LeetCode算法题详解 42：接雨水

1.问题描述
2.问题分析
- [2.1 理解题目](#2.1 理解题目)
- [2.2 关键挑战](#2.2 关键挑战)
- [2.3 核心洞察](#2.3 核心洞察)
- [2.4 破题关键](#2.4 破题关键)
[3 算法设计与实现](#3 算法设计与实现)
- [3.1 动态规划法（基础解法）](#3.1 动态规划法（基础解法）)
- [3.2 双指针法](#3.2 双指针法)
- [3.3 单调栈法](#3.3 单调栈法)
- [3.4 暴力枚举法](#3.4 暴力枚举法)
- [3.5 双指针优化法](#3.5 双指针优化法)
[4 性能分析与对比](#4 性能分析与对比)
- [4.1 复杂度对比](#4.1 复杂度对比)
- [4.2 性能分析](#4.2 性能分析)
- [4.3 正确性证明](#4.3 正确性证明)
5.边界情况处理
- [5.1 常见边界情况](#5.1 常见边界情况)
- [5.2 边界处理技巧](#5.2 边界处理技巧)
6.扩展与变体
- [6.1 二维接雨水问题](#6.1 二维接雨水问题)
- [6.2 最多接雨水问题](#6.2 最多接雨水问题)
- [6.3 接雨水II（有渗透问题）](#6.3 接雨水II（有渗透问题）)
- [6.4 实时接雨水监控](#6.4 实时接雨水监控)
7.总结
- [7.1 核心知识点总结](#7.1 核心知识点总结)
- [7.2 算法思维提升](#7.2 算法思维提升)
- [7.3 实际应用场景](#7.3 实际应用场景)
- [7.4 面试建议](#7.4 面试建议)

1.问题描述

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

示例 1

复制代码

输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
输出：6
解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

示例 2

复制代码

输入：height = [4,2,0,3,2,5]
输出：9

约束条件

n == height.length
1 <= n <= 2 × 10^4
0 <= height[i] <= 10^5

2.问题分析

2.1 理解题目

本题要求计算柱状图中能接住的雨水量。每个柱子宽度为1，雨水只能储存在柱子之间的凹陷处。关键要点：

雨水计算原理：对于每个位置，能接的雨水量取决于其左右两侧最高柱子的较小值
木桶原理：每个位置的水量受限于左右两侧最高柱子中较矮的那个
边界处理：两端的柱子不能接水，因为至少需要两侧都有更高的柱子才能形成凹陷
水量公式：对于位置i，水量 = min(左边最高, 右边最高) - height $i$ （如果结果为正）

2.2 关键挑战

数据规模大：数组长度可达2×10^4，需要高效算法
多种解法：有多种解法，各有优缺点
边界条件：需要考虑数组长度小于3、递增递减序列等特殊情况
算法选择：需要根据场景选择最合适的解法

2.3 核心洞察

问题转化：将接雨水问题转化为求每个位置左右两侧最大值的问题
预处理思想：可以预先计算每个位置的左右最大值，避免重复计算
动态规划思路：使用两个数组分别存储每个位置左侧和右侧的最大值
双指针优化：可以使用双指针在一次遍历中解决问题，空间复杂度O(1)
单调栈应用：使用单调递减栈可以处理复杂形状的雨水收集

2.4 破题关键

基本思路：对于每个位置，计算其左右两侧的最高柱子，取较小值减去当前高度
动态规划：使用两个数组分别存储每个位置左侧和右侧的最大值
双指针优化：使用左右指针从两端向中间移动，动态更新左右最大值
单调栈：使用栈维护递减序列，遇到高柱子时计算水量
边界处理：位置0和n-1不能接水，因为至少需要两侧都有柱子

3 算法设计与实现

3.1 动态规划法（基础解法）

核心思想

预先计算每个位置左侧的最大值和右侧的最大值，存储在数组中，然后一次性计算所有位置的雨水量。

算法思路

创建左右最大值数组 ：
- leftMax[i] 表示位置 i 左侧（包括自身）的最大高度
- rightMax[i] 表示位置 i 右侧（包括自身）的最大高度
计算左侧最大值 ：
- 从左到右遍历数组，leftMax[i] = max(leftMax[i-1], height[i])
计算右侧最大值 ：
- 从右到左遍历数组，rightMax[i] = max(rightMax[i+1], height[i])
计算总雨水量 ：
- 遍历每个位置 i，水量 = min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]
- 只累加正数结果

