力扣hot100—系列2-多维动态规划

零基础理解动态规划：

动态规划就像是"填表格"。我们把一个大问题拆成很多个小问题，把小问题的答案记在表格里。当我们要算大问题时，直接查表利用之前算好的结果，这样就不用重复计算了。

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1. 不同路径 (Unique Paths)

题目描述： 一个机器人位于 m×nm \times nm×n 网格的左上角。它每次只能向下或向右移动一步。问到达右下角有多少条不同的路径？

通俗思路：

• 拆解： 机器人想去 (i, j) 这个格点，它只有两种可能：从上面 来 (i-1, j)，或者从左边 来 (i, j-1)。
• 推导： 到达 (i, j) 的总路径数 = 到达上面的路径数 + 到达左边的路径数。
• 状态转移方程： dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

答案代码（Python）：

def uniquePaths(m, n):
    # 初始化表格，全部填1（因为第一行和第一列只有一种走法：一直向右或一直向下）
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]
    
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            # 当前格子的路径 = 上面格子的路径 + 左边格子的路径
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
            
    return dp[m-1][n-1]

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2. 最小路径和 (Minimum Path Sum)

题目描述： 给定一个包含非负整数的 m×nm \times nm×n 网格，找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和最小。

通俗思路：

• 拆解： 想让到达 (i, j) 的路径和最小，你要看从上面下来更便宜，还是从左边过来更便宜。
• 推导： 当前格子的最小和 = 当前格子的数值 + min(上边格子的最小和, 左边格子的最小和)。
• 状态转移方程： dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

答案代码：

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 and j == 0: dp[i][j] = grid[0][0] # 起点
            elif i == 0: dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j] # 第一行只能从左来
            elif j == 0: dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j] # 第一列只能从上下来
            else:
                dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
                
    return dp[m-1][n-1]

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3. 最长回文子串 (Longest Palindromic Substring)

题目描述： 给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串（正着读反着读都一样）。

通俗思路：

• 拆解： 如果一个字符串 s[i...j] 是回文，且左右两边的字符相等 s[i] == s[j]，那么去掉头尾的中间部分 s[i+1...j-1] 也必须是回文。
• 状态： dp[i][j] 表示从第 i 到第 j 个字符构成的子串是否为回文（True/False）。
• 推导： dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and dp[i+1][j-1]

答案代码：

def longestPalindrome(s):
    n = len(s)
    if n < 2: return s
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    # 每个单独的字符都是回文
    for i in range(n): dp[i][i] = True
    
    max_len = 1
    start = 0
    # L 是子串长度
    for L in range(2, n + 1):
        for i in range(n):
            j = L + i - 1 # 右边界
            if j >= n: break
            
            if s[i] == s[j]:
                if j - i < 3: # 长度为2或3时，只要s[i]==s[j]就是回文
                    dp[i][j] = True
                else:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
            
            if dp[i][j] and L > max_len:
                max_len = L
                start = i
    return s[start:start + max_len]

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4. 最长公共子序列 (Longest Common Subsequence, LCS)

题目描述： 给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

通俗思路：

• 拆解： 比较两个字符串的末尾字符。
• 情况1： 末尾字符相同。那这个字符一定在公共子序列里。长度 = 1 + 前面部分的LCS。
• 情况2： 末尾字符不同。那最长公共序列要么在 text1 去掉最后一个字符后，要么在 text2 去掉最后一个字符后。
• 状态转移：
  • 如果 s1[i] == s2[j]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
  • 否则: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

答案代码：

def longestCommonSubsequence(text1, text2):
    m, n = len(text1), len(text2)
    # 多申请一行一列处理边界（空字符串情况）
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if text1[i-1] == text2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
                
    return dp[m][n]

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5. 编辑距离 (Edit Distance)

题目描述： 给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数（插入、删除、替换）。

通俗思路：

想象你在把 word1 变成 word2。

• 如果末尾字符一样：不需要操作。dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
• 如果不一样，你有三种选择：
  1. 插入 一个字符：dp[i][j-1] + 1
  2. 删除 一个字符：dp[i-1][j] + 1
  3. 替换 一个字符：dp[i-1][j-1] + 1
• 我们要选这三个操作里步数最少的。

答案代码：

def minDistance(word1, word2):
    m, n = len(word1), len(word2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    
    # 边界情况：word1 变为空字符串，或空字符串变为 word2
    for i in range(m + 1): dp[i][0] = i
    for j in range(n + 1): dp[0][j] = j
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if word1[i-1] == word2[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] # 字符相等，不增加操作
            else:
                # 取 替换、删除、插入 三者中的最小值 + 1
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
                
    return dp[m][n]

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总结：做多维 DP 的三步走

1. 定义表格含义： dp[i][j] 代表什么？（例如：到达 (i,j) 的方法数、最长长度、最小代价）。
2. 找递推关系： 到达当前这一步，前一步是从哪里来的？（上边？左边？还是斜角？）。
3. 定初始值： 表格的第一行和第一列（最简单的情况）该填什么。