CW方程的向量形式与解析形式

CW方程的向量形式与解析形式

引言：两种表述的互补之美

Clohessy-Wiltshire方程之所以成为轨道相对运动的经典模型，一个重要原因是它同时具备向量形式 的简洁优雅和解析形式的明确解。向量形式揭示了相对运动的本质结构，而解析形式提供了直接可用的解决方案。本文将深入探讨这两种表述形式，展示它们的内在联系和工程价值。

一、向量形式：揭示运动本质

1.1 基本向量方程

Clohessy-Wiltshire方程的完整向量形式可以表示为：

r⃗¨+2ω⃗×r⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)+ω⃗˙×r⃗=−μRc3R⃗c+μRt3R⃗t \boxed{\ddot{\vec{r}} + 2\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} = -\frac{\mu}{R_c^3}\vec{R}_c + \frac{\mu}{R_t^3}\vec{R}_t} r ¨+2ω ×r ˙+ω ×(ω ×r )+ω ˙×r =−Rc3μR c+Rt3μR t

其中：

• r⃗=R⃗c−R⃗t\vec{r} = \vec{R}_c - \vec{R}_tr =R c−R t：追踪航天器相对于目标航天器的位置向量
• ω⃗\vec{\omega}ω ：目标轨道角速度向量
• μ\muμ：地球引力常数
• R⃗t\vec{R}_tR t：目标航天器的地心位置向量
• R⃗c\vec{R}_cR c：追踪航天器的地心位置向量

1.2 简化向量形式

在圆轨道假设 （ω⃗˙=0\dot{\vec{\omega}} = 0ω ˙=0）和小相对距离假设 （∣r⃗∣≪∣R⃗t∣|\vec{r}| \ll |\vec{R}_t|∣r ∣≪∣R t∣）下，方程简化为：

r⃗¨+2ω⃗×r⃗⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)=Gr⃗ \boxed{\ddot{\vec{r}} + 2\vec{\omega} \times \dot{\vec{\vec{r}}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \mathbf{G}\vec{r}} r ¨+2ω ×r ˙+ω ×(ω ×r )=Gr

其中G\mathbf{G}G是引力梯度张量：

G=μRt3[300000000] \mathbf{G} = \frac{\mu}{R_t^3} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} G=Rt3μ 300000000

或者更紧凑地：

Gr⃗=μRt3[3x00]=3ω2[x00] \mathbf{G}\vec{r} = \frac{\mu}{R_t^3} \begin{bmatrix} 3x \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 3\omega^2 \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} Gr =Rt3μ 3x00 =3ω2 x00

1.3 物理项解释（向量形式）

项	向量表达式	物理意义	备注
惯性加速度	r⃗¨\ddot{\vec{r}}r ¨	相对加速度	在旋转坐标系中观察
科里奥利加速度	2ω⃗×r⃗˙2\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}}2ω ×r ˙	由于相对速度在旋转系中运动	垂直于ω⃗\vec{\omega}ω 和r⃗˙\dot{\vec{r}}r ˙
离心加速度	ω⃗×(ω⃗×r⃗)\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})ω ×(ω ×r )	由于坐标系旋转	指向远离旋转轴
引力梯度	Gr⃗\mathbf{G}\vec{r}Gr	引力场不均匀性	仅径向有分量

1.4 旋转坐标系下的推导

在LVLH坐标系中，角速度向量为：
ω⃗=ωy^=[0ω0] \vec{\omega} = \omega \hat{y} = \begin{bmatrix} 0 \\ \omega \\ 0 \end{bmatrix} ω =ωy^= 0ω0

各向量分量为：
r⃗=[xyz],r⃗˙=[x˙y˙z˙],r⃗¨=[x¨y¨z¨] \vec{r} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad \dot{\vec{r}} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{bmatrix}, \quad \ddot{\vec{r}} = \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{bmatrix} r = xyz ,r ˙= x˙y˙z˙ ,r ¨= x¨y¨z¨

利用向量叉积公式：
a⃗×b⃗=[aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx] \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{bmatrix} a ×b = aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx

