2025年12月GESP真题及题解(C++八级): 宝石项链
题目描述
小 A 有一串包含 n n n 枚宝石的宝石项链，这些宝石按照在项链中的顺序依次以 1 , 2 , ... , n 1,2,\ldots,n 1,2,...,n 编号，第 n n n 枚宝石与第 1 1 1 枚宝石相邻。项链由 m m m 种宝石组成，其中第 i i i 枚宝石种类为 t i t_i ti。
小 A 想将宝石项链分给他的好朋友们。具体而言，小 A 会将项链划分为若干连续段 ，并且需要保证每段都包含全部 m m m 种宝石。请帮小 A 计算在满足条件的前提下，宝石项链最多可以划分为多少段。
输入格式
第一行，两个正整数 n , m n,m n,m，分别表示宝石项链中的宝石的数量与种类数。
第二行， n n n 个正整数 t 1 , t 2 , ... , t n t_1,t_2,\ldots,t_n t1,t2,...,tn，表示每枚宝石的种类。
输出格式
输出一行，一个整数，表示宝石项链最多可以划分的段数。
输入输出样例 1
输入 1
6 2
1 2 1 2 1 2输出 1
3输入输出样例 2
输入 2
7 3
3 1 3 1 2 1 2输出 2
2说明/提示
对于 40 % 40\% 40% 的测试点，保证 2 ≤ n ≤ 1000 2\le n\le 1000 2≤n≤1000。
对于所有测试点，保证 2 ≤ n ≤ 10 5 2\le n\le 10^5 2≤n≤105， 2 ≤ m ≤ n 2\le m\le n 2≤m≤n， 1 ≤ t i ≤ m 1\le t_i\le m 1≤ti≤m，保证 1 , 2 , ... , m 1,2,\ldots,m 1,2,...,m 均在 t 1 , t 2 , ... , t n t_1,t_2,\ldots,t_n t1,t2,...,tn 中出现。
思路分析
这是一个环形数组划分问题。我们需要将一个环形宝石项链（第n个宝石与第1个宝石相邻）划分为若干连续段，每段必须包含全部m种宝石，求最多能划分多少段。
核心难点
- 环形结构：数组是环形的，需要考虑循环的情况
- 最短包含所有宝石的段 ：要划分尽可能多的段，每段应该是包含所有m种宝石的最短连续段
- 贪心策略：每次找到最短的合法段，然后从下一位置继续寻找
算法思路
- 环形处理：将原数组复制一份接在后面，形成2n长度的数组，这样环形问题转化为线性问题
- 滑动窗口：使用双指针维护一个包含所有m种宝石的最短窗口
- 贪心划分 ：
- 从起点开始，找到最短的包含所有宝石的段
- 记录这个段的结束位置，然后从下一个位置继续寻找
- 重复直到覆盖整个环形数组
- 最大化段数：由于是环形，不同起点可能导致不同结果，需要尝试所有起点
时间复杂度优化
- 朴素方法：对于每个起点O(n)寻找，总O(n²)，会超时
- 优化方法：使用**倍增法（Binary Lifting）**预处理每个位置开始跳转的信息
- 预处理：对于每个位置i，计算从i开始取一段后下一个起点的位置
- 倍增表：f[i][k]表示从i开始取2^k段后到达的位置
- 查询：对于每个起点，用倍增快速计算最多能取多少段
具体步骤
- 数据准备：复制数组为2n长度
- 滑动窗口预处理 ：
- 对于每个位置i，找到以i为起点的最短合法段的结束位置
- 记录next[i] = 结束位置 + 1（下一段的起点）
- 构建倍增表 ：
- f[i][0] = next[i]（跳1段）
- f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1]（跳2^k段）
- 枚举起点计算 ：
- 对每个起点i，用倍增法计算最多能跳多少段
- 保持结束位置不超过i+n（环形限制）
- 取最大值：所有起点结果的最大值
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5; // 2倍长度
const int LOG = 20; // 2^20 > 1e6
int n, m;
int t[MAXN]; // 宝石数组（已复制为2倍长度）
int cnt[MAXN]; // 计数数组，记录当前窗口每种宝石数量
int nxt[MAXN]; // nxt[i]: 从i开始取一段后下一个起点位置
int f[MAXN][LOG]; // 倍增表：f[i][k]表示从i开始取2^k段后到达的位置
int main() {
// 读入数据
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> t[i];
t[i + n] = t[i]; // 复制一份，处理环形
}
// 滑动窗口预处理每个位置的下一个起点
int types = 0; // 当前窗口内宝石种类数
int r = 0; // 右指针
// 初始化计数数组
for (int i = 1; i <= m; i++) cnt[i] = 0;
// 遍历每个位置作为左端点
for (int l = 0; l < 2 * n; l++) {
// 扩展右指针，直到窗口包含所有m种宝石
