第一章
算法复杂度分析
性质：
消常
消非主导项
幂集问题
时间复杂度：O(2^n)
链表与数组（公式化描述）
1. 公式化描述（顺序存储 / 数组）
- 所有元素连续存放在内存中。
- 假设每个元素占
sizeof(int)空间（比如 4 字节），共 9 个元素。 - 总空间 =
n × sizeof(element)=9 × 4 = 36字节
2. 链表描述（链式存储 / 单链表）
- 每个节点包含：数据域 + 指针域
- 数据域：存一个整数（4 字节）
- 指针域：存下一个节点的地址（通常 8 字节，64位系统）
总空间 = 9×12=108 字节
链表反转
【3分钟搞懂链表反转 | 链表面试题】 https://www.bilibili.com/video/BV1SCtBzyESd/?share_source=copy_web\&vd_source=2c56c6a2645587b49d62e5b12b253dca
三指针法
Pre先指向none，先将Next（指针）标记为下一个节点，然后把当前节点的next(属性)设置为前一个节点Pre（此时已经断开连接），然后推进Cur到Next，因为虽然断了连接，但是Next却保存着下一个节点的信息，因此仍然可以正常推进Cur和Pre迁移
时间复杂度O(n) 每个节点都会被访问一次
第二章
二分查找
必须是数组 必须有序
时间复杂度：O(logn)
ASL------平均查找长度
ASL成功=每一层层数*每一层个数/n
ASL失败=Σ第n层失败节点数*(n-1)
冒泡排序
时间复杂度：O(n^2)
插入排序
将数组分为已排序和未排序两部分
依次从未排序中取出一个元素，放入已排序中
就是打牌
时间复杂度：O(n)~O(n^2)
空间复杂度：O(1)
选择排序
从未排序区找最小元素，和当前元素交换（双指针，当min≠i时即替换并i++）
时间复杂度：O(n^2) 扫描n n轮
空间复杂度：O(1)
堆排序
建堆
排序：将最大元素取出，将最小元素替换上去（利用删除的性质）
算法复杂度：
空间复杂度O(1)
前后缀表达式计算
中缀转前后缀表达式
1.加括号，对每一次运算都加括号
2.将运算符挪到括号左边
第六章
链表插入
第八章
汉诺塔的递归解决
第十章
散列 哈希表
构建下标和关键字的关系，比如一一对应，此时的查找效率O(1)
H(key)=key
但这个散列函数不固定
直接定址法------关键字连续的
可用通过调整下标b来把映射地址调整为从0开始
除留余数法------分散列
让关键字对某个数p求余数，使得不连续的关键字映射到连续的哈希表上
p一般去小于等于表长的最大质数
散列表的冲突 与 效率
同义词------两个映射到同一块散列表地址上了
1.散列函数的选取
直接定制法：浪费但不冲突
除留余数法：不浪费但冲突
2.装填因子/散列表的空间利用率α
越大则碰撞概率越大
3.处理冲突的方式（重点）
开放定址法：找新的空间存放同义词
线性探测法：依次查找后一个位置
存储/插入阶段
空位置和带有DEL的位置都可以插入
查找阶段
先找对应下标的位置，如果不一致就线性向后探测
ASL------平均查找长度
由于冲突存在，在查找中进行了多次比较，可用使用ASL 平均查找长度 来衡量散列表的效率
对于单个查找数字，其查找长度=真实位置-映射位置
ASL成功=Σ所有关键字的查找长度/n （关键字数量）
ASL失败=Σ所有关键字到空位置的距离（映射到这里直到查找失败比较了几次）（mod数）
切记任何关键字都不可能映射到下标11的，因为在mod数外
删除阶段
使用DEL=-1进行占位，不能直接删除 否则线性搜索会被截断！！！
平方探测法
拉链法
计算性能
ASL成功=第一层*1 + 第二层*2 + 第n层*n /n
ASL失败=11（关键字个数）/13（链表长度）
可以直接删除
第十二章 堆------用于找最大最小值
用于动态保存当前可用选择的边，最好是取出最大最下作为下一次使用的情况，比如Prim算法每次都需要从最小堆中招找权重最小的边进行添加
堆的定义
基于完全二叉树，除了最后一层都是满的，最后一层做连续排列
堆序性：最大最小堆
堆的特性
插入 删除 排序都是logn 建堆是n
堆的高度：logn
堆的数组表示与索引关系
堆的插入
在已经建好的堆中插入一个节点
- 将新元素插入到堆的末尾（插入）
2.从新元素上浮交换，直到满足堆的性质（调整）
创建heap数组，往最后一个位置插入新元素
确认新节点的位置i=heap.size()-1
当i没有到根节点前都执行循环，
找到父节点p=(i-1)/2，比较二者大小
比p大就交换，更新新位置i=p
比p小就跳出break
时间复杂度：要把末尾元素上浮要执行高度次 即O(logn)
堆的删除
