[动态规划]斐波那契数列

动态规划斐波那契数列

文章目录

• 动态规划斐波那契数列
• • 动态规划五步曲
  • 斐波那契数列
  • • 题目描述
    • 动态规划五步曲
    • • 1.确定dpi含义
      • 2.递推公式
      • 3.dp数组的定义
      • 4.遍历顺序
      • 5.打印dp数组
    • 代码实现
    • 斐波那契数列的入门性

动态规划五步曲

动态规划理论基础 | 代码随想录

对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

• 为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
• 动态规划应该如何debug？把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

斐波那契数列

题目描述

题目链接：509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

动态规划五步曲

1.确定dpi含义

dpi表示第i个斐波那契数，如dp0=1,dp1=1,dp2=2,dp3=3。

2.递推公式

根据斐波那契额数列的定义可以知递推公式为：dpi=dpi-1+dpi-2。

3.dp数组的定义

根据斐波那契额数列的定义可以知dp数组的定义方式为：dp0=1,dp1=1。

4.遍历顺序

根据斐波那契额数列的定义可以知dpi只依赖于前两个值，即dpi-1和dpi-2,因此遍历顺序应是从前往后遍历。

5.打印dp数组

可通过打印dp数组进行debug。

代码实现

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n==0) return 0;//边界条件，若n==0,dp[1]为越界访问
        vector<int> dp(n+1);//定义dp数组
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;//dp数组初始化
        for(int i=2; i<=n; i++)//遍历顺序
        {   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; }//递推公式
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

动态规划常能用几个变量进行压缩使用空间。

斐波那契数列的入门性

由于斐波那契额数列的题目描述给出了递推公式和dp数组的定义方式，并且遍历顺序为即使不加以思考会自然而然想到的从前往后遍历，因此斐波那契数列为动态规划入门的简单题目，但通过这道题目也可以感受动态规划五步曲的重要性和解题步骤。