可以计算各项：

科里奥利项 ：

2\\vec{\\omega} \\times \\dot{\\vec{r}} = 2 \\begin{bmatrix} 0 \\ \\omega \\ 0 \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} \\dot{x} \\ \\dot{y} \\ \\dot{z} \\end{bmatrix} = 2 \\begin{bmatrix} \\omega \\dot{z} - 0 \\cdot \\dot{y} \\ 0 \\cdot \\dot{x} - 0 \\cdot \\dot{z} \\ 0 \\cdot \\dot{y} - \\omega \\dot{x} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2\\omega \\dot{z} \\ 0 \\ -2\\omega \\dot{x} \\end{bmatrix}

离心项 ：

\\vec{\\omega} \\times (\\vec{\\omega} \\times \\vec{r}) = \\begin{bmatrix} 0 \\ \\omega \\ 0 \\end{bmatrix} \\times \\left( \\begin{bmatrix} 0 \\ \\omega \\ 0 \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\end{bmatrix} \\right) ## \\begin{bmatrix} 0 \\ \\omega \\ 0 \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} \\omega z \\ 0 \\ -\\omega x \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -\\omega\^2 x \\ 0 \\ -\\omega\^2 z \\end{bmatrix}

引力梯度项 ：
Gr⃗=3ω2[x00] \mathbf{G}\vec{r} = 3\omega^2 \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} Gr =3ω2 x00

二、分量形式：具体可计算的方程

2.1 标准分量方程

将向量方程展开到LVLH坐标系的三个轴向上，得到经典的分量形式：

x¨−2ωz˙−3ω2x=axy¨+ω2y=ayz¨+2ωx˙=az \boxed{ \begin{aligned} \ddot{x} - 2\omega\dot{z} - 3\omega^2 x &= a_x \\ \ddot{y} + \omega^2 y &= a_y \\ \ddot{z} + 2\omega\dot{x} &= a_z \end{aligned}} x¨−2ωz˙−3ω2xy¨+ω2yz¨+2ωx˙=ax=ay=az

其中：

• xxx：径向分量（R-bar方向）
• yyy：法向分量（H-bar方向，轨道角动量方向）
• zzz：切向分量（V-bar方向，速度方向）
• ω=μ/Rt3\omega = \sqrt{\mu/R_t^3}ω=μ/Rt3 ：轨道角速度
• ax,ay,aza_x, a_y, a_zax,ay,az：控制加速度分量

2.2 各分量方程的物理解释

径向方程（x方向）

x¨−2ωz˙−3ω2x=ax \ddot{x} - 2\omega\dot{z} - 3\omega^2 x = a_x x¨−2ωz˙−3ω2x=ax

• x¨\ddot{x}x¨：径向加速度
• −2ωz˙-2\omega\dot{z}−2ωz˙：科里奥利项，切向速度引起径向加速度
• −3ω2x-3\omega^2 x−3ω2x：净引力梯度（−ω2x-\omega^2 x−ω2x离心力 + 3ω2x3\omega^2 x3ω2x引力梯度 = −3ω2x-3\omega^2 x−3ω2x）

法向方程（y方向）

y¨+ω2y=ay \ddot{y} + \omega^2 y = a_y y¨+ω2y=ay

• 最简单的一维简谐振荡器
• ω2y\omega^2 yω2y：恢复力项，使偏离平面的运动振荡
• 无耦合项，独立于其他方向

切向方程（z方向）

z¨+2ωx˙=az \ddot{z} + 2\omega\dot{x} = a_z z¨+2ωx˙=az

• z¨\ddot{z}z¨：切向加速度
• +2ωx˙+2\omega\dot{x}+2ωx˙：科里奥利项，径向速度引起切向加速度
• 无位置相关项，但有速度耦合

2.3 矩阵形式

将分量方程写为矩阵形式，便于状态空间分析：

状态空间形式 ：

定义状态向量 X=[x,y,z,x˙,y˙,z˙]T\mathbf{X} = [x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}]^TX=[x,y,z,x˙,y˙,z˙]T，则：

X˙=AX+Bu \dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X} + B\mathbf{u} X˙=AX+Bu

其中：

A=[0001000000100000013ω200002ω0−ω20000000−2ω00],B=[000000000100010001],u=[axayaz] A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\omega \\ 0 & -\omega^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2\omega & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u} = \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix} A= 0003ω2000000−ω2000000010000−2ω0100000012ω00 ,B= 000100000010000001 ,u= axayaz

