SQL玩出算法竞赛高度！郑凌云数独算法：递归CTE+位运算DFS回溯全解析

SQL玩出算法竞赛高度！郑凌云数独算法：递归CTE+位运算DFS回溯全解析

郑凌云的这一数独求解方案，核心价值在于突破了SQL作为声明式查询语言的固有边界，将算法竞赛中的深度优先搜索（DFS）、回溯法与数据库原生特性深度融合，同时通过位运算实现候选数的极致压缩与快速筛选，最终实现了万级数据4.8秒的高效处理。该方案的精髓在于用SQL的"原生能力模拟算法结构"，用"位运算替代传统集合操作"，让数据库语言拥有了算法竞赛级的执行效率和逻辑设计。

本文将从核心技术底座 、完整实现流程 、性能优化关键 、技术创新点四个维度，专业且通俗地拆解该算法的实现细节。

一、核心技术底座：三大核心原理的SQL化落地

该方案的所有逻辑都基于递归CTE 、位运算压缩 、DFS+回溯的SQL化模拟三大核心原理，这也是将算法思想与数据库特性结合的关键，先理解这三大原理，才能读懂后续的实现流程。

1. 递归CTE：用SQL原生特性模拟"栈结构"

栈是DFS算法的核心数据结构，用于保存中间探索状态 （压栈=进入下一层探索，弹栈=回溯到上一层），而SQL本身没有"栈"这个数据类型，郑凌云的巧妙之处在于用递归CTE（公用表表达式）的层级特性天然模拟栈结构，这是整个方案的算法载体。

（1）递归CTE的基本构成

递归CTE是SQL中支持自引用查询的特性，由两部分组成，恰好对应栈的"初始化"和"压栈操作"：

• 锚点成员 ：递归的起点，无自引用，对应栈底初始化（数独的初始状态，未进行任何数字填充）；

• 递归成员 ：引用CTE自身，对应栈的压栈操作（基于当前状态填充一个数字，生成下一层探索状态）。

（2）递归CTE与栈的一一对应关系

递归CTE的每一层递归结果 就是栈中的一个栈帧 ，栈帧中保存当前数独的完整状态（已填数字、行/列/宫掩码、待处理单元格）；递归的层级深度 对应栈的深度 （DFS的探索层数）；递归的终止 对应弹栈（当前路径无可行解，不再生成下一层递归，自然回到上一层）。

简单说：递归CTE的结果集就是栈的完整状态记录，递归过程就是栈的压栈过程，无需额外定义数据结构，用SQL原生特性实现了栈的核心功能。

2. 位运算压缩：用整数存储行/列/宫的候选数字（核心性能点）

数独的规则是"行、列、3x3宫（以下简称「宫」）内数字1-9不重复"，传统解法中，每个单元格的候选数需要用集合（如{1,3,5}）、字符串（如"1,3,5"） 存储，筛选候选数时需要用NOT IN、JOIN、EXISTS等集合操作，效率极低。

该方案用位运算对候选数进行二进制压缩存储 ，将"集合操作"转化为"CPU原生支持的位运算"，计算效率提升数个数量级，这是4.8秒处理万级数据的核心性能保障，其原理基于数独"数字仅1-9"的天然特性------仅需9位二进制即可完整表示，完美适配位运算。

（1）基础：数字1-9的位映射规则

建立数字-二进制位 的一一映射，将每个数字转化为独热二进制数（仅有1位为1，其余为0），具体规则为：

bit(num) = 2\^{(num-1)}

对应关系如下（十进制/二进制，二进制仅保留低9位）：

数字num	1	2	3	4	5	6	7	8	9
位值bit	1（000000001）	2（000000010）	4（000000100）	8（000001000）	16（000010000）	32（000100000）	64（001000000）	128（010000000）	256（100000000）

