2025信奥赛C++提高组csp-s复赛真题及题解：社团招新
题目描述
小 L 是学校算法协会的成员。在今年的学校社团招新中，小 L 一共招收了 n n n 个新成员，其中 n n n 为偶数。现在小 L 希望将他们分到协会不同的部门。
算法协会共设有三个部门，其中第 i i i ( 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n) 个新成员对第 j j j ( 1 ≤ j ≤ 3 1 \leq j \leq 3 1≤j≤3) 个部门的满意度为 a i , j a_{i,j} ai,j。定义一个分配方案的满意度为所有新成员对分配到的部门的满意度之和，也就是说，若将第 i i i ( 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n) 个新成员分配到了第 d i ∈ { 1 , 2 , 3 } d_i \in \{1,2,3\} di∈{1,2,3} 个部门，则该分配方案的满意度为 ∑ i = 1 n a i , d i \sum_{i=1}^{n} a_{i,d_i} ∑i=1nai,di。
小 L 不希望某一个部门的新成员数量过多。具体地，他要求在分配方案中，不存在一个部门被分配多于 n 2 \frac{n}{2} 2n 个新成员。你需要帮助小 L 求出，满足他要求的分配方案的满意度的最大值。
输入格式
本题包含多组测试数据。
输入的第一行包含一个正整数 t t t，表示测试数据组数。
接下来依次输入每组测试数据，对于每组测试数据：
- 第一行包含一个正整数 n n n，表示新成员的数量。
- 第 i + 1 i+1 i+1 ( 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n) 行包含三个非负整数 a i , 1 , a i , 2 , a i , 3 a_{i,1}, a_{i,2}, a_{i,3} ai,1,ai,2,ai,3，分别表示第 i i i 个新成员对第 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 个部门的满意度。
输出格式
对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示满足小 L 要求的分配方案的满意度的最大值。
输入输出样例 1
输入 1
3
4
4 2 1
3 2 4
5 3 4
3 5 1
4
0 1 0
0 1 0
0 2 0
0 2 0
2
10 9 8
4 0 0输出 1
18
4
13说明/提示
【样例 1 解释】
该样例共包含三组测试数据。
对于第一组测试数据，可以将四个新成员分别分配到第 1 , 3 , 1 , 2 1,3,1,2 1,3,1,2 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 2 , 1 , 1 2,1,1 2,1,1，均不超过 4 2 = 2 \frac{4}{2} = 2 24=2，满意度为 4 + 4 + 5 + 5 = 18 4 + 4 + 5 + 5 = 18 4+4+5+5=18。
对于第二组测试数据，可以将四个新成员分别分配到第 1 , 1 , 2 , 2 1,1,2,2 1,1,2,2 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 2 , 2 , 0 2,2,0 2,2,0，均不超过 4 2 = 2 \frac{4}{2} = 2 24=2，满意度为 0 + 0 + 2 + 2 = 4 0 + 0 + 2 + 2 = 4 0+0+2+2=4。
对于第三组测试数据，可以将两个新成员分别分配到第 2 , 1 2,1 2,1 个部门，则三个部门的新成员数量分别为 1 , 1 , 0 1,1,0 1,1,0，均不超过 2 2 = 1 \frac{2}{2} = 1 22=1，满意度为 9 + 4 = 13 9 + 4 = 13 9+4=13。
【数据范围】
对于所有测试数据，保证：
- 1 ≤ t ≤ 5 1 \leq t \leq 5 1≤t≤5;
- 2 ≤ n ≤ 10 5 2 \leq n \leq 10^5 2≤n≤105，且 n n n 为偶数;
- 对于所有 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n， 1 ≤ j ≤ 3 1 \leq j \leq 3 1≤j≤3，均有 0 ≤ a i , j ≤ 2 × 10 4 0 \leq a_{i,j} \leq 2 \times 10^4 0≤ai,j≤2×104。
| 测试点编号 | n = n= n= | 特殊性质 |
|---|---|---|
| 1 1 1 | 2 2 2 | 无 |
| 2 2 2 | 4 4 4 | ^ |
| 3 , 4 3, 4 3,4 | 10 10 10 | ^ |
| 5 ∼ 8 5 \sim 8 5∼8 | 30 30 30 | ^ |
| 9 9 9 | 200 200 200 | B |
| 10 , 11 10, 11 10,11 | ^ | 无 |
| 12 12 12 | 10 5 10^5 105 | A |
| 13 , 14 13, 14 13,14 | ^ | B |
| 15 , 16 15, 16 15,16 | ^ | C |
| 17 ∼ 20 17 \sim 20 17∼20 | ^ | 无 |
特殊性质 A：对于所有 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n，均有 a i , 2 = a i , 3 = 0 a_{i,2} = a_{i,3} = 0 ai,2=ai,3=0。
特殊性质 B：对于所有 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n，均有 a i , 3 = 0 a_{i,3} = 0 ai,3=0。