这个形式是现代控制理论应用的基础。

三、解析解：闭合形式的解

3.1 无控情况下的通解（u=0\mathbf{u} = 0u=0）

3.1.1 平面外运动（y方向）

平面外运动完全解耦，解为简谐振荡：

y(t)=y0cos⁡(ωt)+y˙0ωsin⁡(ωt)y˙(t)=−y0ωsin⁡(ωt)+y˙0cos⁡(ωt) \boxed{ \begin{aligned} y(t) &= y_0 \cos(\omega t) + \frac{\dot{y}_0}{\omega} \sin(\omega t) \\ \dot{y}(t) &= -y_0 \omega \sin(\omega t) + \dot{y}_0 \cos(\omega t) \end{aligned}} y(t)y˙(t)=y0cos(ωt)+ωy˙0sin(ωt)=−y0ωsin(ωt)+y˙0cos(ωt)

或者用振幅-相位形式：
y(t)=Aycos⁡(ωt−ϕy) y(t) = A_y \cos(\omega t - \phi_y) y(t)=Aycos(ωt−ϕy)

其中：
Ay=y02+(y˙0ω)2,ϕy=arctan⁡(y˙0ωy0) A_y = \sqrt{y_0^2 + \left(\frac{\dot{y}_0}{\omega}\right)^2}, \quad \phi_y = \arctan\left(\frac{\dot{y}_0}{\omega y_0}\right) Ay=y02+(ωy˙0)2 ,ϕy=arctan(ωy0y˙0)

3.1.2 平面内运动（x-z平面）

平面内运动耦合，通解为：

x(t)=(4x0+2z˙0ω)−(3x0+2z˙0ω)cos⁡(ωt)+x˙0ωsin⁡(ωt)z(t)=z0−2x˙0ω+(6ωx0+3z˙0)t+2x˙0ωcos⁡(ωt)+(6x0+4z˙0ω)sin⁡(ωt)x˙(t)=(3x0+2z˙0ω)ωsin⁡(ωt)+x˙0cos⁡(ωt)z˙(t)=(6ωx0+3z˙0)−2x˙0ωωsin⁡(ωt)+(6x0+4z˙0ω)ωcos⁡(ωt) \boxed{ \begin{aligned} x(t) &= \left(4x_0 + \frac{2\dot{z}_0}{\omega}\right) - \left(3x_0 + \frac{2\dot{z}_0}{\omega}\right)\cos(\omega t) + \frac{\dot{x}_0}{\omega}\sin(\omega t) \\ z(t) &= z_0 - \frac{2\dot{x}_0}{\omega} + \left(6\omega x_0 + 3\dot{z}_0\right)t + \frac{2\dot{x}_0}{\omega}\cos(\omega t) + \left(6x_0 + \frac{4\dot{z}_0}{\omega}\right)\sin(\omega t) \\ \dot{x}(t) &= \left(3x_0 + \frac{2\dot{z}_0}{\omega}\right)\omega\sin(\omega t) + \dot{x}_0\cos(\omega t) \\ \dot{z}(t) &= \left(6\omega x_0 + 3\dot{z}_0\right) - \frac{2\dot{x}_0}{\omega}\omega\sin(\omega t) + \left(6x_0 + \frac{4\dot{z}_0}{\omega}\right)\omega\cos(\omega t) \end{aligned}} x(t)z(t)x˙(t)z˙(t)=(4x0+ω2z˙0)−(3x0+ω2z˙0)cos(ωt)+ωx˙0sin(ωt)=z0−ω2x˙0+(6ωx0+3z˙0)t+ω2x˙0cos(ωt)+(6x0+ω4z˙0)sin(ωt)=(3x0+ω2z˙0)ωsin(ωt)+x˙0cos(ωt)=(6ωx0+3z˙0)−ω2x˙0ωsin(ωt)+(6x0+ω4z˙0)ωcos(ωt)

3.2 解的物理分解

平面内解可以分解为几个有物理意义的成分：

1. 振荡成分

• cos⁡(ωt)\cos(\omega t)cos(ωt)和sin⁡(ωt)\sin(\omega t)sin(ωt)项：轨道频率振荡
• 振幅由初始条件决定

2. 漂移成分

• z(t)z(t)z(t)中的(6ωx0+3z˙0)t(6\omega x_0 + 3\dot{z}_0)t(6ωx0+3z˙0)t项：线性漂移
• 这是最重要的工程意义项：初始径向偏移或切向速度会导致持续漂移