（2）核心：掩码（Mask）的定义与压缩存储

掩码 是指用一个整数 表示"一组数字的集合"，通过位或（|） 运算将多个数字的位值合并，实现"多数字的单整数压缩存储"，数独中核心定义3类掩码：

• 行掩码（row_mask） ：某一行中已填数字对应的位值做位或，结果为该行列的掩码（掩码中为1的位，表示该行已占用的数字）；

• 列掩码（col_mask）：某一列中已填数字的位或结果，含义同行掩码；

• 宫掩码（box_mask）：某一宫中已填数字的位或结果，含义同行掩码；

• 候选掩码（cand_mask） ：某一单元格的可行候选数字对应的位值做位或，结果为该单元格的候选掩码（掩码中为1的位，表示该单元格可填的数字）。

示例：某行已填数字2、5，该行的行掩码 = 2（数字2的位值） | 16（数字5的位值） = 18（二进制000010010），该掩码直接表示"该行已占用2、5，不可再填"。

（3）关键：全量掩码（511）的作用

数字1-9的位值之和为 20+21+...+28=5112^0+2^1+...+2^8 = 51120+21+...+28=511 ，二进制为9位全1（111111111） ，这是数独的全量掩码，代表"1-9所有数字都可用"，是后续计算候选掩码的基础。

3. DFS+回溯的SQL化模拟：无循环的递归探索与路径剪枝

DFS（深度优先搜索）是数独求解的经典算法，核心逻辑是"选一个空单元格→填一个可行数字→进入下一层探索→无解则回溯（撤销填充）→尝试下一个可行数字 "；回溯法是DFS的核心优化，用于剪枝无效路径，避免无意义的探索。

传统编程中，DFS+回溯需要通过"循环+栈+条件判断"实现，而该方案通过递归CTE+位运算筛选，实现了无循环的SQL化DFS+回溯，核心逻辑为：

• DFS探索：递归成员基于当前单元格的候选掩码，依次填充每个可行数字，生成下一层递归（压栈），实现"深度优先"的逐层探索；

• 回溯剪枝 ：若当前单元格的候选掩码为0（无可行数字），则不生成任何下一层递归，该探索路径直接终止（弹栈），回到上一层递归继续尝试其他候选数字，天然实现"回溯"；

• 终止条件：当递归到所有单元格都填充完成（无空单元格，所有候选掩码为0），递归终止，此时的数独状态即为可行解。

简单说：递归CTE的"层序探索"对应DFS，"无可行解则终止递归"对应回溯剪枝，无需编写循环和条件判断，用SQL的递归特性实现了算法的核心逻辑。

二、完整实现流程：5步实现SQL版数独求解算法

基于上述三大核心原理，郑凌云的方案可拆解为数独SQL化建模→掩码初始化→递归CTE锚点定义→递归CTE核心探索→结果输出 5个步骤，步骤间逻辑衔接紧密，从"数据建模"到"算法执行"形成完整闭环，以下为每一步的专业实现细节+通俗解释，同时标注关键SQL操作和位运算。

前置说明

本文以MySQL8.0+ 为例（支持递归CTE和位运算：&位与、|位或、~位非、>>右移），其他数据库（PostgreSQL、SQL Server）仅位运算函数名略有差异，核心逻辑完全一致；数独为标准9x9，行号记为R1-R9，列号记为C1-C9，宫号按3x3划分记为B1-B9（如R1C1属于B1，R1C4属于B2，R4C1属于B4）。

