环形房屋打家劫舍算法

环形房屋打家劫舍题解

1. 问题描述

所有房屋首尾相连形成环形排列 （第一个房屋和最后一个房屋相邻），相邻房屋装有联动防盗系统，若同时盗窃相邻两间房屋会触发警报。给定一个非负整数数组 nums，其中 nums[i] 表示第 i 间房屋存放的金额，要求计算在不触发警报的前提下，能盗窃到的最大金额。

2. 核心思路分析

本题的核心是动态规划的应用，原因如下：

问题具备重叠子问题 ：计算第 i 间房屋的最大可盗窃金额时，需要重复用到前 i-1、i-2 间房屋的计算结果；
问题具备最优子结构：全局的最大金额可由每个位置的局部最优解推导而来。

而环形结构是本题的关键难点：由于首尾房屋相邻，"同时盗窃首尾"是非法的。因此我们可以将环形问题拆解为两个线性问题，规避首尾冲突：

情况1：不考虑最后一间房屋（只盗窃 [0, n-2] 区间的房屋）；
情况2：不考虑第一间房屋（只盗窃 [1, n-1] 区间的房屋）。

最终答案即为这两个线性问题的最大值------因为这两种情况已覆盖所有"不触发警报"的合法盗窃方式（要么不偷首，要么不偷尾，不可能同时偷首尾）。

对于线性房屋的打家劫舍问题，动态规划的状态转移方程为：

设 dp[i] 表示盗窃到第 i 间房屋时能获得的最大金额，则：
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

dp[i-1]：不偷第 i 间房屋，最大金额等于前 i-1 间的最优解；
dp[i-2] + nums[i]：偷第 i 间房屋，此时第 i-1 间不能偷，最大金额等于前 i-2 间的最优解加上第 i 间的金额。

此外，我们可以对空间进行优化：无需维护完整的 dp 数组，只需用两个变量 pre（表示 dp[i-2]）和 cur（表示 dp[i-1]）滚动更新，将空间复杂度从 O(n) 降至 O(1)。

3. 解题步骤

边界条件处理 ：
- 若数组为空（n=0），返回 0；
- 若数组只有1间房屋（n=1），直接返回该房屋的金额（无相邻冲突）。
定义辅助函数 ：实现线性区间 [start, end] 内的最大盗窃金额计算逻辑：
- 初始化 pre=0（前前一个位置的最优解）、cur=0（前一个位置的最优解）；
- 遍历区间内的每间房屋，通过滚动变量更新当前最优解；
拆分环形问题 ：
- 计算 [0, n-2] 区间的最大金额（不偷最后一间）；
- 计算 [1, n-1] 区间的最大金额（不偷第一间）；
返回结果：取上述两个结果的最大值。

4. 代码实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // 边界条件1：无房屋可偷
        if (n == 0) return 0;
        // 边界条件2：只有1间房屋，直接偷
        if (n == 1) return nums[0];
        // 拆分为两个线性问题，取最大值
        int res1 = robLinear(nums, 0, n-2); // 不偷最后一间
        int res2 = robLinear(nums, 1, n-1); // 不偷第一间
        return max(res1, res2);
    }

    // 辅助函数：计算线性区间[start, end]内的最大盗窃金额
    int robLinear(vector<int>& nums, int start, int end) {
        int pre = 0;  // 代表dp[i-2]，前前一个位置的最优解
        int cur = 0;  // 代表dp[i-1]，前一个位置的最优解
        for (int i = start; i <= end; ++i) {
            int temp = cur; // 暂存当前cur（更新前的dp[i-1]）
            // 更新cur为当前位置i的最优解：max(不偷i, 偷i)
            cur = max(pre + nums[i], cur);
            pre = temp; // pre更新为原来的cur（即新的dp[i-1]）
        }
        return cur; // 最终cur为区间[start, end]的最优解
    }
};

5. 复杂度分析

时间复杂度 ：O(n)。仅需两次线性遍历数组（[0,n-2] 和 [1,n-1]），每次遍历的时间为 O(n)，整体仍为 O(n)；
空间复杂度 ：O(1)。仅使用了常数个临时变量（pre、cur、temp 等），未额外开辟与数组长度相关的空间。

总结

环形房屋打家劫舍的核心是拆解问题：将环形转化为"不偷首"或"不偷尾"的两个线性问题，规避首尾相邻的冲突；
线性问题的最优解通过动态规划+空间优化实现，用两个变量滚动更新，兼顾时间和空间效率；
边界条件需特殊处理（空数组、单元素数组），避免逻辑漏洞。