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经济订货量（EOQ）扩展模型：有限生产率场景下的库存优化
1. 摘要
在传统EOQ模型中，"瞬时补货"假设（即订单下达后整批货物立即入库）是核心前提之一，但在制造业等场景中，企业通常通过自有生产线生产补货，生产过程以有限速率持续进行（而非瞬时完成）。有限生产率EOQ模型通过放松"瞬时补货"假设，整合生产速率与需求速率的动态关系，构建更贴合实际生产场景的库存决策工具。本文基于统一符号体系，结合库存动态图（图1），系统阐述该模型的核心逻辑、公式推导与应用价值。
2. 模型核心假设与参数定义
2.1. 核心假设
有限生产率EOQ模型延续传统EOQ的基础假设，仅调整补货方式相关设定：
- 需求率（ μ \mu μ）恒定且已知，单位为"件/单位时间"；
- 订货成本（ K K K）为单次生产准备的固定成本（与生产批量无关）；
- 持有成本率（ h h h）为单位产品持有单位时间的成本，恒定不变；
- 生产速率（ λ \lambda λ）恒定且已知，满足 λ > μ \lambda > \mu λ>μ（生产速率需高于需求速率，否则无法持续满足需求）；
- 生产启动后，产品以速率 λ \lambda λ持续入库，无缺货、无生产中断，库存管理为多周期场景。
2.2. 参数定义（与基础EOQ模型保持一致）
- λ \lambda λ：生产速率（件/单位时间），即生产线单位时间的产出量；
- μ \mu μ：需求率（件/单位时间），即单位时间内的产品消耗量；
- Q Q Q：生产批量（件），即每次生产的产品数量；
- K K K：生产准备成本（货币单位/次），即每次启动生产线的固定成本；
- h h h：持有成本率（货币单位/（件·单位时间））；
- Π ( Q ) \Pi(Q) Π(Q)：单位时间总库存成本（货币单位/单位时间）。
3. 库存动态与关键参数推导（结合图1）
图1展示了有限生产率场景下的库存动态变化（横轴为时间，纵轴为库存水平），其核心过程分为"生产阶段"与"消耗阶段"，各阶段的关键参数推导如下：
3.1. 图1：有限生产率下的库存动态图
（注：图中红色曲线为库存水平变化， t t t为生产启动时刻， t + Q / λ t+Q/\lambda t+Q/λ为生产结束时刻， t + Q / μ t+Q/\mu t+Q/μ为库存耗尽时刻）
3.2. 生产阶段（ t → t + Q / λ t \to t+Q/\lambda t→t+Q/λ）
在时刻 t t t，库存水平降至0（或安全库存），启动生产：
- 生产持续时间：生产批量为 Q Q Q，生产速率为 λ \lambda λ，因此生产阶段时长为 Q λ \frac{Q}{\lambda} λQ；
- 库存净积累速率：生产过程中，产品以速率 λ \lambda λ入库，同时以速率 μ \mu μ消耗，因此库存净积累速率为 λ − μ \lambda - \mu λ−μ；
- 最大库存水平：生产结束时（ t + Q / λ t+Q/\lambda t+Q/λ），库存达到最大值，即净积累速率乘以生产时长：
I max = ( λ − μ ) ⋅ Q λ I_{\text{max}} = (\lambda - \mu) \cdot \frac{Q}{\lambda} Imax=(λ−μ)⋅λQ
3.3. 消耗阶段（ t + Q / λ → t + Q / μ t+Q/\lambda \to t+Q/\mu t+Q/λ→t+Q/μ）
生产结束后，生产线停止运行，库存仅以需求率 μ \mu μ消耗：
- 消耗阶段时长：库存从最大值 I max I_{\text{max}} Imax耗尽所需时间，即 I max μ \frac{I_{\text{max}}}{\mu} μImax，代入 I max I_{\text{max}} Imax的表达式后化简为：
Q μ − Q λ \frac{Q}{\mu} - \frac{Q}{\lambda} μQ−λQ - 生产-消耗周期：完整的"生产-消耗"周期时长为生产阶段与消耗阶段之和，即 Q μ \frac{Q}{\mu} μQ，与传统EOQ模型的订货间隔一致。
3.4. 平均库存水平
与传统EOQ模型类似，有限生产率场景下的库存水平在"0-最大库存"之间线性变化（生产阶段上升、消耗阶段下降），因此平均库存水平 为最大库存的一半：
I avg = I max 2 = ( λ − μ ) Q 2 λ I_{\text{avg}} = \frac{I_{\text{max}}}{2} = \frac{(\lambda - \mu)Q}{2\lambda} Iavg=2Imax=2λ(λ−μ)Q
4. 总成本函数与最优生产批量推导
4.1. 总成本函数构建
总库存成本仍由生产准备成本、持有成本与生产变动成本（对应传统EOQ的采购成本）三部分构成，其中：
- 生产变动成本：单位生产变动成本为 c c c，单位时间生产变动成本为 c μ c\mu cμ（与生产批量无关）；
- 生产准备成本：单位时间内的生产准备次数为 μ Q \frac{\mu}{Q} Qμ，因此单位时间生产准备成本为 K μ Q \frac{K\mu}{Q} QKμ；
