【题目链接】
【题目考点】
1. 图论：欧拉图
- 有向图欧拉回路判定的充要条件：
该图是弱连通图，所有顶点的入度等于出度。 - 有向图欧拉路径判定的充要条件：
该图是弱连通图，只有一个顶点的出度比入度大1，一个顶点的入度比出度大1，其余顶点的入度等于出度。
【解题思路】
一个单词可以看作一个顶点，如果一个单词A的末尾字母和单词B的首字母相同，可以看作从顶点A到顶点B有一条有向边。本题要所有的单词首尾连接，即需要找到该图的一条欧拉路径（包括欧拉回路）。
首先判断该图是否存在欧拉路径。
输入一个单词，将单词的首尾字母转为顶点编号（字符a转为1，字符b转为2，...，字符c转为c-'a'+1）
单词的首字母表示的顶点到单词末尾字母表示的顶点设一条有向边，保存在邻接表中。
如果顶点A到顶点B有一条有向边，那么顶点A的出度增加1，顶点B的入度增加1。
判断该图是否存在欧拉路径，首先这个图应该是弱连通图，也就是说，将所有的边当做无向边，看这个无向图（原图的基图）是否为连通图，如果是，那么这个图是弱连通图。
判定一个无向图是否是连通图，可以使用深搜或广搜遍历图的方法，也可以使用并查集。
相关方法见：信息学奥赛一本通 1362：家庭问题(family)
本题使用并查集来判定该有向图的基图是否是连通图。将每条边连接的两个顶点所在的集合（连通分量）合并，最后统计集合的数量，即为该图的连通分量的数量。如果连通分量的数量为1，该图为连通图。
本题中不统计孤立点作为一个连通分量的情况，所以在看一个顶点是否为集合的根结点前，要先判断该顶点是否存在入度或出度。如果入度或出度大于0，该顶点就不是孤立点。
因为本题是判断一个图是否为欧拉图或半欧拉图。孤立点不与边相连，一个图是否是欧拉图，与孤立点的数量没有关系。尽管从概念上来说，一个孤立点也是一个连通分量，而本题应该统计有边参与的连通分量的数量，因此统计连通分量时应该不统计孤立点。
遍历所有的顶点：
- 如果顶点的入度等于出度，则跳过该顶点
- 统计入度比出度大1的顶点数量stNum与出度比入度大1的顶点数量edNum
- 如果出现其他情况，如顶点的入度与出度的差值大于等于2，或出度与入度的差值大于等于2，该图一定不是欧拉图或半欧拉图，不存在欧拉路径。
遍历结束后
- 如果stNum与edNum都为0，说明该图的所有顶点的入度与出度都相等，是欧拉图。
- 如果stNum与edNum都为1，说明该图存在1个入度比出度大1的顶点，存在一个出度比入度大1的顶点，其余顶点都入度等于出度，该图是半欧拉图。
- 其他情况，该图不是欧拉图或半欧拉图，不存在欧拉路径。
根据该图是否存在欧拉路径，输出结果。
【题解代码】
解法1：使用并查集判断基图是否为连通图
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 30;
int t, n, cnt, fa[N], degIn[N], degOut[N];
void initFa(int n)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
}
int find(int x)
{
return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
fa[find(x)] = find(y);
}
bool hasEulerPath()
{
int stNum = 0, edNum = 0;
for(int i = 1; i <= 26; ++i) if(degIn[i] != degOut[i])
{
if(degIn[i]-degOut[i] == 1)
stNum++;
else if(degOut[i]-degIn[i] == 1)
edNum++;
else//如果顶点i入度出度不等，或有多个入度比出度大1/出度比入度大1的顶点，或有入度出度差值不为1的顶点，则该图不存在欧拉路径
return false;
}
return stNum == 0 && edNum == 0 || stNum == 1 && edNum == 1;
}
int main()
{
string s;
cin >> t;
while(t--)
{
memset(degIn, 0, sizeof(degIn));
memset(degOut, 0, sizeof(degOut));
cnt = 0;
cin >> n;
initFa(26);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> s;
int u = s.front()-'a'+1, v = s.back()-'a'+1;
degIn[v]++, degOut[u]++;
merge(u, v);
}
for(int i = 1; i <= 26; ++i)
if((degIn[i] > 0 || degOut[i] > 0) && fa[i] == i)//该顶点在连通图中，且该顶点是根结点
cnt++;
if(cnt == 1 && hasEulerPath())
cout << "Ordering is possible.\n";
else
cout << "The door cannot be opened.\n";
}
return 0;
}解法2：dfs判断基图是否为连通图
换一种写法进行欧拉图判定
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 30;
int t, n, cnt, degIn[N], degOut[N], edge[N][N];
bool vis[N];
void dfs(int u)
{
vis[u] = true;
for(int v = 1; v <= 26; ++v)
if(edge[u][v] && !vis[v])
dfs(v);
}
bool hasEulerPath()
{
bool halfEuler = false, hasSt = false, hasEd = false;//halfEuler：是否为半欧拉图 hasSt：是否有出度比入度大1的顶点 hasEd：是否有入度比出度大1的顶点
for(int i = 1; i <= 26; ++i) if(degIn[i] != degOut[i])
{
halfEuler = true;
if(!hasEd && degIn[i]-degOut[i] == 1)
hasEd = true;
else if(!hasSt && degOut[i]-degIn[i] == 1)
hasSt = true;
else//如果顶点i入度出度不等，或有多个入度比出度大1/出度比入度大1的顶点，或有入度出度差值不为1的顶点，则该图不存在欧拉路径
return false;
}
return !halfEuler || hasSt && hasEd;
}
int main()
{
string s;
cin >> t;
while(t--)
{
memset(degIn, 0, sizeof(degIn));
memset(degOut, 0, sizeof(degOut));
memset(edge, 0, sizeof(edge));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
cnt = 0;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> s;
int u = s.front()-'a'+1, v = s.back()-'a'+1;
edge[u][v] = edge[v][u] = 1;//建原有向图的基图（无向图）
degIn[v]++, degOut[u]++;
}
for(int i = 1; i <= 26; ++i) if((degIn[i] > 0 || degOut[i] > 0) && !vis[i])
{
dfs(i);
cnt++;
}
if(cnt == 1 && hasEulerPath())
cout << "Ordering is possible.\n";
else
cout << "The door cannot be opened.\n";
}
return 0;
}