正确性证明

对于任意位置 i，其能接的雨水量取决于：

左侧最高柱子：确保左侧有边界
右侧最高柱子：确保右侧有边界
当前柱子高度：决定凹陷深度

通过预先计算左右最大值，我们可以在O(1)时间内得到每个位置的左右边界，从而正确计算雨水量。

代码实现

java 复制代码

public class TrappingRainWaterDP {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) {
            return 0;
        }
        
        int n = height.length;
        int total = 0;
        
        // 存储每个位置左侧的最大高度
        int[] leftMax = new int[n];
        leftMax[0] = height[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], height[i]);
        }
        
        // 存储每个位置右侧的最大高度
        int[] rightMax = new int[n];
        rightMax[n - 1] = height[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], height[i]);
        }
        
        // 计算每个位置的雨水量
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            int water = Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i];
            if (water > 0) {
                total += water;
            }
        }
        
        return total;
    }
}

优化版本（合并循环）

java 复制代码

public class TrappingRainWaterDPOptimized {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) return 0;
        
        int n = height.length;
        int total = 0;
        
        int[] leftMax = new int[n];
        int[] rightMax = new int[n];
        
        // 初始化左右最大值
        leftMax[0] = height[0];
        rightMax[n - 1] = height[n - 1];
        
        // 同时计算左右最大值
        for (int i = 1, j = n - 2; i < n; i++, j--) {
            leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], height[i]);
            if (j >= 0) {
                rightMax[j] = Math.max(rightMax[j + 1], height[j]);
            }
        }
        
        // 计算总雨水量
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            total += Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i];
        }
        
        return total;
    }
}

3.2 双指针法

核心思想

使用左右两个指针从两端向中间移动，实时维护左侧最大值和右侧最大值。由于水量取决于较小的最大值，所以可以动态决定计算哪一边的水量。

算法思路

初始化指针和最大值 ：
- 左指针 left = 0，右指针 right = n-1
- 左侧最大值 leftMax = height[0]
- 右侧最大值 rightMax = height[n-1]
循环移动指针 ：
- 当 left < right 时继续循环
- 比较 leftMax 和 rightMax：
  - 如果 leftMax < rightMax：处理左指针
    - 左指针右移：left++
    - 更新左侧最大值：leftMax = max(leftMax, height[left])
    - 计算水量：total += leftMax - height[left]
  - 否则：处理右指针
    - 右指针左移：right--
    - 更新右侧最大值：rightMax = max(rightMax, height[right])
    - 计算水量：total += rightMax - height[right]
返回结果：循环结束后返回总水量

正确性证明

关键问题：为什么总是移动较小最大值一侧的指针？

假设 leftMax < rightMax：

对于位置 left，其左侧最大值为 leftMax
右侧最大值至少为 rightMax（因为 right 指针在右边）
因此，位置 left 的水量受限于 leftMax
可以安全地计算 left 位置的水量，然后移动左指针

同理，当 rightMax <= leftMax 时，可以安全地计算 right 位置的水量。

代码实现

java 复制代码

public class TrappingRainWaterTwoPointers {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) {
            return 0;
        }
        
        int left = 0;
        int right = height.length - 1;
        int leftMax = height[left];
        int rightMax = height[right];
        int total = 0;
        
        while (left < right) {
            // 总是移动较小最大值的一边
            if (leftMax < rightMax) {
                left++;
                leftMax = Math.max(leftMax, height[left]);
                total += leftMax - height[left];
            } else {
                right--;
                rightMax = Math.max(rightMax, height[right]);
                total += rightMax - height[right];
            }
        }
        
        return total;
    }
}

3.3 单调栈法

核心思想

使用栈存储柱子的索引，保持栈中元素对应的高度递减。当遇到一个比栈顶高的柱子时，说明形成了一个凹槽，可以接雨水。

算法思路

初始化栈：创建一个栈用于存储柱子的索引
遍历数组 ：
- 当栈非空且当前柱子高度大于栈顶柱子高度时：
  - 弹出栈顶元素作为凹槽底部
  - 如果栈为空，跳出循环
  - 计算凹槽宽度：当前索引 - 新栈顶索引 - 1
  - 计算凹槽高度：min(当前高度, 新栈顶高度) - 底部高度
  - 计算雨水量：宽度 × 高度
  - 累加到总水量
- 将当前索引压入栈中
返回结果：遍历完成后返回总水量