1.移除堆顶元素，用堆中最后一个元素替代堆顶
2.通过下沉，对比当前节点与子节点大小，交换
创建队列heap
首先保存堆顶元素heap.get(0)，这是作为返回值的
然后交换last和0元素
接着从头i=0开始下沉：
如果有左节点就设左节点更小，如果还有右节点就要对比左右节点谁更小
如果有小的就swap，同时设置i为小节点的idx
直到左右节点小的那个值比当前get(i)的值更大，跳出break
时间复杂度：同理O(logn)
堆的构建
将一个无序数组转为符合堆的数组结构
从最后一个非叶子节点开始调整
最后一个非叶子节点的下标是：len/2-1
从最后一个非叶子节点向前堆化
对于当前i节点，对比其左右子节点，2i+1/2，如果存且比当前i更小则设置min=l/r
如果min不是i则证明被替换了，执行swap
然后递归调用堆化
时间复杂度：O(n)
哈夫曼树与哈夫曼编码
非歧义且最短
1.统计出现的次数
2.定义节点和值，值是其出现的次数
3.每次合并最小的两个
4.左0右1
让出现次数越多的编码越短。由于都是叶子节点，因此不在另一个节点的路上，不会重复
带权路径长度=路径长度*叶子节点权重
左高树/左偏树
【C16【模板】左偏树（可并堆）】 https://www.bilibili.com/video/BV1Hz4y177gn/?share_source=copy_web\&vd_source=2c56c6a2645587b49d62e5b12b253dca
左偏树（Leftist Tree，又称左偏堆）是一种可合并堆（Mergeable Heap） ，主要用于高效地合并两个优先队列 。它与二叉搜索树（BST）、AVL 树、红黑树虽然都是树形数据结构，但设计目标、性质和应用场景完全不同。
性质
合并
先拆解比较 到空为止 再合并，合并过程中如果左小于右则交换左右子树
时间复杂度：
第十四 十五章------树
堆只管"上下级"（父子），
BST 还管"左右派"（左右子树顺序）。因此堆的调整只需要通过上浮和下沉即可，而二叉搜索树、红黑树、AVL都需要旋转才行！！！
二叉搜索树
任何节点都有当前值、左右节点三个属性
二叉搜索树则拥有这个节点属性，同时也有增删改查几个方法
如果没有根就是根，通过new创建新TreeNOde
如果有则判断当前值与左右节点node.value
如果大于则insert右子树，小于则insert左子树
查找类似，如果当前值比node.value小则在左子树查，直到找到或查到叶子节点node==null的情况
插入 查找 删除的时间复杂度：O(logn)
极端情况下退化为O(n)
二叉搜索树的删除
删除叶子节点------直接让父节点的左右指针指向null
删除只有一个叶子节点的父节点------让父节点的单侧指针指向这个节点唯一连着的那个节点
删除有两个叶子节点的父节点
先找到要删除的节点key，递归调用
找到后执行删除
如果左子树或右子树不存在或都不存在，就直接返回另一侧即可
如果两个自述都存在，就寻找中序后继，即右子树的最小左节点
调用在Node.right中找最小值的函数，最后删除中序后继节点
前中后序列的遍历与生成与知二推一
AVL树
普通二叉搜索树的结构会由于插入顺序的不同退化为链表
AVL通过严格平衡条件，使得树高不高，具有自平衡性
平衡因子=左子树高-右子树高
对于平衡二叉树，平衡因子的范围为[-1,0,1]也就是说，左右子树高差不超过1
可以通过旋转操作平衡
增删改查的时间复杂度：O(logn) n是节点数量
但是旋转操作非常频繁
红黑树通过堆红色节点的约束，保证最大树高不超过最小数高的两倍
因此AVL树更使用于查询密集的场景，红黑树适用于插入删除密集的场景
需要节点值、节点高度、左右子节点，节点高度用于计算平衡因子
AVL树的插入
注意子树的归属！！！
AVL树的删除
和二叉搜索树一致，但是每次删除后都需要重新平衡一次
已知前序中序求后序 已知中序后续求前序
【【有挂！！】二叉树遍历秒解，前序遍历、中序遍历、后序遍历-哔哩哔哩】 https://b23.tv/IBUkkdf
【无脑秒解！已知先/后序遍历与中序遍历，求后/先序遍历。-哔哩哔哩】 https://b23.tv/Cpvk3YR
红黑树（不考）
调整旋转次数少
约束红黑树：
保证从根节点到叶子节点的最长路径不超过最短路径的两倍
时间复杂度：
旋转的时间复杂度是：O(1)只涉及指针的变化
红黑树的插入
1.按照二叉搜索树插入新的红色节点
2.若规则被破坏（红红冲突），通过重新着色和旋转解决
时间复杂度：查找（logn）+调整（logn）=O(logn)
B-树 多叉平衡搜索树（类似并查集的路径压缩后）