特殊性质 C：对于所有 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n， 1 ≤ j ≤ 3 1 \leq j \leq 3 1≤j≤3， a i , j a_{i,j} ai,j 均在 [ 0 , 2 × 10 4 ] [0, 2 \times 10^4] [0,2×104] 中独立均匀随机生成。
思路分析
这是一个关于社团招新分配的优化问题。需要将n个成员分配到3个部门，每个部门人数不超过n/2，目标是最大化总满意度。我们采用反悔贪心算法来解决这个问题。
算法核心思路
- 贪心初始化：首先让每个成员选择满意度最高的部门
- 处理超员：如果某个部门人数超过n/2，需要进行调整
- 最小化损失：优先调整那些调整代价（满意度损失）最小的成员
由于n为偶数且三个部门人数总和为n，数学上可以证明：最多只有一个部门会超过n/2。这是因为如果两个部门都超过n/2，总人数就会超过n。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int t, n;
// 存储每个成员对三个部门的满意度
struct node {
int d1, d2, d3; // 分别表示对部门1、2、3的满意度
} a[N];
int b[N]; // 记录每个成员初始选择的部门编号
int main() {
cin >> t; // 读取测试数据组数
while(t--) {
cin >> n; // 读取成员数量
// 读取每个成员对三个部门的满意度
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i].d1 >> a[i].d2 >> a[i].d3;
}
long long ans = 0; // 总满意度，使用long long防止溢出
int cnt1 = 0, cnt2 = 0, cnt3 = 0; // 记录三个部门当前的人数
// 第一步：贪心初始化 - 每个成员选择满意度最高的部门
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(a[i].d1 >= a[i].d2 && a[i].d1 >= a[i].d3) {
// 部门1满意度最高或并列最高
b[i] = 1; // 记录选择部门1
cnt1++; // 部门1人数增加
ans += a[i].d1; // 累加满意度
} else if(a[i].d2 >= a[i].d1 && a[i].d2 >= a[i].d3) {
// 部门2满意度最高或并列最高
b[i] = 2;
cnt2++;
ans += a[i].d2;
} else {
// 部门3满意度最高或并列最高
b[i] = 3;
cnt3++;
ans += a[i].d3;
}
}
// 第二步：检查是否有部门超员，并计算调整代价
vector<int> v; // 存储需要调整的成员的"损失值"
for(int i = 1; i <= n; i++) {
// 如果部门1超员且当前成员选择了部门1
if(cnt1 > n/2 && b[i] == 1) {
// 计算从部门1调整到其他部门的最大损失
// 损失 = 当前满意度 - 其他两个部门中较高的满意度
v.push_back(a[i].d1 - max(a[i].d2, a[i].d3));
}
// 如果部门2超员且当前成员选择了部门2
else if(cnt2 > n/2 && b[i] == 2) {
v.push_back(a[i].d2 - max(a[i].d1, a[i].d3));
}
// 如果部门3超员且当前成员选择了部门3
else if(cnt3 > n/2 && b[i] == 3) {
v.push_back(a[i].d3 - max(a[i].d1, a[i].d2));
}
}
// 第三步：对损失值进行排序，优先调整损失最小的成员
sort(v.begin(), v.end());
// 第四步：执行调整，减少超员部门的人数
int i = 0; // 用于遍历已排序的损失值
// 调整部门1的超员人员
while(cnt1 > n/2) {
ans -= v[i++]; // 减去调整损失
cnt1--; // 部门1人数减少
}
// 调整部门2的超员人员
while(cnt2 > n/2) {
ans -= v[i++];
cnt2--;
}
// 调整部门3的超员人员
while(cnt3 > n/2) {
ans -= v[i++];
cnt3--;
}
// 输出最终的最大满意度
cout << ans << endl;
}
return 0;
}功能分析
1. 贪心初始化阶段
- 每个成员独立选择满意度最高的部门
- 记录每个成员的选择和部门人数
- 计算初始总满意度
2. 超员检测与调整准备
- 检查是否有部门人数超过n/2
- 对于超员部门的每个成员，计算如果调整到次优部门的满意度损失
- 将损失值收集到数组中
3. 调整执行阶段
- 对损失值进行升序排序（最小损失优先）
- 依次调整损失最小的成员，直到部门人数不超过n/2
- 每次调整从总满意度中减去相应的损失值
4. 数学正确性保证
- 由于n为偶数，最多只有一个部门会超过n/2
- 调整后，其他部门不会因为接收调整的成员而超员
- 每次调整都选择损失最小的成员，保证最终总满意度最大化
5. 时间复杂度分析
- 贪心初始化：O(n)
- 计算调整损失：O(n)
- 排序损失值：O(k log k)，其中k为需要调整的成员数量（最多n/2）
- 总时间复杂度：O(n log n)，满足题目数据范围要求（n ≤ 10 5 ^5 5）
6. 空间复杂度分析
- 存储成员满意度：O(n)
- 存储调整损失：O(k) ≤ O(n)
- 总空间复杂度：O(n)
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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