考研线代第四课：线性方程组

文章目录

• 一、线性方程组的定义与形式
• • [1.1 基本定义](#1.1 基本定义)
  • [1.2 标准形式](#1.2 标准形式)
  • [1.3 矩阵形式](#1.3 矩阵形式)
  • [1.4 与向量组的关系](#1.4 与向量组的关系)
• 二、线性方程组解的存在性与解的结构
• • [2.1 解的存在性判定（矩阵秩判定法）](#2.1 解的存在性判定（矩阵秩判定法）)
  • [2.2 解的性质](#2.2 解的性质)
  • • [2.2.1 齐次解的线性封闭性](#2.2.1 齐次解的线性封闭性)
    • [2.2.2 矩阵乘法的特殊消去律](#2.2.2 矩阵乘法的特殊消去律)
  • [2.3 解的结构](#2.3 解的结构)
  • • [2.3.1 齐次线性方程组解的结构](#2.3.1 齐次线性方程组解的结构)
    • [2.3.2 非齐次线性方程组解的结构](#2.3.2 非齐次线性方程组解的结构)
• 三、线性方程组的求解方法
• • [3.1 高斯消元法（通用方法）](#3.1 高斯消元法（通用方法）)
  • [3.2 克拉默法则（特殊方法）](#3.2 克拉默法则（特殊方法）)
• 四、两个方程组的公共解
• • [4.1 定义](#4.1 定义)
  • [4.2 求解方法（按已知条件分类）](#4.2 求解方法（按已知条件分类）)
  • • [4.2.1 联立方程组法](#4.2.1 联立方程组法)
    • [4.2.2 基础解系代入法](#4.2.2 基础解系代入法)
    • [4.2.3 通解等式法](#4.2.3 通解等式法)
• [五、 同解方程组](#五、 同解方程组)
• • [5.1 定义](#5.1 定义)
  • [5.2 性质与判定](#5.2 性质与判定)
  • • [5.2.1 核心性质：初等行变换是同解变换](#5.2.1 核心性质：初等行变换是同解变换)
    • [5.2.2 通用同解充要条件](#5.2.2 通用同解充要条件)
    • [5.2.3 齐次方程组的特殊处理](#5.2.3 齐次方程组的特殊处理)
    • [5.2.4 关键注意点](#5.2.4 关键注意点)

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一、线性方程组的定义与形式

1.1 基本定义

含有 n 个未知数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 的 m m m 个一次方程组成的方程组，称为 n 元线性方程组。

1.2 标准形式

n 元线性方程组的标准形式为：

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm

其中， a i j ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a_{ij}(i = 1,2,\cdots,m;j = 1,2,\cdots,n) aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)称为方程组的系数， b i ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) b_i(i = 1,2,\cdots,m) bi(i=1,2,⋯,m)称为常数项。

按常数项特征分类：

• 齐次线性方程组 ： b 1 = b 2 = ⋯ = b m = 0 b_1 = b_2 = \cdots = b_m = 0 b1=b2=⋯=bm=0；
• 非齐次线性方程组 ： b 1 , b 2 , ⋯   , b m b_1,b_2,\cdots,b_m b1,b2,⋯,bm不全为 0。

1.3 矩阵形式

线性方程组可简洁表示为矩阵形式 A x = b Ax = b Ax=b，各矩阵/向量定义如下：

• 系数矩阵： A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amn ；

• 未知数向量： x = ( x 1 x 2 ⋯ x n ) x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix} x= x1x2⋯xn ；

• 常数项向量： b = ( b 1 b 2 ⋯ b m ) b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_m \end{pmatrix} b= b1b2⋯bm 。

齐次线性方程组的矩阵形式为 A x = 0 Ax = 0 Ax=0（ 0 0 0为零向量）。

将系数矩阵和常数项向量合并得到增广矩阵 ：
A ‾ = ( A ∣ B ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \overline{A} = (A\mid B) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix} A=(A∣B)= a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯amnb1b2⋯bm

