一步最远能到哪"。这道题是贪心算法中逻辑稍微复杂一点的题目，准备好烧脑了吗？

下期见！