信奥赛C++提高组csp-s之倍增算法思想及应用（2）：LCA
题目描述
如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
输入格式
第一行包含三个正整数 N , M , S N,M,S N,M,S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 N − 1 N-1 N−1 行每行包含两个正整数 x , y x, y x,y，表示 x x x 结点和 y y y 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 M M M 行每行包含两个正整数 a , b a, b a,b，表示询问 a a a 结点和 b b b 结点的最近公共祖先。
输出格式
输出包含 M M M 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5输出 #1
4
4
1
4
4说明/提示
对于 30 % 30\% 30% 的数据， N ≤ 10 N\leq 10 N≤10， M ≤ 10 M\leq 10 M≤10。
对于 70 % 70\% 70% 的数据， N ≤ 10000 N\leq 10000 N≤10000， M ≤ 10000 M\leq 10000 M≤10000。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ N , M ≤ 5 × 10 5 1 \leq N,M\leq 5\times10^5 1≤N,M≤5×105， 1 ≤ x , y , a , b ≤ N 1 \leq x, y,a ,b \leq N 1≤x,y,a,b≤N，不保证 a ≠ b a \neq b a=b。
样例说明：
该树结构如下：
第一次询问： 2 , 4 2, 4 2,4 的最近公共祖先，故为 4 4 4。
第二次询问： 3 , 2 3, 2 3,2 的最近公共祖先，故为 4 4 4。
第三次询问： 3 , 5 3, 5 3,5 的最近公共祖先，故为 1 1 1。
第四次询问： 1 , 2 1, 2 1,2 的最近公共祖先，故为 4 4 4。
第五次询问： 4 , 5 4, 5 4,5 的最近公共祖先，故为 4 4 4。
故输出依次为 4 , 4 , 1 , 4 , 4 4, 4, 1, 4, 4 4,4,1,4,4。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10; // 最大节点数
const int LOG = 20; // 最大对数深度，2^20 > 500000
int n, m, s; // 节点数、查询数、根节点
vector<int> g[N]; // 邻接表存储树
int d[N]; // 每个节点的深度
int f[N][LOG]; // f[i][j]表示节点i向上跳2^j步到达的节点
// BFS预处理深度和倍增数组
void bfs(int root) {
queue<int> q;
q.push(root);
d[root] = 1; // 根节点深度为1
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
// 遍历u的所有邻居节点
for (int v : g[u]) {
if (d[v]) continue; // 如果已经访问过，跳过
d[v] = d[u] + 1; // 子节点深度 = 父节点深度 + 1
f[v][0] = u; // v向上跳1步(2^0)到达父节点u
q.push(v);
}
}
// 预处理倍增数组
for (int k = 1; k < LOG; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// f[i][k] = i向上跳2^k步 = 先跳2^(k-1)步，再跳2^(k-1)步
f[i][k] = f[f[i][k - 1]][k - 1];
}
}
}
// 求节点a和b的最近公共祖先
int lca(int a, int b) {
// 确保a的深度不小于b，方便后续处理
if (d[a] < d[b]) swap(a, b);
// 将a向上跳到与b同一深度
for (int k = LOG - 1; k >= 0; k--) {
// 如果a跳2^k步后深度仍不小于b，就跳
if (d[f[a][k]] >= d[b]) {
a = f[a][k];
}
}
// 如果此时a和b相同，说明b就是a的祖先
if (a == b) return a;
// a和b同时向上跳，直到它们的父节点相同
for (int k = LOG - 1; k >= 0; k--) {
// 如果父节点不同就跳，这样最后会停在LCA的下一层
if (f[a][k] != f[b][k]) {
a = f[a][k];
b = f[b][k];
}
}
// 此时a和b的父节点就是LCA
return f[a][0];
}
int main() {
cin >> n >> m >> s;
// 读入树结构
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
// 预处理
bfs(s);
// 处理每个查询
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
printf("%d\n", lca(a, b));
}
return 0;
}功能分析
算法思路
使用倍增法 求解LCA（最近公共祖先）问题。主要思想是通过预处理每个节点向上跳 2 k 2^k 2k步的节点，从而在查询时能够快速跳跃到目标位置。
核心算法
-
数据结构
g[N]：邻接表存储树结构d[N]：记录每个节点的深度f[N][LOG]：倍增数组，f[i][j]表示从节点i向上跳 2 j 2^j 2j步到达的节点
-
预处理阶段（BFS）
- 计算每个节点的深度
- 初始化
f[i][0]（直接父节点） - 使用动态规划填充倍增数组：
f[i][k] = f[f[i][k-1]][k-1]
-
查询阶段（LCA函数）
- 步骤1：将较深的节点向上跳到与另一节点同一深度
- 步骤2：如果此时两节点相同，直接返回
- 步骤3：两节点同时向上跳，直到它们的父节点相同
- 步骤4：返回父节点即为LCA
关键理解点
- 深度对齐：总是让较深的节点向上跳到与较浅节点同一深度
- 倍增跳跃：从最大步长(2^k)开始尝试，能跳就跳（不会跳过目标深度）
- 同时跳跃：深度对齐后，两个节点一起向上跳，但保持不跳到同一个节点（停在LCA的下一层）
- 父节点即LCA：最后a和b的父节点就是最近公共祖先
时间复杂度
- 预处理：O(n log n)
- 每次查询：O(log n)
- 总体 ：O((n + m) log n)，能够处理5× 10 5 10^5 105级别的数据
算法优势
- 查询效率高，适合多次查询的场景
- 代码实现相对简单
- 空间复杂度可控（O(n log n)）
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}