信奥赛C++提高组csp-s之二分图
一、什么是二分图
二分图：一个图的所有顶点可以分成两个不相交的集合U和V，使得图中每条边都连接一个U中的顶点和一个V中的顶点。也就是说，图中不存在连接同一集合内顶点的边。
二、判定方法：染色法
核心思想：用两种颜色给图中的顶点染色，相邻顶点颜色不同。如果能成功完成染色，则是二分图；否则不是。
算法步骤：
- 从任意一个未染色的顶点开始，染成颜色1
- 将其相邻顶点染成颜色2
- 对相邻顶点递归染色
- 如果发现相邻顶点颜色相同，则不是二分图
三、研究案例：简单二分图判定
题目描述：给定一个无向图，判断它是否是二分图。
输入格式：
- 第一行：n m（n个顶点，m条边）
- 接下来m行：每行两个整数u v，表示一条边
输出格式：是二分图输出"Yes"，否则输出"No"
输入样例1：
5 4
1 2
2 3
3 4
4 5
输出样例1：
Yes
输入样例2：
3 3
1 2
2 3
1 3
输出样例2：
No
代码实现：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005; // 最大顶点数
vector<int> graph[MAXN]; // 邻接表存储图
int color[MAXN]; // 记录每个顶点的颜色：0未染色，1红色，2蓝色
bool f; // 是否是二分图
// DFS染色函数
void dfs(int node, int c) {
color[node] = c; // 给当前顶点染色
// 遍历所有相邻顶点
for (int i = 0; i < graph[node].size(); i++) {
int neighbor = graph[node][i];
// 如果相邻顶点未染色，染成相反颜色
if (color[neighbor] == 0) {
dfs(neighbor, 3 - c); // 3-c实现颜色交替：1→2，2→1
}
// 如果相邻顶点颜色相同，不是二分图
else if (color[neighbor] == c) {
f = false;
return;
}
}
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
// 读取边，构建邻接表
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u].push_back(v);
graph[v].push_back(u); // 无向图，双向添加
}
// 初始化
memset(color, 0, sizeof(color));
f = true;
// 遍历所有顶点（处理非连通图的情况）
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (color[i] == 0) { // 顶点未染色
dfs(i, 1); // 从该顶点开始染色
}
if (!f) break; // 发现不是二分图，提前结束
}
// 输出结果
if (f) {
cout << "Yes" << endl;
} else {
cout << "No" << endl;
}
return 0;
}四、算法分析
时间复杂度：
- O(n + m)，其中n是顶点数，m是边数
空间复杂度：
- O(n + m)，用于存储图和颜色信息
五、注意事项
- 图可能不连通：需要遍历所有顶点进行染色
- 自环和重边：二分图不能有自环（顶点连接自己）
- 染色冲突检测：发现冲突立即返回，提高效率
- 二分答案边界：注意左边界和右边界的初始值
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}