步骤1：数独模型的SQL化定义（基础建模）

将9x9数独转化为数据库可识别的二维结构表，并预定义行、列、宫的关联关系，这是后续掩码计算和递归探索的基础。

（1）创建数独初始表

存储数独的初始状态，空单元格记为NULL，已填数字记为1-9，核心字段为行号（r）、列号（c）、宫号（b）、数字（num），其中宫号b可通过行号和列号计算得到：

b = 3\*((r-1)//3) + ((c-1)//3) + 1

（//为整数除法，如R2C3：3*((2-1)//3)+((3-1)//3)+1 = 3*0+0+1=1，属于B1）

创建并初始化表的核心SQL：

-- 数独初始表
CREATE TABLE sudoku_init (
    r TINYINT NOT NULL, -- 行号1-9
    c TINYINT NOT NULL, -- 列号1-9
    b TINYINT NOT NULL, -- 宫号1-9
    num TINYINT NULL,   -- 数字1-9，NULL为空单元格
    PRIMARY KEY (r, c)  -- 行+列唯一标识一个单元格
);
-- 插入初始数独数据（示例，根据实际数独修改）
INSERT INTO sudoku_init (r, c, b, num)
VALUES 
(1,1,1,5), (1,2,1,NULL), (1,3,1,3), ..., (9,9,9,NULL);

（2）创建数字-位值映射表

预定义数字1-9对应的位值，避免后续重复计算，核心字段为数字（num）、位值（bit_val）：

CREATE TABLE num_bit (
    num TINYINT PRIMARY KEY, -- 1-9
    bit_val INT NOT NULL     -- 对应位值2^(num-1)
);
INSERT INTO num_bit (num, bit_val)
VALUES 
(1,1), (2,2), (3,4), (4,8), (5,16), (6,32), (7,64), (8,128), (9,256);

步骤2：初始化掩码计算（预处理，生成初始候选数）

基于数独初始表，计算初始行/列/宫掩码 ，并为每个空单元格计算初始候选掩码 ，这一步是预处理，将传统的"候选数集合"转化为"位运算掩码"，为后续快速筛选做准备。

（1）计算初始行/列/宫掩码

通过分组+位或聚合，按行、列、宫分别计算已填数字的掩码，核心思路是"将每组内已填数字的位值做位或，得到该组的掩码"，SQL实现：

-- 计算行掩码
WITH row_mask_init AS (
    SELECT r, COALESCE(BIT_OR(nb.bit_val), 0) AS row_mask
    FROM sudoku_init si
    LEFT JOIN num_bit nb ON si.num = nb.num
    GROUP BY r
),
-- 计算列掩码
col_mask_init AS (
    SELECT c, COALESCE(BIT_OR(nb.bit_val), 0) AS col_mask
    FROM sudoku_init si
    LEFT JOIN num_bit nb ON si.num = nb.num
    GROUP BY c
),
-- 计算宫掩码
box_mask_init AS (
    SELECT b, COALESCE(BIT_OR(nb.bit_val), 0) AS box_mask
    FROM sudoku_init si
    LEFT JOIN num_bit nb ON si.num = nb.num
    GROUP BY b
)
-- 整合所有掩码，关联到每个单元格
SELECT 
    si.r, si.c, si.b, si.num,
    rmi.row_mask, cmi.col_mask, bmi.box_mask
INTO sudoku_mask_init -- 存储初始掩码的临时表
FROM sudoku_init si
JOIN row_mask_init rmi ON si.r = rmi.r
JOIN col_mask_init cmi ON si.c = cmi.c
JOIN box_mask_init bmi ON si.b = bmi.b;

关键函数 ：COALESCE(..., 0)表示若该组无已填数字（全为NULL），掩码为0（二进制000000000，无数字占用）；BIT_OR为位或聚合函数，实现多数字位值的合并。

（2）计算每个单元格的初始候选掩码

候选掩码的核心计算公式为：

cand_mask = 511 \& \\sim (row_mask \| col_mask \| box_mask)

公式解读（通俗版）：

1. row_mask | col_mask | box_mask：将行、列、宫的掩码做位或，得到该单元格的占用掩码（为1的位表示行/列/宫已占用的数字，不可填）；

2. ~(...)：对占用掩码做位非，将"占用位（1）"转为"可用位（0）"，"可用位（0）"转为"占用位（1）"（注：MySQL中位非会生成无符号整数，需与511做位与）；

