信奥赛C++提高组csp-s之倍增算法

倍增算法核心思想讲解

1. 什么是倍增？

"倍增"，顾名思义，就是成倍地增加。它的核心思想是：不是一步一步地处理问题，而是将每一步的"步长"以2的幂次（1, 2, 4, 8...）进行跳跃式处理。

2. 为什么倍增有效？

高效性：通过二进制划分，可以将一个线性过程的时间复杂度从 O(N) 优化到 O(logN)。
可行性 ：任何整数都可以用二进制数表示。这意味着，从起点到终点的任意一个长度，我们都可以通过 2^k1 + 2^k2 + ... 的跳跃方式到达。
预处理：倍增算法通常需要先进行预处理，计算出一些"跳跃点"的信息，以便在查询时能够快速组合。

3. 倍增的通用步骤

定义状态 ：f[i][j] 通常表示从 i 这个点出发，走 2^j 步（或者进行 2^j 次操作）后所到达的状态。这个"状态"可以是到达的位置、区间的最值、区间和等。
预处理（DP填充） ：这是算法的关键。我们利用递推关系来填充这个 f 数组（也称为ST表、DP表）。
- 边界条件 ：f[i][0] 表示从 i 走 1 (2^0) 步后的状态。这是初始的、已知的数据。
- 递推公式 ：f[i][j] = f[ f[i][j-1] ][j-1]。这个公式是倍增的灵魂！它的意思是：从 i 走 2^j 步到达的点，等价于从 i 先走 2^(j-1) 步，到达一个中间点 f[i][j-1]，然后再从这个中间点走 2^(j-1) 步。
查询/执行 ：对于一次查询，比如"从点 u 走 k 步会到哪？"，我们将 k 分解成二进制。例如 k = 13 = 8 + 4 + 1（二进制 1101）。那么我们就依次走 8 步、4 步、1 步。每一步的跳跃都可以直接从我们预处理好的 f 数组中 O(1) 获取。

案例：ST 表 & RMQ 问题

题目描述

给定一个长度为 N N N 的数列，和 $M$ 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 N , M N,M N,M，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 N N N 个整数（记为 a i a_i ai），依次表示数列的第 i i i 项。

接下来 M M M 行，每行包含两个整数 l i , r i l_i,r_i li,ri，表示查询的区间为 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri]。

输出格式

输出包含 M M M 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

输出 #1

复制代码

说明/提示

对于 30 % 30\% 30% 的数据，满足 1 ≤ N , M ≤ 10 1\le N,M\le 10 1≤N,M≤10。

对于 70 % 70\% 70% 的数据，满足 1 ≤ N , M ≤ 10 5 1\le N,M\le {10}^5 1≤N,M≤105。

对于 100 % 100\% 100% 的数据，满足 1 ≤ N ≤ 10 5 1\le N\le {10}^5 1≤N≤105， 1 ≤ M ≤ 2 × 10 6 1\le M\le 2\times{10}^6 1≤M≤2×106， a i ∈ [ 0 , 10 9 ] a_i\in[0,{10}^9] ai∈[0,109]， 1 ≤ l i ≤ r i ≤ N 1\le l_i\le r_i\le N 1≤li≤ri≤N。

AC代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;  // 定义最大数组长度
int n, m;                // n: 数列长度, m: 询问个数
int a[N];                // 存储原始数列
int st[N][17];           // ST表，st[i][j]表示从位置i开始，长度为2^j的区间最大值

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    // 读入数列并初始化ST表第一层
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        st[i][0] = a[i];  // 长度为1的区间最大值就是元素本身
    }
    
    // 构建ST表
    for(int j = 1; j <= 17; j++) {                    // j表示区间长度为2^j
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {  // i为区间起点
            // 将区间[i, i+2^j-1]分成两个长度为2^(j-1)的子区间
            // 取两个子区间最大值的较大者作为当前区间的最大值
            st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
    
    // 处理每个查询
    while(m--) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        
        // 计算区间长度的对数（向下取整）
        int s = log2(r - l + 1);
        
        // 查询区间最大值：将区间分成可能有重叠的两部分
        // [l, l+2^s-1] 和 [r-2^s+1, r]
        int ans = max(st[l][s], st[r - (1 << s) + 1][s]);
        printf("%d\n", ans);
    }
    
    return 0;
}

功能分析

使用ST表（Sparse Table） 解决区间最大值查询（RMQ）。

核心思想：

预处理 ：构建一个二维数组st，其中st[i][j]存储从位置i开始，长度为2^j的区间内的最大值
查询：对于任意区间[l, r]，可以将其分解为两个可能有重叠的区间，取这两个区间最大值的较大者

算法步骤：

初始化：
- st[i][0] = a[i]（长度为1的区间最大值就是元素本身）
构建ST表：
- 使用动态规划思想，st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i+2^(j-1)][j-1])
- 即将大区间分成两个小区间，取两者的最大值
查询处理：
- 对于区间[l, r]，计算s = log2(r-l+1)（区间长度的对数）
- 查询结果 = max(st[l][s], st[r-2^s+1][s])

复杂度分析：

预处理：O(N log N)
单次查询：O(1)
总复杂度：O(N log N + M)

优势：

查询速度极快（O(1)），适合处理大量查询
代码简洁，实现相对容易

适用场景：

静态数据（数据不修改）
查询次数远大于数据修改次数
需要快速响应大量区间查询

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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