正确性解释

单调栈法按层计算雨水量：

栈中存储的是递减的柱子高度索引
当遇到一个更高的柱子时，栈顶元素与当前柱子及新栈顶形成一个凹槽
计算这个凹槽能接的雨水量
这种方法特别适合处理复杂形状的雨水收集

代码实现

java 复制代码

import java.util.Stack;

public class TrappingRainWaterMonotonicStack {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) {
            return 0;
        }
        
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int total = 0;
        int n = height.length;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 当栈非空且当前高度大于栈顶高度时
            while (!stack.isEmpty() && height[i] > height[stack.peek()]) {
                // 弹出栈顶元素，作为凹槽的底部
                int bottom = stack.pop();
                
                // 如果栈为空，说明左边没有柱子，无法形成凹槽
                if (stack.isEmpty()) {
                    break;
                }
                
                // 计算凹槽宽度和高度
                int left = stack.peek();
                int distance = i - left - 1;
                int h = Math.min(height[i], height[left]) - height[bottom];
                
                // 累加雨水量
                total += distance * h;
            }
            
            // 将当前索引入栈
            stack.push(i);
        }
        
        return total;
    }
}

3.4 暴力枚举法

核心思想

对于数组中的每个元素，分别向左和向右扫描，找到左侧最大值和右侧最大值，然后计算该位置能接的雨水量。

算法思路

遍历每个位置：从索引1到n-2（两端不能接水）
向左扫描：找到当前位置左侧的最大高度
向右扫描：找到当前位置右侧的最大高度
计算雨水量：min(左最大, 右最大) - 当前高度
累加正数结果：如果结果为正，累加到总水量
返回结果：遍历完成后返回总水量

时间复杂度分析

对于每个位置，需要向左向右扫描：O(n)
共有n个位置：O(n²)
不适用于大规模数据

代码实现

java 复制代码

public class TrappingRainWaterBruteForce {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) {
            return 0;
        }
        
        int n = height.length;
        int total = 0;
        
        // 遍历每个柱子（跳过第一个和最后一个）
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            // 找到左边最大高度
            int leftMax = 0;
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                leftMax = Math.max(leftMax, height[j]);
            }
            
            // 找到右边最大高度
            int rightMax = 0;
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                rightMax = Math.max(rightMax, height[j]);
            }
            
            // 计算当前柱子能接的雨水量
            int water = Math.min(leftMax, rightMax) - height[i];
            if (water > 0) {
                total += water;
            }
        }
        
        return total;
    }
}

3.5 双指针优化法

核心思想

在标准双指针法的基础上，优化条件判断和移动逻辑，减少不必要的计算，提高代码执行效率。

算法思路

初始化指针和最大值 ：
- 左指针 left = 0，右指针 right = n-1
- 左侧最大值 leftMax = 0，右侧最大值 rightMax = 0
循环移动指针 ：
- 当 left <= right 时继续循环
- 更新左侧最大值：leftMax = max(leftMax, height[left])
- 更新右侧最大值：rightMax = max(rightMax, height[right])
- 如果 leftMax < rightMax：
  - 计算左边水量：total += leftMax - height[left]
  - 左指针右移：left++
- 否则：
  - 计算右边水量：total += rightMax - height[right]
  - 右指针左移：right--
返回结果：循环结束后返回总水量

优化点

提前更新最大值：在计算水量前先更新左右最大值
简化条件判断：直接比较左右最大值，逻辑更清晰
减少变量使用：使用更少的临时变量

代码实现

java 复制代码

public class TrappingRainWaterTwoPointersOptimized {
    public int trap(int[] height) {
        if (height == null || height.length < 3) {
            return 0;
        }
        
        int left = 0;
        int right = height.length - 1;
        int leftMax = 0;
        int rightMax = 0;
        int total = 0;
        
        while (left <= right) {
            // 更新左右最大值
            leftMax = Math.max(leftMax, height[left]);
            rightMax = Math.max(rightMax, height[right]);
            
            // 总是先处理较小最大值的一边
            if (leftMax < rightMax) {
                total += leftMax - height[left];
                left++;
            } else {
                total += rightMax - height[right];
                right--;
            }
        }
        
        return total;
    }
}

4 性能分析与对比

4.1 复杂度对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	实现难度	优点	缺点
动态规划法	O(n)	O(n)	★★☆☆☆	思路清晰，易于理解	需要额外存储空间
双指针法	O(n)	O(1)	★★★☆☆	时间和空间都最优	逻辑稍复杂
单调栈法	O(n)	O(n)	★★★☆☆	可以处理复杂形状	空间占用大
暴力枚举法	O(n²)	O(1)	★☆☆☆☆	实现简单	效率低
双指针优化法	O(n)	O(1)	★★★☆☆	性能最优	条件判断需仔细