3. 511 & ...：与全量掩码511做位与，保留低9位，过滤高位无效值，最终得到候选掩码（为1的位表示该单元格可填的数字）。

SQL实现（为sudoku_mask_init添加候选掩码列）：

ALTER TABLE sudoku_mask_init ADD COLUMN cand_mask INT NOT NULL;
UPDATE sudoku_mask_init
SET cand_mask = 511 & ~(row_mask | col_mask | box_mask);
-- 已填数字的单元格，候选掩码置0（无候选数）
UPDATE sudoku_mask_init
SET cand_mask = 0 WHERE num IS NOT NULL;

示例：某单元格行掩码=2（000000010，占用2）、列掩码=17（000010001，占用1、5）、宫掩码=8（000001000，占用4），则：

占用掩码=2|17|8=27（000011011）→ 位非后=~27 → 与511位与后=484（111100100），二进制为111100100，为1的位是第3、6、7、8、9位，对应数字3、6、7、8、9，即该单元格可填这5个数字。

步骤3：定义递归CTE的锚点成员（栈底初始化，DFS起点）

递归CTE的锚点成员 是DFS的起始状态，即数独的初始掩码状态 ，需要在锚点中保存DFS探索的核心状态信息 （确保下一层递归能基于当前状态继续探索），核心原则是：状态信息要完整，且存储高效（用整数/掩码，避免大文本）。

（1）递归CTE的核心字段定义

锚点成员需要定义后续递归过程中始终传递的字段，郑凌云方案中核心字段包括（可根据数据库优化做适当调整）：

字段名	类型	含义	作用
depth	TINYINT	递归深度	标识DFS探索层数，最大为81（9x9）
r	TINYINT	当前处理行号	待填充的空单元格行号
c	TINYINT	当前处理列号	待填充的空单元格列号
row_m1-row_m9	INT	行掩码数组	保存R1-R9的实时掩码（填充数字后更新）
col_m1-col_m9	INT	列掩码数组	保存C1-C9的实时掩码
box_m1-box_m9	INT	宫掩码数组	保存B1-B9的实时掩码
sudoku	JSON/INT数组	数独实时状态	保存当前所有单元格的已填数字（高效存储）

（2）锚点成员的SQL实现

将步骤2的初始掩码数据转化为递归CTE的起始行，核心是将分散的行/列/宫掩码整合为统一的状态，示例SQL：

WITH RECURSIVE sudoku_dfs (
    depth,          -- 递归深度
    cur_r, cur_c,   -- 当前待处理单元格的行/列
    row_m1, row_m2, row_m3, row_m4, row_m5, row_m6, row_m7, row_m8, row_m9, -- 行掩码
    col_m1, col_m2, col_m3, col_m4, col_m5, col_m6, col_m7, col_m8, col_m9, -- 列掩码
    box_m1, box_m2, box_m3, box_m4, box_m5, box_m6, box_m7, box_m8, box_m9, -- 宫掩码
    sudoku_state    -- 数独实时状态，JSON格式：{"R1C1":5,"R1C2":null,...}
) AS (
    -- 锚点成员：DFS起点，初始状态
    SELECT
        0 AS depth,
        -- 初始待处理单元格：选候选掩码中1的位数最少的空单元格（MRV优化，后续讲）
        (SELECT r FROM sudoku_mask_init WHERE cand_mask <> 0 ORDER BY BIT_COUNT(cand_mask) LIMIT 1) AS cur_r,
        (SELECT c FROM sudoku_mask_init WHERE cand_mask <> 0 ORDER BY BIT_COUNT(cand_mask) LIMIT 1) AS cur_c,
        -- 初始化行掩码（R1-R9）
        (SELECT row_mask FROM sudoku_mask_init WHERE r=1 LIMIT 1) AS row_m1,
        (SELECT row_mask FROM sudoku_mask_init WHERE r=2 LIMIT 1) AS row_m2,
        ...,
        (SELECT row_mask FROM sudoku_mask_init WHERE r=9 LIMIT 1) AS row_m9,
        -- 初始化列掩码（C1-C9），逻辑同行掩码
        (SELECT col_mask FROM sudoku_mask_init WHERE c=1 LIMIT 1) AS col_m1,
        ...,
        (SELECT col_mask FROM sudoku_mask_init WHERE c=9 LIMIT 1) AS col_m9,
        -- 初始化宫掩码（B1-B9），逻辑同行掩码
        (SELECT box_mask FROM sudoku_mask_init WHERE b=1 LIMIT 1) AS box_m1,
        ...,
        (SELECT box_mask FROM sudoku_mask_init WHERE b=9 LIMIT 1) AS box_m9,
        -- 初始化数独状态：将初始表转为JSON
        (SELECT JSON_OBJECTAGG(CONCAT(r, 'C', c), num) FROM sudoku_init) AS sudoku_state
    FROM DUAL -- 无表关联，仅生成一行初始数据
),
-- 递归成员将在步骤4定义
recursive_member AS (
    -- 核心探索逻辑
)
-- 结果输出将在步骤5定义
SELECT * FROM sudoku_dfs WHERE depth = 81;