while (r < 2 * n && types < m) {
cnt[t[r]]++;
if (cnt[t[r]] == 1) types++;
r++;
}
// 如果找到了包含所有宝石的窗口，记录下一个起点
if (types == m) {
nxt[l] = r; // 结束位置+1就是下一段起点
} else {
nxt[l] = 2 * n; // 标记为无效位置
}
// 移动左指针前，减少计数
cnt[t[l]]--;
if (cnt[t[l]] == 0) types--;
}
// 构建倍增表
// 初始化：跳2^0=1段
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
f[i][0] = nxt[i];
}
// 计算2^k段
for (int k = 1; k < LOG; k++) {
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
if (f[i][k - 1] < 2 * n) {
f[i][k] = f[f[i][k - 1]][k - 1];
} else {
f[i][k] = 2 * n; // 超出范围
}
}
}
// 枚举每个起点，计算最多段数
int ans = 0;
for (int start = 0; start < n; start++) {
int pos = start; // 当前位置
int seg = 0; // 段数
// 从大到小尝试跳转
for (int k = LOG - 1; k >= 0; k--) {
if (f[pos][k] <= start + n) { // 跳2^k段后不超过环形范围
seg += (1 << k); // 增加段数
pos = f[pos][k]; // 更新位置
}
}
ans = max(ans, seg);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}功能分析
1. 数据预处理部分
cpp
// 复制数组处理环形
for (int i = 0; i < n; i++) {
t[i + n] = t[i];
}- 目的：将环形问题转化为线性问题
- 原理：在长度为2n的数组上，任何长度为n的窗口都对应原环形数组的一个起始位置
2. 滑动窗口预处理
cpp
while (r < 2 * n && types < m) {
cnt[t[r]]++;
if (cnt[t[r]] == 1) types++;
r++;
}- 功能：对于每个左端点l，找到最短的包含所有m种宝石的右端点
- 变量说明 ：
types：当前窗口内不同宝石的种类数cnt[]：记录每种宝石的出现次数nxt[l]：从l开始取一段后，下一段的起始位置
3. 倍增表构建
cpp
for (int k = 1; k < LOG; k++) {
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
if (f[i][k - 1] < 2 * n) {
f[i][k] = f[f[i][k - 1]][k - 1];
}
}
}- 原理 ：
f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1]表示从i跳2k段等价于先跳2(k-1)段，再跳2^(k-1)段 - LOG选择：2^20 ≈ 1e6 > 2×1e5，足够覆盖所有可能跳转
4. 枚举起点计算
cpp
for (int k = LOG - 1; k >= 0; k--) {
if (f[pos][k] <= start + n) {
seg += (1 << k);
pos = f[pos][k];
}
}- 贪心策略：从高位向低位尝试跳转
- 约束条件 ：
f[pos][k] <= start + n确保跳转后不超过环形范围 - 时间复杂度：每个起点O(log n)，总O(n log n)
5. 算法复杂度
- 时间复杂度 ：O(n log n)
- 滑动窗口预处理：O(n)（每个元素进出各一次）
- 倍增表构建：O(n log n)
- 枚举起点计算：O(n log n)
- 空间复杂度：O(n log n)（主要存储倍增表）
6. 关键点总结
- 环形处理技巧：数组复制是处理环形问题的常用方法
- 滑动窗口优化：双指针法在线性时间内找到所有最短合法段
- 倍增法应用：将多次跳转压缩为对数级别查询
- 贪心正确性：每次取最短段能最大化段数，这是本题的关键性质
7. 示例解析
以样例1为例：
n=6, m=2
宝石序列: 1 2 1 2 1 2- 最短合法段长度均为2（包含1和2）
- 可以划分为3段：[1,2]、[1,2]、[1,2]
- 代码会找到所有起点中的最优解
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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