3. 偏置成分

• x(t)x(t)x(t)中的(4x0+2z˙0/ω)(4x_0 + 2\dot{z}_0/\omega)(4x0+2z˙0/ω)项：常数偏置
• 即使最终振荡归零，仍有常值偏移

3.3 状态转移矩阵形式

解析解可以用状态转移矩阵Φ(t)\Phi(t)Φ(t)紧凑表示：

X(t)=Φ(t)X(0) \mathbf{X}(t) = \Phi(t) \mathbf{X}(0) X(t)=Φ(t)X(0)

其中Φ(t)\Phi(t)Φ(t)为：

Φ(t)=[4−3c00sω02ω(1−c)0c00sω06(s−θ)01−2ω(1−c)01ω(4s−3θ)3ωs00c02s0−ωs00c0−6ω(1−c)00−2s04c−3] \Phi(t) = \begin{bmatrix} 4-3c & 0 & 0 & \frac{s}{\omega} & 0 & \frac{2}{\omega}(1-c) \\ 0 & c & 0 & 0 & \frac{s}{\omega} & 0 \\ 6(s-\theta) & 0 & 1 & -\frac{2}{\omega}(1-c) & 0 & \frac{1}{\omega}(4s-3\theta) \\ 3\omega s & 0 & 0 & c & 0 & 2s \\ 0 & -\omega s & 0 & 0 & c & 0 \\ -6\omega(1-c) & 0 & 0 & -2s & 0 & 4c-3 \end{bmatrix} Φ(t)= 4−3c06(s−θ)3ωs0−6ω(1−c)0c00−ωs0001000ωs0−ω2(1−c)c0−2s0ωs00c0ω2(1−c)0ω1(4s−3θ)2s04c−3

其中：

• c=cos⁡(θ)c = \cos(\theta)c=cos(θ), s=sin⁡(θ)s = \sin(\theta)s=sin(θ), θ=ωt\theta = \omega tθ=ωt

四、代码实现：验证与可视化

4.1 Python实现：解析解计算

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

class ClohessyWiltshireSolver:
    """Clohessy-Wiltshire方程求解器"""
    
    def __init__(self, omega):
        """
        初始化CW求解器
        omega: 轨道角速度 (rad/s)
        """
        self.omega = omega
    
    # ========== 解析解方法 ==========
    
    def analytical_solution(self, X0, t):
        """
        计算CW方程的解析解
        X0: [x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0] 初始状态
        t: 时间标量或数组
        """
        x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = X0
        omega = self.omega
        
        # 确保t为数组
        t = np.asarray(t)
        if t.ndim == 0:
            t = np.array([t])
        
        # 计算中间变量
        theta = omega * t
        cos_theta = np.cos(theta)
        sin_theta = np.sin(theta)
        
        # 平面外运动 (y方向)
        y = y0 * cos_theta + (vy0/omega) * sin_theta
        vy = -y0 * omega * sin_theta + vy0 * cos_theta
        
        # 平面内运动 (x-z平面)
        # x方向的解
        x = (4*x0 + 2*vz0/omega) - (3*x0 + 2*vz0/omega)*cos_theta + (vx0/omega)*sin_theta
        vx = (3*x0 + 2*vz0/omega)*omega*sin_theta + vx0*cos_theta
        
        # z方向的解
        z = z0 - (2*vx0/omega) + (6*omega*x0 + 3*vz0)*t + (2*vx0/omega)*cos_theta + (6*x0 + 4*vz0/omega)*sin_theta
        vz = (6*omega*x0 + 3*vz0) - 2*vx0*sin_theta + (6*x0 + 4*vz0/omega)*omega*cos_theta
        
        # 组装结果
        if len(t) == 1:
            return np.array([x[0], y[0], z[0], vx[0], vy[0], vz[0]])
        else:
            states = np.column_stack([x, y, z, vx, vy, vz])
            return states
    
    def state_transition_matrix(self, t):
        """
        计算状态转移矩阵 Φ(t)
        """
        theta = self.omega * t
        c = np.cos(theta)
        s = np.sin(theta)
        omega = self.omega
        
        phi = np.zeros((6, 6))
        