关键优化 ：初始待处理单元格选择候选掩码中1的位数最少 的空单元格（用BIT_COUNT(cand_mask)统计1的位数），这是数独求解的MRV启发式（最少剩余值），能快速排除无解路径，减少回溯次数，是算法竞赛中的经典优化。

步骤4：定义递归CTE的递归成员（核心：DFS探索+位运算筛选+回溯）

递归成员是整个算法的核心 ，实现了"选候选数→填数字→更新掩码→生成下一层递归→无可行解则回溯 "的完整逻辑，所有的位运算筛选和栈模拟都在这一步实现，核心分为4个子步骤 ，且所有操作都基于位运算，无传统的集合操作。

子步骤4.1：筛选当前待处理单元格的实时候选掩码

由于上一层递归可能填充了数字，行/列/宫掩码会发生变化，因此需要基于当前递归的实时掩码，重新计算待处理单元格（cur_r, cur_c）的候选掩码，确保候选数的准确性，计算公式与步骤2一致，仅掩码为实时值：

real_cand_mask = 511 \& \\sim (cur_row_m \| cur_col_m \| cur_box_m)

其中：

• cur_row_m：当前待处理行的实时掩码（如cur_r=1，则为row_m1）；

• cur_col_m：当前待处理列的实时掩码（如cur_c=2，则为col_m2）；

• cur_box_m：当前待处理宫的实时掩码（如cur_r=1、cur_c=2，宫为1，则为box_m1）。

子步骤4.2：位运算遍历候选掩码中的所有可行数字

传统解法中遍历候选数需要用循环，而该方案用位运算实现无循环的候选数遍历 ，核心利用位与（&） 和右移（>>） 操作，依次提取候选掩码中为1的位，转化为对应的数字，核心逻辑为：

1. 取候选掩码的最低位1 ：low_bit = real_cand_mask & (-real_cand_mask)（补码特性，快速获取最低位1的位值）；

2. 位值转数字：num = LOG2(low_bit) + 1（如low_bit=4，LOG2(4)=2，num=3）；

3. 移除已遍历的最低位1：new_cand_mask = real_cand_mask & (real_cand_mask - 1)，重复上述步骤直到new_cand_mask=0。

示例：候选掩码=484（111100100），最低位1=4（数字3）→ 移除后=480（111100000）→ 最低位1=32（数字6）→ 移除后=448（111000000）→ 依次遍历出3、6、7、8、9。

子步骤4.3：更新掩码并生成下一层递归（压栈）

对每个遍历出的可行数字，执行3个核心操作，生成下一层递归的状态（压栈）：

1. 更新数独状态：将当前单元格（cur_r, cur_c）的数字设为该可行数字，更新sudoku_state；

2. 更新实时掩码 ：将该数字的位值分别与行、列、宫的实时掩码做位或，得到新的掩码（如行掩码=2，数字3的位值=4，新行掩码=2|4=6）；

3. 选择下一个待处理单元格 ：基于更新后的掩码，重新计算所有空单元格的候选掩码，选择候选数最少的单元格作为下一层的（cur_r, cur_c）（继续MRV优化）。

