一 真题2010-7
2010-07. 若无向图 G=(V,E)G=(V,E) 中含有 7 个顶点，要保证图 GG 在任何情况下都是连通的，则需要的边数最少是（ ）。
A. 6
B. 15
C. 16
D. 21
二 题目要素解析
核心概念 ：图的连通性 与极端情况分析。
- 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径。
- 完全图：任意两个顶点之间都有边相连。n 个顶点的无向完全图边数为 n(n−1)/2。
解题关键 ：题目要求 **"在任何情况下"都连通。这意味着我们要考虑最坏情况 **（最不连通的边缘情况），然后再加一条边打破这个局面。
鸽巢原理：为了破坏连通性，最多能有多少条边？答案是：构成一个包含 n−1 个顶点的完全图，剩下 1 个顶点孤立。
三 哔哔详解
步骤 1：分析 "最不连通" 的情况
要让 7 个顶点的图不连通，且边数尽可能多（这是最坏的情况），我们可以这样构造：
- 将 6 个顶点构成一个完全图（这 6 个点内部任意两点都连通）。
- 剩下的 1 个顶点孤立（不与任何点相连）。
此时，图是不连通的（有两个连通分量）。
步骤 2：计算 "最不连通" 情况下的边数
计算 6 个顶点的完全图的边数：
Emax_disconnected=6×(6−1)2=6×52=15E_{\text{max\_disconnected}} = \frac{6 \times (6 - 1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15Emax_disconnected=26×(6−1)=26×5=15
也就是说，只要边数 ≤15，都有可能存在不连通的情况（比如上述的 6 点团 + 1 孤立点）。
步骤 3：打破僵局
题目要求 "保证" 连通，即无论怎么连，只要边数达到这个数，就必须连通。
因此，我们需要在最坏情况（15 条边）的基础上，再加 1 条边。
这条边必然会连接那个孤立的顶点和 6 点团中的任意一个顶点，从而使整个图连通。
Erequired=15+1=16E_{\text{required}} = 15 + 1 = 16Erequired=15+1=16
四 参考答案
参考答案 C
五 考点精析
5.1 无向图和连通图基本概念
1. 无向图（Undirected Graph）
- 定义：图中每条边都是没有方向的。
- 表示：边 (v,w) 与 (w,v) 是同一条边。
- 完全图 ：任意两个顶点之间都存在边。
- n 个顶点的无向完全图，边数E=n(n−1)2E = \frac{n(n-1)}{2}E=2n(n−1)。
2. 连通图（Connected Graph）
- 定义 ：在无向图中，如果从顶点 v 到顶点 w 有路径存在，则称 v 和 w 是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图为连通图。
- 连通分量 ：无向图中的极大连通子图。
- 注意：连通图只有 1 个连通分量（它自己）；非连通图有多个连通分量
✅ 示例：
- 树是连通图（且无环）
- 完全图 KnK_nKn 是连通图
- 一个孤立点 + 一个三角形 → 非连通图（两个连通分量）
5.2 关键性质与公式
1. 保持连通的最少边数（生成树性质）
- 问题：一个有 n 个顶点的连通图，最少需要多少条边？
- 答案：n−1。
- 解释：此时图的形状是一棵树（生成树）。如果再少一条边（n−2），图就会变成非连通的（森林）。
- 408 考点：常用于判断图是否存在环（边数 ≥n 则一定有环）。
2. 最大不连通图的边数（极端情况）
-
问题 ：一个有 n 个顶点的无向图，要让它不连通，最多可以有多少条边？
-
策略：构造一个 "极大" 的非连通图。即：让 n−1 个顶点构成一个完全图（边数最多），剩下的 1 个顶点孤立（无边）。
-
公式：
Emax_dis=(n−1)(n−2)2E_{\text{max\_dis}} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}Emax_dis=2(n−1)(n−2)
-
解释：只要边数不超过这个值，图就有可能是不连通的。
3. 保证连通的最少边数（鸽巢原理 / 最坏情况）
-
问题 ：一个有 n 个顶点的无向图，要保证它在任何情况下都是连通的，最少需要多少条边？
-
策略 ：在 "最大不连通图" 的基础上，再加 1 条边。这条边无论怎么连，都会把那个孤立的点连入完全图中，从而迫使整个图连通。
-
公式：
Eguarantee=(n−1)(n−2)2+1E{\text{guarantee}} = \frac{(n-1)(n-2)}{2} + 1Eguarantee=2(n−1)(n−2)+1
-
对应真题 ：2010-7 题（n=7，计算得 15+1=16）。
5.3 总结记忆表
| 问题描述 | 核心关键词 | 公式 | 对应图形 |
|---|---|---|---|
| 最少边连通 | 生成树、极小 | n−1n-1n−1 | 一棵树 |
| 最大边不连通 | 极端、最坏、非连通 | (n−1)(n−2)2\frac{(n-1)(n-2)}{2}2(n−1)(n−2) | n−1n-1n−1 个点的完全图 + 1 个孤立点 |
| 保证连通的最少边 | 任何情况、一定 | (n−1)(n−2)2+1\frac{(n-1)(n-2)}{2}+12(n−1)(n−2)+1 | 最大不连通图 + 1 条边 |
| 边数上限 | 完全图 | n(n−1)2\frac{n(n-1)}{2}2n(n−1) | 任意两点都有边 |
六 考点跟踪
| 年份 | 题号 | 考查内容 | CSDN 参考链接 | VX参考链接 |
|---|---|---|---|---|
| 2010 | 第7题 | 无向连通图 保证连通的最少边 | ||
| 2013 | 第7题 | 有向图 邻接矩阵 | ||
| 2024 | 第4题 | 无向图 邻接多重表 |
说明 ：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。