信奥赛C++提高组csp-s之欧拉回路

一、欧拉回路是什么及其作用

欧拉回路定义

欧拉回路：从一个顶点出发，经过图中每条边恰好一次，最终回到起点的路径
欧拉路径：从一个顶点出发，经过图中每条边恰好一次，最终到达另一个顶点的路径（不要求回到起点）

作用和实际应用

电路板布线：确保每条线路只走一次
邮递员问题：规划最短路线覆盖所有街道
DNA测序：片段组装
网络路由：数据包传输优化
游戏设计：一笔画游戏解决方案

二、欧拉回路算法原理

2.1 存在性判断条件

无向图

欧拉回路 ：
- 所有顶点度数为偶数
- 图是连通的（忽略孤立点）
欧拉路径 ：
- 恰好有两个顶点度数为奇数（起点和终点）
- 图是连通的（忽略孤立点）

有向图

欧拉回路 ：
- 每个顶点入度等于出度
- 图是弱连通的（忽略孤立点）
欧拉路径 ：
- 一个顶点出度=入度+1（起点）
- 一个顶点入度=出度+1（终点）
- 其余顶点入度=出度
- 图是弱连通的（忽略孤立点）

2.2 Hierholzer算法

算法思想：DFS遍历，回溯时记录路径
时间复杂度：O(E)，E为边数
空间复杂度：O(E + V)，V为顶点数

三、研究案例：骑马修栅栏

题目背景

Farmer John 每年有很多栅栏要修理。他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

题目描述

John 是一个与其他农民一样懒的人。他讨厌骑马，因此从来不两次经过一个栅栏。

John 的农场上一共有 m m m 个栅栏，每一个栅栏连接两个顶点，顶点用 1 1 1 到 500 500 500 标号（虽然有的农场并没有那么多个顶点）。一个顶点上至少连接 1 1 1 个栅栏，没有上限。两顶点间可能有多个栅栏。所有栅栏都是连通的（也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏）。John 能从任何一个顶点（即两个栅栏的交点）开始骑马，在任意一个顶点结束。

你需要求出输出骑马的路径（用路上依次经过的顶点号码表示)，使每个栅栏都恰好被经过一次。如果存在多组可行的解，按照如下方式进行输出：如果把输出的路径看成是一个 500 500 500 进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出 500 500 500 进制表示法中最小的一个（也就是输出第一位较小的，如果还有多组解，输出第二位较小的，以此类推）。

输入数据保证至少有一个解。

输入格式

第一行一个整数 m m m，表示栅栏的数目。

从第二行到第 ( m + 1 ) (m+1) (m+1) 行，每行两个整数 u , v u,v u,v，表示有一条栅栏连接 u , v u,v u,v 两个点。

输出格式

共 ( m + 1 ) (m+1) (m+1) 行，每行一个整数，依次表示路径经过的顶点号。注意数据可能有多组解，但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

数据保证至少有一组可行解。

输入样例

复制代码

输出样例

复制代码

说明/提示

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ m ≤ 1024 , 1 ≤ u , v ≤ 500 1 \leq m \leq 1024,1 \leq u,v \leq 500 1≤m≤1024,1≤u,v≤500。

问题分析

问题类型：无向图欧拉路径/回路
特殊要求：输出字典序最小的路径
图特点：多重图（可能有重边）
数据范围：顶点数1-500，边数≤1024

解题思路

统计每个顶点的度数
寻找起点：
- 若有奇数度顶点，选编号最小的作为起点
- 若全为偶数度，选编号最小的有边顶点作为起点
使用Hierholzer算法DFS遍历
为保证字典序，从小到大遍历邻接点
回溯时记录路径，最后逆序输出

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 510;  // 最大顶点数
int graph[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵，存储边的数量（处理重边）
int degree[MAXN];      // 存储每个顶点的度数
int path[2048];        // 存储欧拉路径，最大长度为边数+1
int idx = 0;     // 路径当前位置

// 深度优先搜索，寻找欧拉路径
void dfs(int u) {
    // 遍历所有可能的邻接点（从小到大保证字典序）
    for (int v = 1; v <= 500; v++) {
        // 如果当前顶点与邻接点之间有边
        if (graph[u][v] > 0) {
            // 删除这条边（两个方向都要删除，因为是无向图）
            graph[u][v]--;
            graph[v][u]--;
            
            // 递归访问下一个顶点
            dfs(v);
        }
    }
    
    // 回溯时记录当前顶点到路径中
    path[++idx] = u;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int m;  // 边数
    cin >> m;
    
    // 读入边并构建图
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        
        // 增加边的数量（无向图，两个方向都要增加）
        graph[u][v]++;
        graph[v][u]++;
        
        // 更新顶点的度数
        degree[u]++;
        degree[v]++;
    }
    
    // 寻找起点
    int s = 1;
    bool f = false;
    
    // 首先查找是否有奇数度顶点
    for (int i = 1; i <= 500; i++) {
        if (degree[i] % 2 == 1) {
            s = i;
            f = true;
            break;
        }
    }
    
    // 如果没有奇数度顶点，则寻找最小的有边顶点
    if (!f) {
        for (int i = 1; i <= 500; i++) {
            if (degree[i] > 0) {
                s = i;
                break;
            }
        }
    }
    
    // 从起点开始深度优先搜索
    dfs(s);
    
    // 输出欧拉路径（注意：路径是逆序存储的，需要反向输出）
    for (int i = idx; i >= 1; i--) {
        cout << path[i] << '\n';
    }
    
    return 0;
}

关键点解释

邻接矩阵：使用二维数组存储边的数量，可以处理重边
度数统计：degree数组记录每个顶点的度数，用于寻找起点
字典序保证：从1到500顺序遍历邻接点，确保先访问编号小的顶点
路径存储：递归回溯时记录顶点，最后逆序输出得到正确顺序

四、总结欧拉回路

算法核心要点

存在性判断：根据图的类型（有向/无向）和度数条件判断
起点选择 ：
- 欧拉回路：任意顶点（通常选编号最小的）
- 欧拉路径：度数为奇数的顶点（无向图）或出度=入度+1的顶点（有向图）
遍历策略 ：
- 使用DFS递归或栈迭代
- 回溯时记录路径
- 最后逆序输出
字典序处理：对邻接点排序或使用优先队列

注意事项

图连通性：必须验证图是否连通（忽略孤立点）
重边处理：使用计数而非布尔值存储边
性能优化 ：
- 使用邻接表处理稀疏图
- 使用索引避免重复遍历
边界情况 ：
- 空图或单点图
- 多条欧拉路径时保证字典序最小

适用场景

需要遍历所有边恰好一次的问题
路径规划、电路设计等实际应用
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cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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