将上述更新后的状态（新掩码、新数独状态、新待处理单元格、depth+1）作为下一层递归的行，实现栈的压栈操作。

子步骤4.4：回溯触发（无可行解则终止递归）

回溯的实现是该方案的精髓，无需任何额外代码，完全由SQL的递归特性天然实现：

• 若当前单元格的实时候选掩码=0（无可行数字），则无法遍历出任何可行数字，自然不会生成任何下一层递归的行；

• 递归成员无新行生成，该条探索路径直接终止，相当于"弹栈"，回到上一层递归，继续遍历上一层的下一个可行数字。

递归成员的核心SQL框架

-- 接步骤3的递归CTE，补充递归成员
,
-- 递归成员：DFS探索+回溯
recursive_member AS (
    SELECT
        sd.depth + 1 AS depth,
        -- 选择下一个待处理单元格（MRV优化）
        (SELECT r FROM sudoku_mask_init smi
         -- 基于当前掩码计算新的候选掩码
         WHERE 511 & ~(
             CASE smi.r WHEN sd.cur_r THEN sd.row_m1 | nb.bit_val ELSE CASE smi.r WHEN 1 THEN sd.row_m1 ... END END
             | CASE smi.c WHEN sd.cur_c THEN sd.col_m2 | nb.bit_val ELSE CASE smi.c WHEN 1 THEN sd.col_m1 ... END END
             | CASE smi.b WHEN b THEN sd.box_m1 | nb.bit_val ELSE CASE smi.b WHEN 1 THEN sd.box_m1 ... END END
         ) <> 0
         ORDER BY BIT_COUNT(511 & ~(...)) LIMIT 1) AS cur_r,
        (SELECT c FROM sudoku_mask_init smi WHERE ... LIMIT 1) AS cur_c,
        -- 更新行掩码（仅当前行更新）
        CASE WHEN sd.cur_r=1 THEN sd.row_m1 | nb.bit_val ELSE sd.row_m1 END AS row_m1,
        CASE WHEN sd.cur_r=2 THEN sd.row_m2 | nb.bit_val ELSE sd.row_m2 END AS row_m2,
        ...,
        CASE WHEN sd.cur_r=9 THEN sd.row_m9 | nb.bit_val ELSE sd.row_m9 END AS row_m9,
        -- 更新列掩码（仅当前列更新），逻辑同行掩码
        CASE WHEN sd.cur_c=1 THEN sd.col_m1 | nb.bit_val ELSE sd.col_m1 END AS col_m1,
        ...,
        CASE WHEN sd.cur_c=9 THEN sd.col_m9 | nb.bit_val ELSE sd.col_m9 END AS col_m9,
        -- 更新宫掩码（仅当前宫更新），逻辑同行掩码
        CASE WHEN b=1 THEN sd.box_m1 | nb.bit_val ELSE sd.box_m1 END AS box_m1,
        ...,
        CASE WHEN b=9 THEN sd.box_m9 | nb.bit_val ELSE sd.box_m9 END AS box_m9,
        -- 更新数独状态
        JSON_SET(sd.sudoku_state, CONCAT('$.', sd.cur_r, 'C', sd.cur_c), nb.num) AS sudoku_state
    FROM sudoku_dfs sd
    JOIN num_bit nb ON 1=1
    -- 筛选当前单元格的实时候选掩码
    WHERE 511 & ~(
        CASE sd.cur_r WHEN 1 THEN sd.row_m1 WHEN 2 THEN sd.row_m2 ... END
        | CASE sd.cur_c WHEN 1 THEN sd.col_m1 WHEN 2 THEN sd.col_m2 ... END
        | CASE (3*((sd.cur_r-1)//3) + ((sd.cur_c-1)//3) + 1) WHEN 1 THEN sd.box_m1 ... END
    ) <> 0
    -- 位运算遍历可行数字（核心条件）
    AND nb.bit_val & (511 & ~(...)) <> 0
)
-- 将锚点成员和递归成员合并，构成完整的递归CTE
SELECT * FROM sudoku_dfs
UNION ALL
SELECT * FROM recursive_member

