信奥赛C++提高组csp-s之倍增算法思想及应用（3）
题目描述
小 A 的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小 A 每天早上在 6 : 00 6:00 6:00 之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小 A 偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小 A 买了一个空间跑路器，每秒钟可以跑 2 k 2^k 2k 千米（ k k k 是任意自然数）。当然，这个机器是用 longint 存的，所以总跑路长度不能超过 maxlongint 千米。小 A 的家到公司的路可以看做一个有向图，小 A 家为点 1 1 1，公司为点 n n n，每条边长度均为一千米。小 A 想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证 1 1 1 到 n n n 至少有一条路径。
输入格式
第一行两个整数 n , m n,m n,m，表示点的个数和边的个数。
接下来 m m m 行每行两个数字 u , v u,v u,v，表示一条 u u u 到 v v v 的边。
输出格式
一行一个数字，表示到公司的最少秒数。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 4
1 1
1 2
2 3
3 4输出 #1
1说明/提示
【样例解释】
1 → 1 → 2 → 3 → 4 1 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4 1→1→2→3→4，总路径长度为 4 4 4 千米，直接使用一次跑路器即可。
【数据范围】
50 % 50\% 50% 的数据满足最优解路径长度 ≤ 1000 \leq 1000 ≤1000；
100 % 100\% 100% 的数据满足 2 ≤ n ≤ 50 2\leq n \leq 50 2≤n≤50， m ≤ 10 4 m \leq 10 ^ 4 m≤104，最优解路径长度 ≤ \leq ≤ maxlongint。
AC代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 60; // 最大节点数
const int LOG = 62; // 最大对数，2^62足够大
int n, m;
bool g[N][N][LOG]; // g[i][j][k] 表示是否存在从i到j长度为2^k的路径
int d[N][N]; // d[i][j] 表示从i到j的最短时间（秒数）
int main(){
cin >> n >> m;
// 初始化
memset(g, false, sizeof(g));
memset(d, 0x3f, sizeof(d)); // 初始化为无穷大
// 读入边信息
for(int i = 1; i <= m; i++){
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u][v][0] = true; // 基础边，长度为2^0=1
d[u][v] = 1; // 直接边需要1秒
}
// 倍增预处理：计算所有2^k可达性
for(int k = 1; k < LOG; k++){ // 处理2^k长度
for(int t = 1; t <= n; t++){ // 中间点
for(int i = 1; i <= n; i++){ // 起点
for(int j = 1; j <= n; j++){ // 终点
// 如果存在i->t的2^(k-1)路径和t->j的2^(k-1)路径
// 那么存在i->j的2^k路径
if(g[i][t][k-1] && g[t][j][k-1]){
g[i][j][k] = true;
d[i][j] = 1; // 2^k路径只需要1秒
}
}
}
}
}
// Floyd算法计算最短时间
for(int k = 1; k <= n; k++){ // 中间点
for(int i = 1; i <= n; i++){ // 起点
for(int j = 1; j <= n; j++){ // 终点
// 更新最短时间
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
cout << d[1][n] << endl; // 输出从1到n的最短时间
return 0;
}功能分析
问题理解
- 跑路器特性 ：每秒可以跑 2 k 2^k 2k 千米（ k k k 是任意自然数）
- 图结构：有向图，每条边长度为1千米
- 目标：计算从节点1到节点n的最少秒数
算法思想
-
倍增预处理：
g[i][j][k] = true表示存在从i到j长度为 2 k 2^k 2k 的路径- 通过动态规划计算：如果存在i→t的 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1 路径和t→j的 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1 路径，那么存在i→j的 2 k 2^k 2k 路径
- 对于这样的路径，设置
d[i][j] = 1（因为一次跑路器就能走完）
-
Floyd算法：
- 在预处理的基础上，计算任意两点间的最短时间
- 考虑通过中间点的路径组合，找到真正的最短时间
关键点说明
-
为什么需要两步处理：
- 第一步找出所有可以用1秒到达的点对（距离为2的幂次）
- 第二步组合这些1秒路径，找到最优的路径序列
-
时间复杂度：
- 倍增预处理：O(n³ × LOG)
- Floyd算法：O(n³)
- 由于n≤50，这在可接受范围内
示例解释
对于样例：
4 4
1 1
1 2
2 3
3 4- 存在路径1→1→2→3→4，总长度4千米
- 4是2的幂次（4=2²），所以一次跑路器即可
- 输出1
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";
cout<<"############# 冲刺信奥赛拿奖! #############";
cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}