【B树(B-树) - 来由, 定义, 插入, 构建】 https://www.bilibili.com/video/BV1tJ4m1w7yR/?share_source=copy_web\&vd_source=2c56c6a2645587b49d62e5b12b253dca
用于急需要快速查找且需要保持数据的顺序
每一层都需要访问一次 因此压缩高度后访问次数就少了
读取多个字节和读取单个字节的耗时基本一样，因此一个节点多个数据是可以的
n阶B树------最大n叉
性质：
平衡：所有的叶子在同一层
有序：节点内有序 任意元素的左子树都小于他 右子树大于他
多路：m叉树
最多m个分支 节点内最多m-1个元素
根节点最少两个分支 一个元素
其他节点至少m/2个分支 m/2-1个元素
查找
插入（满了上移中间）
插入都是在叶子节点层操作的，发送上溢出才会触发上层
插入目标节点14：
先插入到指定位置，超过m叉树定义，发生分裂：
第m/2个元素上移，其左右两个元素分裂
构建
删除
对于5阶B树
删除非叶子节点都会转换为删除叶子节点
类似AVL的删除，或堆的删除，将其直接前驱 直接后继替换后删除原指定节点
对于出现下溢出的节点（删除后节点元素少于m/2个）
则遵循父下来 兄上去，向左右节点借一个元素，因此要改变父节点，把父节点拉下来，让兄弟节点上去
第十六章
图
邻接矩阵
方便找到是否有边 顶点的度
但是空间复杂度高 对于统计边的数量只能枚举
入度：竖 出度：横
邻接表
深度优先搜索 DFS
基于栈的访问
算法复杂度
时间复杂度：O(n) 每个节点都被访问
空间复杂度：最坏O(n)。AVL树O(logn)
用于生成括号-子集枚举-N皇后问题
搜索所有可能路径
广度优先搜索 BFS
基于队列的访问
先进先出-离得近的先访问
算法复杂度
空间复杂度：对于平衡二叉树，一般存入队列的是一层的内容，不超过树高logn；对于普通搜索树则是O(N)
第十九章 贪心
迪杰斯特拉算法
由于要探索最短代价的节点，每次需要从最小堆中取出堆顶元素，因此要用优先队列（堆）
每次出队列（提取堆）要进行重拍，重拍开销logn，对于所有节点都要删除一次，因此nlogn；
每条边可能引发一次"松弛操作"，从而导致一个顶点被重新插入堆中！
BellmanFord（不考）
依次遍历所有节点的所有边，即A->B A->C A->D，然后B->E C->B C->E。。。
重复V-1轮一定收敛，可能提前收敛
算法复杂度：O(V*E)
A*搜索算法
复杂度在O(E)~O(E+VlogV)之间
Floyd-Warshall 动态规划
D法是单源算法，如果要全源则需要n次
FW能一次性计算出所有点之间的最短路径
通过一张加权表和一张前驱表不断更新得到
distx是邻接矩阵，表达任意两点之间的最短距离
nextx是前驱表，记录下一跳
通过三层循环，选择kij，k是中继节点，i是起始，j是终点
不断更新k，相当于在任意两个节点之间插入另一个节点，看看有没有更短通路
更新n轮后一定会收敛
只要对角线为正，就证明没有负权环
对于最终表，从2->3，先看next4，由0，为下一条，那么下一步就是0->3，是1，然后是1->3，找到最短路径2-0-1-3. 距离是dist4 2->3=4
算法复杂度：
第十六章
并查集
用于处理元素分组问题的数据结构，用于快速判断两个元素是否属于同1个集合，用于快速合并两个集合
make_set()------每个元素独立为集合
union(x,y)------合并两个元素，使得第一个元素的牢大为第二个元素的牢大，把这两个涉及的集合合并为一个，直接修改数组
find(x)------找x的最终父节点是谁
按秩合并
当树很深时，find效率会变低，因此使用两种方式，将节点多的挂载到节点少的 或将树高低的挂载在树高高的上
多加一个rank属性，初始化0
合并的时候先判断将rank矮的挂载到rank高的上
路径压缩------在查找的同时将路径上经过的节点全部挂载到根节点上
find的时候顺便将当前的根节点迭代挂载到根节点的根节点上，即将数组内的值更改为下一次找到的根节点的idx
时间复杂度O(4~5)
克鲁斯卡尔最小生成树ElogE
创建并查集类
包括find check两个函数，check通过find找到两个连通分支各自的代表元
如果一致则返回false，否则true
在主函数中，创建目标队列 与 uf对象
对每一条边遍历，根据权重排序，每次提取最小的边，
对其顶点进行判断，调用uf对象的check函数，如果返回true则证明为两个分支，可以选择，否则continue
直到n-1
这就设计了连通性判断，因此需要上面并查集的内容
这样的操作包括：
1.判断是否成环------是否联通 root_x=self.find(x) root_y=self.find(y) root_x == root_y?