步骤5：递归终止与结果输出

当递归深度达到81 （9x9所有单元格都填充完成）或无空单元格 （所有候选掩码为0）时，递归终止，此时的sudoku_state即为数独的可行解 ，通过SQL的JSON_EXTRACT或JSON_TABLE将JSON格式的sudoku_state转化为直观的9x9数独表格即可。

结果输出核心SQL：

-- 接步骤3-4的完整递归CTE
SELECT
    -- 提取R1的所有数字
    JSON_EXTRACT(sudoku_state, '$.1C1') AS R1C1,
    JSON_EXTRACT(sudoku_state, '$.1C2') AS R1C2,
    ...,
    JSON_EXTRACT(sudoku_state, '$.1C9') AS R1C9,
    -- 提取R2-R9的所有数字，逻辑同R1
    JSON_EXTRACT(sudoku_state, '$.2C1') AS R2C1,
    ...,
    JSON_EXTRACT(sudoku_state, '$.9C9') AS R9C9
FROM sudoku_dfs
-- 递归终止条件：深度81（所有单元格填充完成）
WHERE depth = 81
LIMIT 1; -- 取一个可行解（数独可能多解）

三、性能优化核心：4大关键点实现万级数据4.8秒处理

该方案能实现"万级数据4.8秒处理"，并非单一技术的功劳，而是位运算、算法优化、SQL特性、存储优化 的综合结果，其中前两点是核心性能保障 ，后两点是工程化优化，缺一不可。

1. 位运算的极致利用：将O(n)集合操作降为O(1)位操作

传统数独解法中，候选数筛选需要对行、列、宫分别做集合查询 （如SELECT num FROM sudoku WHERE r=1 AND num IS NOT NULL），时间复杂度为O(n)（n为已填数字数），而位运算将所有集合操作转化为CPU原生的O(1)位操作 （位或、位与、位非），计算效率提升10倍以上。

同时，位运算的无锁、并行性 适配数据库的多核执行计划，批量处理万级数据时，能充分利用CPU资源，这是性能的底层保障。

2. MRV启发式优化：大幅减少DFS的无效探索路径

数独求解的时间复杂度主要由回溯次数 决定，若随机选择待处理单元格，最坏情况会产生指数级的无效路径，而最少剩余值（MRV）优化 通过"优先填充候选数最少的单元格"，能快速剪枝无解路径，将实际处理的时间复杂度从指数级降至接近线性。

该优化是算法竞赛中的经典技巧，郑凌云将其融入SQL的递归CTE，是方案能高效处理万级数据的算法层面保障。

3. 递归CTE的轻量级状态存储：减少IO和内存开销

递归CTE的每一层都需要传递状态，若状态存储臃肿，会导致数据库内存溢出、IO开销剧增，该方案的状态存储遵循**"整数优先、避免大文本"**的原则：

• 用9个整数存储行掩码、9个整数存储列掩码、9个整数存储宫掩码，共27个整数即可表示数独的核心约束；

• 数独状态用JSON存储，仅保存已填数字的键值对，空单元格不存储，大幅减少数据量。

轻量级的状态存储让数据库能在内存中完成大部分递归计算，无需频繁的磁盘IO，这是工程化层面的性能保障。

4. 数据库原生执行计划优化：充分利用数据库的计算能力

该方案的所有操作都基于SQL原生函数和特性 （递归CTE、位运算、JSON函数），数据库优化器能为其生成最优执行计划：

• 对递归CTE做尾递归优化，避免栈溢出；

• 对位运算函数做硬件加速，直接调用CPU的位运算指令；

• 对分组、聚合操作做索引优化（基于r/c/b的主键索引）。

相比"外部程序调用数据库"的方式，该方案减少了网络传输和跨进程通信的开销，让计算直接在数据库内部完成，效率大幅提升。

四、技术创新点：为何说该方案"把SQL玩出了算法竞赛的高度"