4.2 性能分析

时间复杂度：
- 暴力法在n=20000时不可行（约4亿次操作）
- 其他方法在n=20000时都只需要约20000次操作
空间复杂度：
- 双指针法最优，只需常数空间
- 动态规划和单调栈需要O(n)空间
实际性能：
- 在LeetCode测试中，双指针法通常最快（1-2ms）
- 动态规划稍慢（2-3ms），因为需要额外数组
- 单调栈最慢（3-5ms），因为涉及栈操作

4.3 正确性证明

双指针法的正确性可以通过以下方式证明：

假设在某一时刻，leftMax < rightMax：

对于位置 left，其左侧最大值为 leftMax
其右侧最大值至少为 rightMax（因为右指针在右边）
因此，位置 left 的水量由 leftMax 决定
我们可以安全地计算 left 位置的水量，然后移动左指针

同理，当 rightMax <= leftMax 时，可以安全地计算 right 位置的水量。

选择建议

面试场景：推荐动态规划或双指针法
竞赛场景：双指针法，性能最优
生产环境：根据数据规模和内存限制选择
学习场景：从暴力法开始，逐步理解优化思路

5.边界情况处理

5.1 常见边界情况

数组长度小于3：无法形成凹槽，直接返回0
全零数组：所有高度为0，无法接水，返回0
递增或递减序列：无法形成凹槽，返回0
单元素或空数组：无法接水，返回0
中间有零：零高度的柱子也可以接水，取决于左右边界
相邻柱子等高：不会形成凹槽，但可能会影响后续计算

5.2 边界处理技巧

输入验证：方法开头检查数组长度，小于3直接返回0
指针边界：双指针法中，确保指针移动时不会越界
栈空检查：单调栈法中，弹出元素后检查栈是否为空
负数处理：题目限定高度为非负整数，无需处理负数
整数溢出 ：最大水量可能达到10^5 × 2×10^4 = 2×10^9，在int范围内，但使用long更安全

6.扩展与变体

6.1 二维接雨水问题

在二维矩阵中接雨水，每个格子有高度，雨水可以在四个方向流动。

java 复制代码

public class TrappingRainWater2D {
    // 这是一个更复杂的问题，通常使用优先队列（最小堆）解决
    // 从边界开始，使用BFS或DFS向内部扩展
    public int trapRainWater(int[][] heightMap) {
        if (heightMap == null || heightMap.length < 3 || heightMap[0].length < 3) {
            return 0;
        }
        
        int m = heightMap.length;
        int n = heightMap[0].length;
        boolean[][] visited = new boolean[m][n];
        PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> a[2] - b[2]);
        
        // 将边界加入优先队列
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            pq.offer(new int[]{i, 0, heightMap[i][0]});
            pq.offer(new int[]{i, n - 1, heightMap[i][n - 1]});
            visited[i][0] = true;
            visited[i][n - 1] = true;
        }
        
        for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
            pq.offer(new int[]{0, j, heightMap[0][j]});
            pq.offer(new int[]{m - 1, j, heightMap[m - 1][j]});
            visited[0][j] = true;
            visited[m - 1][j] = true;
        }
        
        int total = 0;
        int[][] dirs = {{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}};
        
        while (!pq.isEmpty()) {
            int[] cell = pq.poll();
            int x = cell[0], y = cell[1], h = cell[2];
            
            for (int[] dir : dirs) {
                int nx = x + dir[0];
                int ny = y + dir[1];
                
                if (nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n && !visited[nx][ny]) {
                    visited[nx][ny] = true;
                    total += Math.max(0, h - heightMap[nx][ny]);
                    pq.offer(new int[]{nx, ny, Math.max(h, heightMap[nx][ny])});
                }
            }
        }
        
        return total;
    }
}

6.2 最多接雨水问题

在可以移除k个柱子的情况下，求最多能接多少雨水。

java 复制代码

public class TrappingRainWaterWithRemoval {
    /**
     * 允许移除k个柱子，求最大接雨水量
     * 这是一个更复杂的问题，可能需要动态规划
     */
    public int trapWithRemoval(int[] height, int k) {
        // 简化思路：尝试移除不同的柱子，计算最大接水量
        // 实际需要更复杂的动态规划解法
        int maxWater = 0;
        int n = height.length;
        
        // 暴力尝试所有可能的移除组合（仅适用于小k）
        // 这里只是示意，实际需要优化
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
            if (Integer.bitCount(mask) != k) continue;
            