        # 位置-位置块
        phi[0, 0] = 4 - 3*c
        phi[0, 3] = s/omega
        phi[0, 5] = 2*(1 - c)/omega
        
        phi[1, 1] = c
        phi[1, 4] = s/omega
        
        phi[2, 0] = 6*(s - theta)
        phi[2, 2] = 1
        phi[2, 3] = -2*(1 - c)/omega
        phi[2, 5] = (4*s - 3*theta)/omega
        
        # 速度-位置块
        phi[3, 0] = 3*omega*s
        phi[3, 3] = c
        phi[3, 5] = 2*s
        
        phi[4, 1] = -omega*s
        phi[4, 4] = c
        
        phi[5, 0] = -6*omega*(1 - c)
        phi[5, 3] = -2*s
        phi[5, 5] = 4*c - 3
        
        return phi
    
    def propagate_with_phi(self, X0, t):
        """
        使用状态转移矩阵传播状态
        """
        phi = self.state_transition_matrix(t)
        return phi @ X0
    
    # ========== 数值积分方法 ==========
    
    def numerical_integration(self, X0, t_eval, control_func=None):
        """
        数值积分CW方程
        control_func: 控制函数 control_func(t, X) -> [ax, ay, az]
        """
        from scipy.integrate import solve_ivp
        
        def cw_ode(t, X):
            """CW方程的ODE形式"""
            x, y, z, vx, vy, vz = X
            omega = self.omega
            
            # 控制加速度
            if control_func is not None:
                ax, ay, az = control_func(t, X)
            else:
                ax, ay, az = 0, 0, 0
            
            # CW方程的右端项
            dxdt = vx
            dydt = vy
            dzdt = vz
            dvxdt = 3*omega**2*x + 2*omega*vz + ax
            dvydt = -omega**2*y + ay
            dvzdt = -2*omega*vx + az
            
            return [dxdt, dydt, dzdt, dvxdt, dvydt, dvzdt]
        
        # 求解ODE
        sol = solve_ivp(cw_ode, [0, max(t_eval)], X0, 
                       t_eval=t_eval, rtol=1e-10, atol=1e-12)
        
        return sol.y.T
    
    # ========== 验证与比较 ==========
    
    def verify_solutions(self, X0, t_end=600, n_points=100):
        """
        验证解析解与数值解的一致性
        """
        t = np.linspace(0, t_end, n_points)
        
        # 解析解
        X_analytical = self.analytical_solution(X0, t)
        
        # 数值解
        X_numerical = self.numerical_integration(X0, t)
        
        # 计算误差
        error = np.abs(X_analytical - X_numerical)
        max_error = np.max(error)
        rms_error = np.sqrt(np.mean(error**2))
        
        print(f"最大绝对误差: {max_error:.2e}")
        print(f"RMS误差: {rms_error:.2e}")
        
        return X_analytical, X_numerical, error

# ========== 示例使用 ==========

def demonstrate_cw_solutions():
    """演示CW方程的各种解"""
    # 轨道参数 (400km高度圆轨道)
    Re = 6378.137  # 地球半径 (km)
    h = 400  # 轨道高度 (km)
    R = (Re + h) * 1000  # 轨道半径 (m)
    mu = 3.986004418e14  # 地球引力常数
    omega = np.sqrt(mu / R**3)  # 轨道角速度
    
    print(f"轨道高度: {h} km")
    print(f"轨道角速度 ω: {omega:.6f} rad/s")
    print(f"轨道周期: {2*np.pi/omega/60:.2f} 分钟")
    
    # 创建求解器
    cw = ClohessyWiltshireSolver(omega)
    
    # 初始条件: 在V-bar后方100米，有微小径向速度
    X0 = np.array([10, 5, -100, 0.1, 0.05, 0.2])
    
    # 验证解析解与数值解
    print("\n=== 验证解析解与数值解 ===")
    t_end = 3000  # 约半个轨道周期
    X_analytical, X_numerical, error = cw.verify_solutions(X0, t_end)
    
    # 可视化比较
    t = np.linspace(0, t_end, 100)
    X_ana = cw.analytical_solution(X0, t)
    X_num = cw.numerical_integration(X0, t)
    
    fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))
    