郑凌云的这一方案，并非简单的"用SQL解数独"，而是将算法思想、数据结构、数据库特性深度融合的创新，打破了人们对SQL的固有认知（仅能做CRUD和简单查询），其创新点体现在四个维度，也是该方案能达到算法竞赛高度的核心原因：

1. 声明式语言向过程式算法的突破

SQL是声明式语言 ，用户只需描述"要什么"，无需描述"怎么做"，而DFS+回溯是过程式算法 ，需要精确描述"每一步的执行逻辑"。该方案通过递归CTE的自引用特性，让SQL实现了过程式的算法逻辑，首次让声明式语言拥有了"算法级的逻辑表达能力"。

2. 数据结构与数据库特性的无缝融合

用递归CTE模拟栈结构 、用数据库的列存储模拟数独的行/列/宫约束 、用位运算掩码模拟集合，将经典的数据结构（栈）与数据库的原生特性深度融合，无需额外的中间件或插件，实现了"数据结构的SQL化落地"。

3. 算法竞赛技巧与数据库工程的完美结合

将算法竞赛中数独求解的位运算压缩、MRV启发式、DFS剪枝、回溯法 等技巧，完美移植到SQL中，同时兼顾了数据库的工程化特性 （高并发、大数据量处理、事务支持），让算法不仅能解决"单个问题"，还能适配"万级数据的批量处理"，实现了算法的工程化落地。

4. 突破SQL的性能边界：让数据库拥有算法竞赛级的执行效率

传统认知中，SQL的计算效率远低于C++/Python等编程语言，而该方案通过位运算和算法优化，让SQL的执行效率达到了算法竞赛的水平 （4.8秒处理万级数据），证明了数据库的计算能力被严重低估，为大数据场景下的算法实现提供了新的思路。

五、工程应用注意事项：数据库适配与细节优化

该方案在实际工程应用中，需注意数据库版本支持 和细节优化，确保稳定性和高效性，以下为关键注意点：

1. 数据库版本要求 ：需支持递归CTE 和位运算 ，推荐MySQL8.0+、PostgreSQL9.4+、SQL Server2005+，其中PostgreSQL的位运算函数更丰富（如pg_bitcount统计1的位数），批量处理时性能更优；

2. 递归深度限制 ：数据库对递归CTE的深度有默认限制（如MySQL默认1000），数独最多81层，远低于限制，无需调整；批量处理时可将max_recursion_depth调大（如MySQL设置为10000）；

3. 状态存储优化 ：批量处理万级数据时，建议用数据库的数组类型 （如PostgreSQL的integer[]）替代JSON存储数独状态，数组的读写效率远高于JSON；

4. 索引优化 ：在数独初始表的r、c、b字段上建立复合索引，加速掩码计算的分组和关联操作；

5. 并行执行 ：开启数据库的并行查询 功能（如MySQL8.0+的parallel_execution），充分利用多核CPU，提升批量处理效率。

六、总结

郑凌云的数独求解方案，是SQL高级应用的典范 ，其核心价值不仅在于"高效解数独"，更在于为我们打开了一个新的思路：数据库不仅是数据存储的容器，更是高效的计算引擎，通过将算法思想、数据结构与数据库原生特性深度融合，能让SQL突破声明式语言的边界，实现复杂的算法逻辑，甚至达到算法竞赛的高度。

该方案的4.8秒处理万级数据的成绩，证明了位运算+算法优化 的强大威力，也为大数据场景下的算法实现提供了新的技术路径------让计算靠近数据，将算法直接在数据库内部实现，减少数据传输和跨进程通信的开销，这也是未来大数据计算的重要发展方向。

对于开发者而言，该方案的最大启示是：不要被工具的固有认知束缚，SQL不仅能做CRUD，只要深入理解其特性，结合算法思想，就能玩出无限可能。