1.4 与向量组的关系

线性方程组可转化为向量形式： x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = β x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{\beta} x1α1+x2α2+⋯+xnαn=β

其中， α j = ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) \boldsymbol{\alpha}j = \begin{pmatrix} a{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}(j=1,2,\cdots,n) αj= a1ja2j⋮amj (j=1,2,⋯,n)是系数矩阵 A A A的列向量， β = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} β= b1b2⋮bm 是常数项向量。

核心本质 ：线性方程组的求解，等价于判断常数项向量 β \boldsymbol{\beta} β能否由系数列向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,⋯,αn线性表示；若能表示，解 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn即为对应的线性表示系数。若方程组有无穷多解，其解可由解空间的基（基础解系，即解向量的极大线性无关组）表示。

二、线性方程组解的存在性与解的结构

2.1 解的存在性判定（矩阵秩判定法）

设线性方程组 A x = β Ax = \boldsymbol{\beta} Ax=β的系数矩阵 A A A的秩为 r ( A ) r(A) r(A)，增广矩阵 A ‾ \overline{A} A的秩为 r ( A ‾ ) r(\overline{A}) r(A)，未知数个数为 n n n，则解的存在性与唯一性判定规则：

秩的关系	解的情况
r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A) \neq r(\overline{A}) r(A)=r(A)	无解
r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(A) = r(\overline{A}) = n r(A)=r(A)=n	有唯一解
r ( A ) = r ( A ‾ ) < n r(A) = r(\overline{A}) < n r(A)=r(A)<n	有无穷多解（含 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个线性无关解）

齐次线性方程组（ A x = 0 Ax = 0 Ax=0**）特殊规则**：

由于 A ‾ = ( A ∣ 0 ) \overline{A} = (A\mid0) A=(A∣0)，故 r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A) = r(\overline{A}) r(A)=r(A)恒成立，即齐次线性方程组必有解（至少有零解）：

1. 当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n时，仅有零解；
2. 当 r ( A ) < n r(A) < n r(A)<n时，有无穷多解 ，解空间维数为 n − r ( A ) n - r(A) n−r(A)。

2.2 解的性质

2.2.1 齐次解的线性封闭性

若 ξ 1 , ξ 2 \xi_1, \xi_2 ξ1,ξ2 是 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 的解，则对任意常数 k 1 , k 2 k_1, k_2 k1,k2，有 A ( k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 ) = 0 A(k_1\xi_1 + k_2\xi_2) = 0 A(k1ξ1+k2ξ2)=0，即齐次解的线性组合仍是齐次解。

2.2.2 矩阵乘法的特殊消去律

矩阵乘法无普遍消去律，但满足以下特殊消去规则：

• 左消去 ：若 A m × n A_{m \times n} Am×n列满秩（ r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n），则对任意 n × k n \times k n×k矩阵 B , C B,C B,C，有 A B = A C    ⟹    B = C AB = AC \implies B = C AB=AC⟹B=C；

• 右消去 ：若 A m × n A_{m \times n} Am×n行满秩（ r ( A ) = m r(A) = m r(A)=m），则对任意 k × m k \times m k×m矩阵 B , C B,C B,C，有 B A = C A    ⟹    B = C BA = CA \implies B = C BA=CA⟹B=C。

左消去证明

由 A B = A C AB = AC AB=AC得 A ( B − C ) = O A(B - C) = O A(B−C)=O，令 X = B − C X = B - C X=B−C，需证 A X = O AX = O AX=O仅有零解。

根据线性代数基本定理， A X = O AX = O AX=O的解空间维数为 n − r ( A ) n - r(A) n−r(A)。当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n时，维数为 0 0 0，故 X = O X = O X=O，即 B = C B = C B=C。
注意：可逆方阵（行列满秩）可同时满足左右消去，但这只是针对同侧等式的消去规则，并不意味着矩阵可以交换位置。即使 A 可逆，也需要特定条件（如 A 是数量矩阵 k E kE kE）才能使 A B = C A AB = CA AB=CA。

