LeetCode Hot100（46/100）——74. 搜索二维矩阵

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📖 题目简述

给定一个 m x n 的二维矩阵，其中每一行的整数从左到右按升序排列，每一行的第一个整数都比前一行的最后一个整数大。
请编写一个高效算法，判断给定的目标值是否存在于矩阵中。

一、题目理解与特征分析

该二维矩阵在形式上可以视为一个"升序的一维数组"：

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[
  [1, 3, 5, 7],
  [10, 11, 16, 20],
  [23, 30, 34, 60]
]

如果将整个矩阵展开为一维序列：

复制代码

[1, 3, 5, 7, 10, 11, 16, 20, 23, 30, 34, 60]

可以看到它实际上是一个从小到大的严格递增序列。

因此，我们可以利用二分查找思想在该"虚拟一维数组"中查找目标值。

二、解法总览

搜索二维矩阵
一维化二分查找
原理: 将二维矩阵视作一维递增数组
优点: 简洁高效, 时间复杂度O(log(m*n))
实现: 二分定位行列索引转换
行列方向双指针搜索
原理: 从右上角或左下角开始向目标逼近
优点: 思路直观，无需索引映射
实现: 根据大小移动行或列指针
暴力遍历
原理: 线性扫描所有元素
缺点: 时间复杂度高 O(m*n)

三、方法一：一维化二分查找（推荐）

原理说明

由于矩阵中的每行和每列都有严格的有序关系，可以将整个矩阵看成一个长度为 m * n 的一维递增数组，对其使用二分查找。

索引映射方式如下：

行索引：row = mid / n
列索引：col = mid % n

算法流程

否
是
相等
小于
大于
开始
初始化 left=0, right=m*n-1
left <= right?
返回false
计算 mid=(left+right)/2
计算 row=mid/n, col=mid%n
比较 matrix $row$ $col$ 与 target
返回true
left = mid + 1
right = mid - 1
结束

Java代码实现

java 复制代码

public class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        int left = 0, right = m * n - 1;

        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            int row = mid / n;
            int col = mid % n;
            int value = matrix[row][col];

            if (value == target) {
                return true;
            } else if (value < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return false;
    }
}

时间复杂度分析

时间复杂度 ：O(log(m * n))
空间复杂度 ：O(1)

四、方法二：从右上角开始的双指针法

原理

从右上角元素开始（即第 0 行的最后一列）。
如果当前元素大于目标值，则向左移动（列减1）。
如果当前元素小于目标值，则向下移动（行加1）。
如果相等则返回 true。

动态过程示意图

Target Pointer Matrix Target Pointer Matrix alt $当前值 \> 目标$ $当前值 \< 目标$ $相等$ 选中右上角元素比较当前值向左移动 (col--) 向下移动 (row++) 返回true

Java代码实现

java 复制代码

public class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;

        int row = 0, col = n - 1;

        while (row < m && col >= 0) {
            int value = matrix[row][col];
            if (value == target) return true;
            else if (value > target) col--;
            else row++;
        }

        return false;
    }
}

时间复杂度分析

时间复杂度 ：O(m + n)
空间复杂度 ：O(1)

五、方法三：暴力法（仅作对比）

原理

遍历矩阵中的每个元素，逐一与目标值比较。
虽然能解决问题，但时间效率低。

Java实现

java 复制代码

public class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
                if (matrix[i][j] == target) return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度分析

时间复杂度 ：O(m * n)
空间复杂度 ：O(1)

六、思维框架总结

搜索二维矩阵思维框架
数据结构特性
行内升序
行间连续增大
解法思路
二分查找
映射为一维数组
双指针逼近
从右上角移动
线性遍历
暴力检测
复杂度对比
log m*n
m+n
m*n

七、结论与优化建议

若矩阵规模较大且行列均递增，二分查找法是最优选择；
对于需要实时搜索或数据不断更新的场景，可考虑双指针法；
暴力法仅作为教学比对使用。