[动态规划]斐波那契数列
文章目录
动态规划五步曲
对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
- 为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
- 动态规划应该如何debug？把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
斐波那契数列
题目描述
题目链接：509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）
动态规划五步曲
1.确定dp[i]含义
dp[i]表示第i个斐波那契数，如dp[0]=1,dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=3。
2.递推公式
根据斐波那契额数列的定义可以知递推公式为：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。
3.dp数组的定义
根据斐波那契额数列的定义可以知dp数组的定义方式为：dp[0]=1,dp[1]=1。
4.遍历顺序
根据斐波那契额数列的定义可以知dp[i]只依赖于前两个值，即dp[i-1]和dp[i-2],因此遍历顺序应是从前往后遍历。
5.打印dp数组
可通过打印dp数组进行debug。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n==0) return 0;//边界条件，若n==0,dp[1]为越界访问
vector<int> dp(n+1);//定义dp数组
dp[0] = 0, dp[1] = 1;//dp数组初始化
for(int i=2; i<=n; i++)//遍历顺序
{ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; }//递推公式
return dp[n];
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
cpp
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
动态规划常能用几个变量进行压缩使用空间。
斐波那契数列的入门性
由于斐波那契额数列的题目描述给出了递推公式和dp数组的定义方式，并且遍历顺序为即使不加以思考会自然而然想到的从前往后遍历，因此斐波那契数列为动态规划入门的简单题目，但通过这道题目也可以感受动态规划五步曲的重要性和解题步骤。