快速幂算法 - 技术栈

快速幂算法：如何用 O(log n) 解决大数幂运算

引言

在计算机科学和密码学中，经常需要计算大数幂模运算（如 RSA 加密中的 m^d mod n）。当指数较大时，直接计算会导致性能问题和溢出。快速幂算法（Exponentiation by Squaring）通过二进制分解将时间复杂度从 O(n) 优化到 O(log n)，成为解决这类问题的关键技术。

算法原理

1. 二进制分解

将指数 e 转换为二进制形式：

5 (十进制) = 101 (二进制)

2. 平方累乘法

若当前二进制位为 1：结果乘以当前基数
每位处理完后：基数平方
每步执行模运算防止溢出

3. 数学表示

对于计算 a^e mod m：

递归式
ae={(ae/2)2if e is evena⋅(a(e−1)/2)2if e is odd a^{e} = \begin{cases} (a^{e/2})^2 & \text{if } e \text{ is even} \\ a \cdot (a^{(e-1)/2})^2 & \text{if } e \text{ is odd} \end{cases} ae={(ae/2)2a⋅(a(e−1)/2)2if e is evenif e is odd
二进制表示指数形式的递推式
baseexp % mod=baseen−1,⋅⋅⋅,e2,e1,e0 % mod=((baseen−1<<n−1 % mod) ∗ ⋅⋅⋅∗ (baseel<<1 % mod) ∗ (basee0<<0 % mod)) % mod base^{exp} \text{ }\% \text{ } mod =base^{e_{n-1},\cdot\cdot\cdot,e{2},e{1},e{0}} \text{ }\% \text{ } mod\\ =((base^{e{n-1} << n-1}\text{ }\%\text{ }mod) \text{ }* \text{ }\cdot\cdot\cdot* \text{ }(base^{e{l} << 1}\text{ } \%\text{ } mod) \text{ }* \text{ }(base^{e{0} << 0} \text{ }\% \text{ }mod ))\text{ }\% \text{ }mod baseexp % mod=baseen−1,⋅⋅⋅,e2,e1,e0 % mod=((baseen−1<<n−1 % mod) ∗ ⋅⋅⋅∗ (baseel<<1 % mod) ∗ (basee0<<0 % mod)) % mod

而baseibase^{i} % modbasei的结果，是逐渐翻倍的关系，即base2=(base1)2,base4=(base2)2base^{2} =(base^{1})^{2}, base^{4} = (base^{2})^{2}base2=(base1)2,base4=(base2)2

算法实现

Python 实现

python 复制代码

def fast_power(base, exponent, modulus):
    result = 1
    base = base % modulus  # 初始取模
    while exponent > 0:
        if exponent & 1:  # 当前位为1
            result = (result * base) % modulus
        base = (base * base) % modulus  # 基数平方
        exponent >>= 1  # 右移一位
    return result

C++ 实现

c++ 复制代码

long fastPower(long base, long exponent, long modulus) {
    long result = 1;
    base = base % modulus;
    while (exponent > 0) {
        if (exponent & 1)
            result = (result * base) % modulus;
        base = (base * base) % modulus;
        exponent >>= 1;
    }
    return result;
}

计算示例

示例 1：计算 3^5 mod 7

输出结果：5
示例 2：RSA 签名计算

m = 23547 # 消息

d = 132111 # 私钥

n = 824737 # 模数

signature = fast_power(m, d, n) # 输出：266749

复杂度分析

指标	值	说明
时间复杂度	O(log n)	指数每次循环减半
空间复杂度	O(1)	仅需常数级存储空间
性能提升	指数级	相比朴素算法 O(n) 显著优化

应用场景

密码学领域

RSA 加密/解密
数字签名
Diffie-Hellman 密钥交换

计算优化

大数模运算（如组合数计算）
动态规划状态转移优化
素数测试（Miller-Rabin算法）

总结

核心优势

二进制分解：指数按位处理
平方累乘：基数平方代替重复乘法
模运算优化：每步防溢出
位运算加速：移位代替乘除

算法意义

快速幂算法体现了"分治"思想的核心价值：

将 O(n) 问题转化为 O(log n)
解决密码学中的核心计算瓶颈
为复杂算法（如矩阵快速幂）提供基础框架