2.3 解的结构

2.3.1 齐次线性方程组解的结构

设 r ( A ) = r < n r(A)=r<n r(A)=r<n，则其解空间的基（基础解系 ）由 n − r n - r n−r个线性无关的解向量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r} ξ1,ξ2,⋯,ξn−r构成，任一解可表示为：

x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r} x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r

其中 k 1 , k 2 , ⋯   , k n − r k_1,k_2,\cdots,k_{n - r} k1,k2,⋯,kn−r为任意常数（上式称为齐次方程组的通解）。

基础解系判定条件 ：向量组 α 1 , α 2 , ... , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1,α2,...,αs能作为 A x = 0 Ax=0 Ax=0的基础解系，当且仅当同时满足：

• 每个向量都是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解；
• 向量组线性无关；
• A x = 0 Ax=0 Ax=0的任意解均可由该组线性表示（即向量组秩等于解空间维数 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)）。
  补充结论：若 ∣ A ∣ = 0 |A| = 0 ∣A∣=0，即矩阵 A A A是奇异矩阵，则 A ∗ A = A A ∗ = ∣ A ∣ E = 0 A^*A = AA^* = |A|E=0 A∗A=AA∗=∣A∣E=0。因此， A A A的列向量是 A ∗ x = 0 A^*x = 0 A∗x=0的解，而 A ∗ A^* A∗的列向量是 A x = 0 Ax = 0 Ax=0的解。

2.3.2 非齐次线性方程组解的结构

设 A x = b Ax = b Ax=b的一个特解为 η ∗ \eta^* η∗，其导出组（ A x = 0 Ax = 0 Ax=0）的基础解系为 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r} ξ1,ξ2,⋯,ξn−r，则非齐次方程组的通解为：

x = η ∗ + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n - r}\xi_{n - r} x=η∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r

其中 k 1 , k 2 , ⋯   , k n − r k_1,k_2,\cdots,k_{n - r} k1,k2,⋯,kn−r为任意常数。

性质：若 η 1 , η 2 \eta_1,\eta_2 η1,η2是 A x = b Ax = b Ax=b的解，则 η 1 − η 2 \eta_1 - \eta_2 η1−η2是导出组 A x = 0 Ax = 0 Ax=0的解（证： A ( η 1 − η 2 ) = A η 1 − A η 2 = b − b = 0 A(\eta_1 - \eta_2) = A\eta_1 - A\eta_2 = b - b = 0 A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0）。

三、线性方程组的求解方法

3.1 高斯消元法（通用方法）

通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，进而求解，步骤如下：

1. 构造矩阵 ：写出增广矩阵 A ‾ \overline{A} A（齐次方程组仅需系数矩阵 A A A）；

2. 初等行变换 对 A ‾ \overline{A} A作初等行变换（同解变换），化为行阶梯形矩阵；

3. 解的判定与求解：

   • 若行阶梯形中出现 " 0 = d 0 = d 0=d（ d ≠ 0 d \neq 0 d=0）"，则方程组无解；

     • 若 r = n r = n r=n（秩等于未知数个数），继续化为行最简形，直接读出唯一解；

     • 若 r < n r < n r<n：

       1. 确定变量类型：非零行首非零元所在列对应非自由变量 ，其余 n − r n - r n−r个为自由变量；
       2. 求导出组基础解系：对自由变量赋线性无关的任意常数（如 ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) , ( 0 , 1 , ⋯   , 0 ) (1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0) (1,0,⋯,0),(0,1,⋯,0)），表示出非自由变量；
       3. 求非齐次特解：令自由变量全为 0 0 0，计算得特解 η ∗ \eta^* η∗；
       4. 组合通解：非齐次通解 = 特解 η ∗ \eta^* η∗+ 导出组通解。

3.2 克拉默法则（特殊方法）

适用于系数矩阵为 n 阶可逆方阵 的 n 元线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b，结论：

方程组有唯一解，且解为 x j = D j D x_j = \frac{D_j}{D} xj=DDj（ j = 1 , 2 , ⋯   , n j = 1,2,\cdots,n j=1,2,⋯,n），其中：