- 持有成本：单位时间持有成本为 h ⋅ I avg h \cdot I_{\text{avg}} h⋅Iavg，代入平均库存表达式后为 h ⋅ ( λ − μ ) Q 2 λ h \cdot \frac{(\lambda - \mu)Q}{2\lambda} h⋅2λ(λ−μ)Q。
综上，单位时间总库存成本函数为：
Π ( Q ) = c μ + K μ Q + h ⋅ ( λ − μ ) Q 2 λ \Pi(Q) = c\mu + \frac{K\mu}{Q} + h \cdot \frac{(\lambda - \mu)Q}{2\lambda} Π(Q)=cμ+QKμ+h⋅2λ(λ−μ)Q
4.2. 最优生产批量（ Q ∗ Q^* Q∗）推导
为简化公式，定义调整后持有成本率 h ^ \hat{h} h^（即考虑有限生产率后的有效持有成本）：
h ^ = h ⋅ λ − μ λ \hat{h} = h \cdot \frac{\lambda - \mu}{\lambda} h^=h⋅λλ−μ
此时总成本函数可改写为与传统EOQ模型一致的形式：
Π ( Q ) = c μ + K μ Q + h ^ Q 2 \Pi(Q) = c\mu + \frac{K\mu}{Q} + \frac{\hat{h}Q}{2} Π(Q)=cμ+QKμ+2h^Q
对该函数关于 Q Q Q求导并令导数为0，即可得到最优生产批量：
Q ∗ = 2 K μ h ^ = 2 K μ λ h ( λ − μ ) Q^* = \sqrt{\frac{2K\mu}{\hat{h}}} = \sqrt{\frac{2K\mu\lambda}{h(\lambda - \mu)}} Q∗=h^2Kμ =h(λ−μ)2Kμλ
4.3. 最小总库存成本
将最优生产批量 Q ∗ Q^* Q∗代入总成本函数，可得到单位时间最小总库存成本：
Π ( Q ∗ ) = c μ + 2 K μ h ( λ − μ ) λ \Pi(Q^*) = c\mu + \sqrt{\frac{2K\mu h(\lambda - \mu)}{\lambda}} Π(Q∗)=cμ+λ2Kμh(λ−μ)
5. 实例演算
假设某制造企业的生产-库存系统参数如下：
- 生产速率 λ = 250 \lambda = 250 λ=250件/年；
- 需求率 μ = 100 \mu = 100 μ=100件/年；
- 生产准备成本 K = 75 K = 75 K=75货币单位/次；
- 持有成本率 h = 10 h = 10 h=10货币单位/（件·年）；
- 单位生产变动成本 c = 50 c = 50 c=50货币单位/件。
5.1. 计算调整后持有成本率
h ^ = 10 ⋅ 25 − 100 250 = 6 货币单位/（件-年) \hat{h} = 10 \cdotp \frac{25-100}{250}=6 \ \text{货币单位/（件-年)} h^=10⋅25025−100=6 货币单位/（件-年)
5.2. 计算最优生产批量
Q ∗ = 2 × 75 × 100 6 = 2500 = 50 件 Q^* = \sqrt{\frac{2 \times 75 \times 100}{6}} = \sqrt{2500} = 50 \text{件} Q∗=62×75×100 =2500 =50件
5.3. 计算最小总库存成本
Π ( Q ∗ ) = 50 × 100 + 2 × 75 × 100 × 10 × ( 250 − 100 ) 250 = 5000 + 300 = 5300 货币单位/年 \Pi(Q^*) = 50 \times 100 + \sqrt{\frac{2 \times 75 \times 100 \times 10 \times (250 - 100)}{250}} = 5000 + 300 = 5300 \text{货币单位/年} Π(Q∗)=50×100+2502×75×100×10×(250−100) =5000+300=5300货币单位/年
6. 模型核心特性与应用价值
6.1. 核心特性
- 生产速率的影响：生产速率 λ \lambda λ越大，调整后持有成本率 h ^ \hat{h} h^越接近 h h h，最优生产批量 Q ∗ Q^* Q∗越接近传统EOQ（当 λ → ∞ \lambda \to \infty λ→∞时， Q ∗ Q^* Q∗与传统EOQ完全一致）；
- 库存水平的降低：由于生产过程持续进行，平均库存水平（ ( λ − μ ) Q 2 λ \frac{(\lambda - \mu)Q}{2\lambda} 2λ(λ−μ)Q）低于传统EOQ的 Q 2 \frac{Q}{2} 2Q，可减少仓储空间占用与资金占用。
6.2. 应用价值
- 贴合制造业生产场景：适用于自有生产线生产补货的企业，如电子元件制造、食品加工等行业；
- 平衡生产与库存成本：通过量化生产速率与需求速率的关系，避免"过度生产导致库存积压"或"生产不足导致需求缺失"的问题；
- 与精益生产的协同：有限生产率模型的核心逻辑与"小批量、多批次"的精益生产理念一致，可通过提高生产速率（ λ \lambda λ）或降低生产准备成本（ K K K），进一步减小生产批量，实现"准时化生产"。
有限生产率EOQ模型通过整合生产过程的动态特性，弥补了传统EOQ模型"瞬时补货"假设的局限性，为制造业企业提供了更精准的库存-生产联合决策工具。其核心逻辑在于"平衡生产准备成本与库存持有成本"，同时考虑生产速率对库存积累的影响，最终实现生产与库存的协同优化。