    # 位置比较
    for i, (coord, label) in enumerate(zip(['x', 'y', 'z'], ['R-bar', 'H-bar', 'V-bar'])):
        ax = axes[0, i]
        ax.plot(t, X_ana[:, i], 'b-', label='解析解', linewidth=2)
        ax.plot(t, X_num[:, i], 'r--', label='数值解', linewidth=1.5, alpha=0.7)
        ax.set_xlabel('时间 (s)')
        ax.set_ylabel(f'{label}位置 (m)')
        ax.set_title(f'{label}方向位置')
        ax.legend()
        ax.grid(True)
    
    # 速度比较
    for i, (coord, label) in enumerate(zip(['vx', 'vy', 'vz'], ['R-bar', 'H-bar', 'V-bar'])):
        ax = axes[1, i]
        ax.plot(t, X_ana[:, i+3], 'b-', label='解析解', linewidth=2)
        ax.plot(t, X_num[:, i+3], 'r--', label='数值解', linewidth=1.5, alpha=0.7)
        ax.set_xlabel('时间 (s)')
        ax.set_ylabel(f'{label}速度 (m/s)')
        ax.set_title(f'{label}方向速度')
        ax.legend()
        ax.grid(True)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()
    
    return cw, X0

# 运行演示
cw_solver, initial_state = demonstrate_cw_solutions()

4.2 典型初始条件的解分析

def analyze_initial_conditions():
    """分析不同初始条件的解"""
    # 使用相同的轨道参数
    omega = 0.00113  # rad/s
    
    cw = ClohessyWiltshireSolver(omega)
    t = np.linspace(0, 2*np.pi/omega, 1000)  # 一个轨道周期
    
    # 定义不同的初始条件
    cases = [
        {
            "name": "纯径向偏移",
            "X0": [100, 0, 0, 0, 0, 0],
            "description": "x0=100m, 其他为零"
        },
        {
            "name": "纯切向偏移",
            "X0": [0, 0, -100, 0, 0, 0],
            "description": "z0=-100m (后方), 其他为零"
        },
        {
            "name": "径向速度",
            "X0": [0, 0, 0, 0.1, 0, 0],
            "description": "vx0=0.1m/s, 其他为零"
        },
        {
            "name": "切向速度",
            "X0": [0, 0, 0, 0, 0, 0.1],
            "description": "vz0=0.1m/s, 其他为零"
        },
        {
            "name": "混合情况",
            "X0": [50, 20, -80, 0.05, 0.02, 0.1],
            "description": "综合初始条件"
        }
    ]
    
    fig = plt.figure(figsize=(15, 12))
    
    for idx, case in enumerate(cases):
        X0 = case["X0"]
        states = cw.analytical_solution(X0, t)
        
        # 轨迹图
        ax = fig.add_subplot(3, 2, idx+1, projection='3d')
        ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2], 'b-', linewidth=2)
        ax.scatter([0], [0], [0], c='r', s=100, marker='o', label='目标')
        ax.set_xlabel('R-bar (m)')
        ax.set_ylabel('H-bar (m)')
        ax.set_zlabel('V-bar (m)')
        ax.set_title(f'{case["name"]}\n{case["description"]}')
        ax.legend()
        ax.grid(True)
        
        # 添加轨迹特性分析
        max_distance = np.max(np.sqrt(states[:, 0]**2 + states[:, 1]**2 + states[:, 2]**2))
        final_z = states[-1, 2]
        print(f"{case['name']}: 最大距离={max_distance:.1f}m, 最终z={final_z:.1f}m")
    
    # 漂移分析
    ax6 = fig.add_subplot(3, 2, 6)
    
    # 研究径向偏移对漂移的影响
    x0_values = np.linspace(-100, 100, 21)
    drift_rates = []
    
    for x0 in x0_values:
        X0 = [x0, 0, 0, 0, 0, 0]
        states = cw.analytical_solution(X0, [0, 1000])
        # 近似漂移率: Δz/Δt
        drift_rate = 6 * omega * x0
        drift_rates.append(drift_rate)
    
    ax6.plot(x0_values, drift_rates, 'b-', linewidth=2)
    ax6.set_xlabel('初始径向位置 x0 (m)')
    ax6.set_ylabel('漂移率 (m/s)')
    ax6.set_title('径向位置引起的漂移率\n$\\dot{z}_{drift} = 6\\omega x_0$')
    ax6.grid(True)
    ax6.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
    ax6.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

analyze_initial_conditions()