• D = ∣ A ∣ D = |A| D=∣A∣（系数行列式）；

• D j D_j Dj是将 A A A的第 j j j列替换为常数项向量 b b b后得到的行列式。

局限性：

1. 仅适用于 "方程个数 = 未知数个数" 且系数矩阵可逆的情况；
2. 未知数较多时计算量极大，实际应用中优先选择高斯消元法。

四、两个方程组的公共解

4.1 定义

设线性方程组 A 1 x = b 1 A_1x = b_1 A1x=b1（方程组①）和 A 2 x = b 2 A_2x = b_2 A2x=b2（方程组②），若存在向量 γ \gamma γ满足 A 1 γ = b 1 A_1\gamma = b_1 A1γ=b1且 A 2 γ = b 2 A_2\gamma = b_2 A2γ=b2，则 γ \gamma γ称为两方程组的公共解。

本质上，公共解是两方程组 "解集合的交集元素"，若交集为空，则无公共解。

4.2 求解方法（按已知条件分类）

4.2.1 联立方程组法

核心逻辑：将两个方程组合并为一个 "新方程组"，新方程组的解即为原两方程组的公共解。

操作步骤：

1. 合并为新方程组：

   • 齐次： ( A 1 A 2 ) x = 0 \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}x = 0 (A1A2)x=0
   • 非齐次： { A 1 x = b 1 A 2 x = b 2 \begin{cases} A_1x = b_1 \\ A_2x = b_2 \end{cases} {A1x=b1A2x=b2

2. 用高斯消元法求解新方程组

示例提示 ：求 { x 1 + x 2 = 0 x 1 − x 2 = 0 \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 = 0 \end{cases} {x1+x2=0x1−x2=0与 { 2 x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 = 0 \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + 2x_2 = 0 \end{cases} {2x1+x2=0x1+2x2=0的公共解，合并为 ( 1 1 1 − 1 2 1 1 2 ) x = 0 \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \\ 2&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}x = 0 11211−112 x=0，求解得公共解 x = ( 0 0 ) x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} x=(00)。

4.2.2 基础解系代入法

前提条件 ：两方程组均为齐次，已知其一基础解系（如 A 1 x = 0 A_1x=0 A1x=0的 ξ 1 , ⋯   , ξ s \xi_1,\cdots,\xi_s ξ1,⋯,ξs）。

操作步骤：

1. 写 A 1 x = 0 A_1x=0 A1x=0通解 x = k 1 ξ 1 + ⋯ + k s ξ s x = k_1\xi_1+\cdots+k_s\xi_s x=k1ξ1+⋯+ksξs；
2. 代入 A 2 x = 0 A_2x=0 A2x=0得 k i k_i ki的约束关系；
3. 代回 A 1 x = 0 A_1x=0 A1x=0通解得公共解。

4.2.3 通解等式法

核心逻辑：若已知两方程组的通解表达式，通过 "设两通解相等" 建立参数方程，求解参数关系后得到公共解。

操作步骤：

1. 写出两方程组的通解；
2. 设通解相等，建立等式（如齐次： k 1 ξ 1 + ⋯ + k s ξ s = l 1 η 1 + ⋯ + l t η t k_1\xi_1 + \cdots + k_s\xi_s = l_1\eta_1 + \cdots + l_t\eta_t k1ξ1+⋯+ksξs=l1η1+⋯+ltηt），整理为关于 k i , l j k_i, l_j ki,lj的线性方程组；
3. 求解上述参数方程组，得到 k i , l j k_i, l_j ki,lj的确定关系；
4. 将参数关系代回任一通解表达式，即为公共解。

五、 同解方程组

5.1 定义

若两个线性方程组（如 A 1 x = b 1 A_1x=b_1 A1x=b1与 A 2 x = b 2 A_2x=b_2 A2x=b2）的解集合完全重合 （互相包含），则称两方程组为同解方程组。