2.将一条边加入生成树中------union()
先创建UF集合，会自动拆为最小节点
然后堆边进行sort 复杂度logE，然后对于每条边进行判断：
如果uf.union能够执行，也就是UF输出True，不成环的情况下，就往mst中添加这条边，同时累加权重
直到mst的len=n-1
时间复杂度:
Prim最小生成树算法ElogV
创建邻接表、最小堆 目标队列 已访问 原始节点队列
创建结构体 包括起点 终点 权重
遍历所有边将其连接的点存入邻接表
初始时选择任意一个节点，探索其边，选择最小权重边，查看邻接表其终点是否在已访问列表中
如果没有则添加，并累计权重
同时将邻居节点的相邻边放入最小堆
开辟最小堆，维护当前可用探索的边，由于每次探索最小的，因此使用最小堆
开辟结果列表维护选取的边
开辟以访问集保存已经访问的顶点
开辟nodes集保存未访问的节点
'
nodes用于存放当前可用访问的节点
visited存放已经访问的顶点
mst保存结果边
min_heap维护当前可选边
对于传入的每一条边，对于第一个顶点graph[u]添加权重为w，目的为v
对于第二个顶点graph[v]添加权重为w，目的为u
随机选一个起点。
将其放入已访问列表visited，然后把start顶点可连出去的所有边放入最小堆，堆会自动按权重从小到大排序
对于每一轮，取出堆中最小的边，如果其目标顶点没有访问过，就将其添加到visied中，然后将这条边放进mst目标列表中，同时累加权重
对于这条新加入顶点考虑，对于新顶点的其他边连接的节点，如果没有访问过，就全部放入堆中
直到n-1条边都被访问了
时间复杂度：
对于堆的处理复杂度都是logV 每条边最多被加入堆一次，因此堆操作数不超过E次，因此复杂度是O(ElogV)
Kahn拓扑排序算法（入度为零即取出队列） V+E
入度 零度 原始 临界 目标 管理访问的队列
添加邻接表 对于每一条边存储始终点，并为终点在入度数组中加一
初始将0度节点加入目标队列，搜索其邻接节点，将其度减一
如果为0则加入零度队列
检查目标队列长度是否等于原始节点队列
解决依赖问题，找到合理的安装顺序
只要入度为零即可加入，加入后其指向的节点的入度减一
创建两个字典，一个字典用于记录每个节点的入度，一个用于构建邻接表（建图）
创建一个topo_order保存最终结果
遍历每条边，对于每对起点u终点v：将v加入u的邻接表，同时给v的入度加一
初始时将入度为0的节点全加入队列
进入主循环后，每次从队列zero中取出一个节点current，将其放入最终结果topo_order中
访问器所有邻接点：for neighbor in graph
将邻接节点入度减一，如果邻接节点入度为0，则加入zero访问列表
最后检查len(topo_order)是否等于nodes的长度，如果不等于说明由环
时间复杂度：O(V+E)每个顶点和边添加一次
第十八章------分治
归并排序
一路拆到一组只有一个元素，然后开始归并
算法复杂度：
时间复杂度：O(nlogn) 递归深度是logn，然后每次合并需要n的复杂度
空间复杂度O(n)
快速排序
写一个快排和分区函数
快排首先调用分区函数进行分区
分区函数先设置基准值为最后一个，初始化指针指向low-1
对于low到high-1如果有比基准值大的放右侧，小的放左侧
接着递归调用快排，对分区的左右继续分区+快排
1.选择基准值
2.双指针分区（左边元素比基准值小 右边比基准值大）
3.递归排序 对左右分区执行选基准值并分区
j用于探索i用于标记，当j的值比基准值小则让i++然后交换ij的值，最后
i的值就是已经根据基准值分区的位置了，然后把基准值和i的位置交换，接着分治
选择
算法设计的小技巧：
保护顺序的动态维护使用栈或队列，不保护顺序但要求按增减序排序的动态维护用最大最小堆
比如DFS BFS，DFS使用队栈 BFS 使用队列
克鲁斯卡尔和普利姆是使用最小堆
树结构用于急需要快速查找且需要保持数据的顺序
并查集会破坏前中后序 因此不能平替树