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概念
物理背景
概念
本质上还是 F ⃗ \vec F F 和d S ⃗ \vec S S 的点积，
关于方向，我们一般规定流出为正，流入为负。
性质
以下总假设 Σ \Sigma Σ是有向分片光滑曲面。
- 性质1(积分的线性性质)设 k 1 , k 2 k_1, k_2 k1,k2 为常数，则 ∬ Σ ( k 1 F 1 ± k 2 F 2 ) ⋅ d S = k 1 ∬ Σ F 1 ⋅ d S ± k 2 ∬ Σ F 2 ⋅ d S . \iint\limits_{\Sigma} (k_1 \bm F_1 \pm k_2 \bm F_2) \cdot \mathrm{d}\bm{S} = k_1 \iint\limits_{\Sigma} \bm F_1 \cdot \mathrm{d}\bm{S} \pm k_2 \iint\limits_{\Sigma} \bm F_2 \cdot \mathrm{d}\bm{S}. Σ∬(k1F1±k2F2)⋅dS=k1Σ∬F1⋅dS±k2Σ∬F2⋅dS.
- 性质2(积分的方向性) 性质2(积分的方向性) ∬ Σ − F ⋅ d S = − ∬ Σ + F ⋅ d S \iint_{\Sigma^{-}} \bm{F} \cdot d\bm{S} = -\iint_{\Sigma^{+}} \bm{F} \cdot d\bm{S} ∬Σ−F⋅dS=−∬Σ+F⋅dS 其中 Σ − \Sigma^{-} Σ− 为 Σ + \Sigma^{+} Σ+ 的另一侧。
- 性质3(积分的可加性)当 Σ 1 ∪ Σ 2 = Σ \Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}=\Sigma Σ1∪Σ2=Σ， Σ 1 ∩ Σ 2 = ∅ \Sigma_{1} \cap \Sigma_{2}=\varnothing Σ1∩Σ2=∅ 时， ∬ Σ F ⋅ d S = ∬ Σ 1 F ⋅ d S + ∬ Σ 2 F ⋅ d S . \iint_{\Sigma} \bm{F} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \iint_{\Sigma_{1}} \bm{F} \cdot \mathrm{d}\bm{S} + \iint_{\Sigma_{2}} \bm{F} \cdot \mathrm{d}\bm{S}. ∬ΣF⋅dS=∬Σ1F⋅dS+∬Σ2F⋅dS.
计算
化为二重积分
高斯公式
封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式
非封闭曲面，且div F \bm {F} F = $$≠0，补面使其封闭(加面减面)
封闭曲面有奇点在其内部，且除奇点外div F = 0 \bm F=0 F=0，可换个面积分
边界无需与原曲面重合