            // 创建移除后的新数组
            List<Integer> newHeight = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if ((mask & (1 << i)) == 0) {
                    newHeight.add(height[i]);
                }
            }
            
            // 计算接水量
            int water = new TrappingRainWaterTwoPointers().trap(
                newHeight.stream().mapToInt(i -> i).toArray());
            maxWater = Math.max(maxWater, water);
        }
        
        return maxWater;
    }
}

6.3 接雨水II（有渗透问题）

考虑雨水可以从底部渗透，或者柱子有渗透率。

java 复制代码

public class TrappingRainWaterWithPermeability {
    /**
     * 考虑柱子有渗透率，部分水会渗透
     * 渗透率数组permeability，表示每个柱子的渗透比例
     */
    public int trapWithPermeability(int[] height, double[] permeability) {
        if (height == null || height.length < 3) return 0;
        
        int n = height.length;
        int total = 0;
        
        int[] leftMax = new int[n];
        int[] rightMax = new int[n];
        
        leftMax[0] = height[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], height[i]);
        }
        
        rightMax[n - 1] = height[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], height[i]);
        }
        
        // 计算考虑渗透的雨水量
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            int water = Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i];
            if (water > 0) {
                // 考虑渗透，实际接水量减少
                double actualWater = water * (1 - permeability[i]);
                total += (int) actualWater;
            }
        }
        
        return total;
    }
}

6.4 实时接雨水监控

支持动态添加新的柱子，并实时更新接雨水量。

java 复制代码

public class DynamicTrappingRainWater {
    private List<Integer> heights = new ArrayList<>();
    private int totalWater = 0;
    
    public void addHeight(int h) {
        heights.add(h);
        updateWater();
    }
    
    private void updateWater() {
        // 重新计算总接水量
        int[] arr = heights.stream().mapToInt(i -> i).toArray();
        totalWater = new TrappingRainWaterTwoPointers().trap(arr);
    }
    
    public int getTotalWater() {
        return totalWater;
    }
    
    // 优化版本：增量更新
    public void addHeightOptimized(int h) {
        heights.add(h);
        int n = heights.size();
        
        if (n < 3) return;
        
        // 简化增量更新：只重新计算受影响的部分
        // 实际实现更复杂，这里只是示意
        updateWater(); // 实际应用中需要更精细的更新逻辑
    }
}

7.总结

7.1 核心知识点总结

木桶原理：每个位置的水量取决于左右两边最高柱子的较小值
预处理思想：动态规划通过预处理数组避免重复计算
双指针技巧：从两端向中间扫描，实时更新左右最大值
单调栈应用：利用栈维护递减序列，处理凹槽问题
空间优化：双指针法在O(1)空间内解决问题

7.2 算法思维提升

问题转化能力：将接雨水问题转化为求每个位置的左右最大值问题
优化思维：从暴力法O(n²)到动态规划O(n)，再到双指针O(1)空间的优化过程
数据结构应用：单调栈在处理凹槽类问题中的应用
边界思维：考虑各种极端情况，确保算法健壮性

7.3 实际应用场景

城市规划：计算城市地表雨水收集能力
水利工程：设计水库、水坝的容量计算
图像处理：处理图像中的低洼区域
游戏开发：地形生成中的水位计算
数据分析：时间序列中的低谷填充

7.4 面试建议

首选解法：动态规划或双指针法，根据面试官要求选择
解题步骤 ：
- 分析问题本质：水量 = min(左最大, 右最大) - 当前高度
- 提出暴力解法：对每个位置向左右扫描
- 优化思路：预处理左右最大值数组（动态规划）
- 进一步优化：双指针法减少空间使用
- 扩展思路：单调栈处理复杂形状

LeetCode算法题详解 42：接雨水

目录

1.问题描述

2.问题分析

2.1 理解题目

2.2 关键挑战

2.3 核心洞察

2.4 破题关键

3 算法设计与实现

3.1 动态规划法（基础解法）

3.2 双指针法

3.3 单调栈法

3.4 暴力枚举法

3.5 双指针优化法

4 性能分析与对比

4.1 复杂度对比

4.2 性能分析

4.3 正确性证明

5.边界情况处理

5.1 常见边界情况

5.2 边界处理技巧

6.扩展与变体

6.1 二维接雨水问题

6.2 最多接雨水问题

6.3 接雨水II（有渗透问题）

6.4 实时接雨水监控

7.总结

7.1 核心知识点总结

7.2 算法思维提升

7.3 实际应用场景

7.4 面试建议