齐次方程组同解等价于 "解空间完全相同"（基与维数一致）。

关系辨析：同解是公共解的特殊情况，公共解仅要求两方程组解集合有交集，同解则要求两方程组解集合完全相等。

5.2 性质与判定

5.2.1 核心性质：初等行变换是同解变换

对增广矩阵（非齐次）或系数矩阵（齐次）做初等行变换，新方程组与原方程组同解（变换仅改变方程形式，不改变解集合）。

推论：若 A 1 A_1 A1与 A 2 A_2 A2行等价，且增广矩阵 A 1 ‾ \overline{A_1} A1与 A 2 ‾ \overline{A_2} A2行等价，则 A 1 x = b 1 A_1x=b_1 A1x=b1与 A 2 x = b 2 A_2x=b_2 A2x=b2同解。

5.2.2 通用同解充要条件

A 1 x = b 1 A_1x=b_1 A1x=b1与 A 2 x = b 2 A_2x=b_2 A2x=b2同解，需同时满足：

• r ( A 1 ) = r ( A 2 ) r(A_1)=r(A_2) r(A1)=r(A2)；

• r ( A 1 ‾ ) = r ( A 2 ‾ ) r(\overline{A_1})=r(\overline{A_2}) r(A1)=r(A2)（齐次方程组中 r ( A ‾ ) = r ( A ) r(\overline{A})=r(A) r(A)=r(A)）；

• 一个方程组的解必是另一个的解（结合秩相等可推双向包含）。

5.2.3 齐次方程组的特殊处理

公共解求解 ：需求多为非零公共解，联立为 ( A B ) x = 0 \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0 (AB)x=0，解即为公共解；

同解判定：

• 基础判定： r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)且一个方程组的解是另一个的解；

• 常用法： r ( A ) = r ( B ) = r ( ( A B ) ) r(A)=r(B)=r\left(\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\right) r(A)=r(B)=r((AB))；

可关联"向量组"章节的等价向量组：若向量组等价，则其构成系数矩阵的齐次方程组同解。

重要结论 ：若 A A A是 m × n m\times n m×n实矩阵，则 A x = 0 Ax=0 Ax=0和 A T A x = 0 A^TAx=0 ATAx=0是同解方程组。

证明：

• 必要性：若 A x = 0 Ax=0 Ax=0，则 A T A x = A T ( A x ) = A T 0 = 0 A^TAx = A^T(Ax) = A^T0 = 0 ATAx=AT(Ax)=AT0=0，故 x x x是 A T A x = 0 A^TAx=0 ATAx=0的解；
• 充分性：若 A T A x = 0 A^TAx=0 ATAx=0，左乘 x T x^T xT得 ( A x ) T ( A x ) = ∑ i = 1 m ( A x ) i 2 = 0 (Ax)^T(Ax) = \sum\limits_{i=1}^m (Ax)_i^2 = 0 (Ax)T(Ax)=i=1∑m(Ax)i2=0，由于 A A A是实矩阵，平方和为 0 当且仅当 A x = 0 Ax=0 Ax=0，故 x x x是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。

综上，两方程组解集合完全相同。

5.2.4 关键注意点

仅满足 r ( A 1 ) = r ( A 2 ) r(A_1)=r(A_2) r(A1)=r(A2)且 r ( A 1 ‾ ) = r ( A 2 ‾ ) r(\overline{A_1})=r(\overline{A_2}) r(A1)=r(A2)不能保证两方程组同解。

反例：

• 方程组①： { x 1 + x 2 = 0 2 x 1 + 2 x 2 = 0 \begin{cases}x_1+x_2=0\\2x_1+2x_2=0\end{cases} {x1+x2=02x1+2x2=0（解 x 1 = − x 2 x_1=-x_2 x1=−x2）；

• 方程组②： { x 1 − x 2 = 0 2 x 1 − 2 x 2 = 0 \begin{cases}x_1-x_2=0\\2x_1-2x_2=0\end{cases} {x1−x2=02x1−2x2=0（解 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2）；

两方程组秩相等，但解集合完全不同，故不同解。