贪心算法-递增的三页子序列

题目链接

一、问题描述

给定一个整数数组 nums，判断是否存在长度为3的递增子序列 ，即是否存在下标 i < j < k，使得 nums[i] < nums[j] < nums[k]。

• 存在则返回 true，否则返回 false。

---

二、核心解法

解法1：动态规划（DP）

• 思路：计算数组的**最长递增子序列（LIS）**的长度，若长度 ≥ 3，则说明存在符合要求的子序列。
• 实现逻辑 ：
  1. 定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。
  2. 对每个 i，遍历所有 j < i，若 nums[j] < nums[i]，则 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
  3. 遍历 dp 数组，若存在值 ≥ 3，直接返回 true。
• 复杂度 ：时间复杂度 O(n²)，空间复杂度 O(n)（需存储 dp 数组）。

解法2：贪心算法

• 思路 ：用两个变量 a、b 分别记录长度为1 和长度为2 的递增子序列的最小末尾值 ，遍历数组时更新这两个变量，一旦找到比 b 大的元素，说明存在长度为3的递增子序列。
• 实现逻辑 （以示例 [2,1,5,0,4,6] 为例）：
  1. 初始化 a = ∞，b = ∞。
  2. 遍历每个元素 x：
     • 若 x ≤ a → 更新 a = x（保持长度1的子序列末尾最小）；
     • 若 a < x ≤ b → 更新 b = x（保持长度2的子序列末尾最小）；
     • 若 x > b → 说明存在 a < b < x，即长度为3的递增子序列，直接返回 true。
  3. 遍历结束未找到则返回 false。
• 复杂度 ：时间复杂度 O(n)（仅需一次遍历），空间复杂度 O(1)（仅用两个变量），是更优的解法。

---

三、知识点总结

1. 问题本质：该问题是「最长递增子序列（LIS）」的特例，只需判断 LIS 长度是否 ≥ 3。
2. 算法对比 ：
   • 动态规划适用于需要完整计算 LIS 长度的场景，但时间复杂度较高；
   • 贪心解法针对「判断是否存在长度为3的递增子序列」做了优化，时间、空间效率更优。
3. 贪心策略的核心：维护最小的可能末尾值，让后续更容易找到更长的递增子序列，从而提升效率。