五、工程意义与应用

5.1 交会对接中的应用

脉冲制导计算

利用解析解可以直接计算最优脉冲：

class CWGuidance:
    """基于CW解析解的制导算法"""
    
    def __init__(self, omega):
        self.omega = omega
        self.cw = ClohessyWiltshireSolver(omega)
    
    def two_impulse_rendezvous(self, X0, T):
        """
        两脉冲交会制导
        X0: 初始相对状态
        T: 交会时间
        返回: ΔV1, ΔV2, 总ΔV
        """
        x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0 = X0
        
        # 状态转移矩阵在时间T
        phi = self.cw.state_transition_matrix(T)
        
        # 分块矩阵
        phi_rr = phi[:3, :3]
        phi_rv = phi[:3, 3:]
        phi_vr = phi[3:, :3]
        phi_vv = phi[3:, 3:]
        
        r0 = np.array([x0, y0, z0])
        v0 = np.array([vx0, vy0, vz0])
        
        # 第一个脉冲
        delta_v1 = -np.linalg.inv(phi_vv) @ (phi_vr @ r0 + phi_vv @ v0)
        
        # 第一个脉冲后的速度
        v1 = v0 + delta_v1
        
        # 传播到时间T
        r_T = phi_rr @ r0 + phi_rv @ v1
        v_T = phi_vr @ r0 + phi_vv @ v1
        
        # 第二个脉冲 (使最终相对速度为零)
        delta_v2 = -v_T
        
        total_delta_v = np.linalg.norm(delta_v1) + np.linalg.norm(delta_v2)
        
        return delta_v1, delta_v2, total_delta_v
    
    def multi_impulse_optimization(self, X0, Xf, time_steps, max_impulses=5):
        """
        多脉冲优化制导
        最小化总ΔV
        """
        # 构建优化问题
        # 目标: min Σ ||ΔV_i||
        # 约束: 状态转移方程 + 最终状态约束
        
        n_states = 6
        n_controls = 3
        
        # 决策变量: 每个时间步的ΔV
        n_vars = max_impulses * n_controls
        
        # 这里简化演示，实际需要使用优化库
        print(f"多脉冲优化问题: {max_impulses}个脉冲，{len(time_steps)}个时间步")
        
        # 返回简化结果
        return np.zeros((max_impulses, 3)), 0.0

5.2 相对轨道设计

编队飞行构型

CW方程可以设计特定的相对轨道：

def design_formation_orbits(omega):
    """设计基于CW方程的编队轨道"""
    
    formations = {
        "along-track": {
            "description": "沿航向编队，固定切向间隔",
            "X0": [0, 0, -100, 0, 0, 0],
            "characteristics": "z=常数，无漂移"
        },
        "projected-circle": {
            "description": "投影圆编队",
            "X0": [0, 50, 0, 0, 0, 0],
            "characteristics": "在x-y平面投影为圆"
        },
        "elliptical": {
            "description": "椭圆相对轨道",
            "X0": [50, 0, 0, 0, 0, 0.1],
            "characteristics": "平面内椭圆运动"
        },
        "drifting": {
            "description": "漂移编队",
            "X0": [20, 0, 0, 0, 0, 0],
            "characteristics": "线性漂移，用于重访"
        }
    }
    
    cw = ClohessyWiltshireSolver(omega)
    t = np.linspace(0, 2*np.pi/omega, 100)
    
    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10), subplot_kw={'projection': '3d'})
    
    for ax, (name, config) in zip(axes.flat, formations.items()):
        states = cw.analytical_solution(config["X0"], t)
        
        ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2], 'b-', linewidth=2)
        ax.scatter([0], [0], [0], c='r', s=50, marker='o')
        
        ax.set_xlabel('R-bar')
        ax.set_ylabel('H-bar')
        ax.set_zlabel('V-bar')
        ax.set_title(f'{name}\n{config["description"]}')
        ax.grid(True)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()
    
    return formations

# 示例：编队设计
omega = 0.00113
formations = design_formation_orbits(omega)

5.3 误差传播分析

def error_propagation_analysis(cw_solver, X0_nominal, covariance0, t):
    """
    误差传播分析
    covariance0: 初始协方差矩阵 (6x6)
    """
    # 状态转移矩阵
    phi = cw_solver.state_transition_matrix(t)
    
    # 误差传播: P(t) = Φ(t) P0 Φ(t)^T
    P_t = phi @ covariance0 @ phi.T
    
    # 提取位置误差椭圆
    position_cov = P_t[:3, :3]
    
    # 特征值分解得到误差椭圆
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(position_cov)
    
    # 1σ误差椭球半径
    sigma_radii = np.sqrt(eigenvalues)
    
    return P_t, sigma_radii, eigenvectors

# 示例误差分析
omega = 0.00113
cw = ClohessyWiltshireSolver(omega)

# 初始协方差 (假设各向同性，1σ=10m位置误差，0.1m/s速度误差)
P0 = np.diag([100, 100, 100, 0.01, 0.01, 0.01])  # 方差

# 分析不同时间的误差传播
times = [0, 300, 600, 1800]  # 0, 5, 10, 30分钟

print("误差传播分析:")
for t in times:
    P_t, sigma_radii, _ = error_propagation_analysis(cw, np.zeros(6), P0, t)
    print(f"时间 t={t}s: 位置误差椭球半径(1σ) = {sigma_radii}")

六、向量形式与解析形式的比较

6.1 对比总结

特性	向量形式	解析形式
表述方式	向量/张量运算	标量方程
数学复杂度	中等	较低
物理直观性	高（揭示本质）	中等
计算便利性	需要坐标展开	直接代入计算
推广性	易于推广到其他坐标系	需要重新推导
控制设计	适合现代控制理论	适合经典控制
数值稳定性	矩阵运算稳定	三角函数可能累积误差
适用场景	理论研究、复杂系统	工程计算、快速分析

6.2 选择建议

1. 理论研究、推导新方法：使用向量形式
2. 快速工程计算、交会分析：使用解析形式
3. 控制系统设计：使用状态空间（矩阵）形式
4. 数值仿真：使用ODE数值积分
5. 教学演示：结合使用，从向量到解析

七、扩展与展望

7.1 非线性扩展

当相对距离较大时，需要非线性模型：

r⃗¨+2ω⃗×r⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)=−μ(R⃗t+r⃗∣R⃗t+r⃗∣3−R⃗t∣R⃗t∣3) \ddot{\vec{r}} + 2\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = -\mu\left(\frac{\vec{R}_t + \vec{r}}{|\vec{R}_t + \vec{r}|^3} - \frac{\vec{R}_t}{|\vec{R}_t|^3}\right) r ¨+2ω ×r ˙+ω ×(ω ×r )=−μ(∣R t+r ∣3R t+r −∣R t∣3R t)

7.2 摄动项加入

实际应用中需考虑各种摄动力：

r⃗¨+2ω⃗×r⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)=Gr⃗+a⃗pert \ddot{\vec{r}} + 2\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \mathbf{G}\vec{r} + \vec{a}_{pert} r ¨+2ω ×r ˙+ω ×(ω ×r )=Gr +a pert

其中a⃗pert\vec{a}_{pert}a pert包括：

• J2J_2J2摄动
• 大气阻力
• 太阳光压
• 第三体引力

7.3 现代应用

1. 自主交会对接：结合机器视觉和CW方程
2. 大规模星座：用于碰撞规避
3. 在轨服务：非合作目标接近
4. 深空探测：地月空间、火星轨道的相对运动

结论：完美结合的两种表述

Clohessy-Wiltshire方程的向量形式 和解析形式 不是相互竞争，而是互补的两种视角：

• 向量形式如交响乐的总谱，揭示结构和本质
• 解析形式如各个乐器的分谱，具体可执行

向量形式告诉我们为什么 相对运动会有这样的特性（科里奥利耦合、引力梯度），而解析形式告诉我们如何计算具体的轨迹。

在60多年的航天实践中，工程师们根据具体需求灵活选择：

• 初期任务分析用解析形式快速计算
• 控制系统设计用状态空间形式
• 理论研究用向量形式推导新方法
• 高精度任务用数值积分考虑非线性

这正是Clohessy-Wiltshire方程的持久魅力所在------它既深刻又实用，既严谨又灵活，为人类探索太空提供了坚实的数学基础。无论是阿波罗的历史性交会，还是今天的国际空间站补给，或是未来的火星任务，CW方程都将继续发挥其不可替代的作用。