【Math】数学知识点串联

note

0、核心是复习以往数学知识，串联知识点，而不是以前考完试就可以丢了

1、你想研究的问题 → 驱动你选择合适的数学工具：

研究"变化" → 导数/微分（基础） → 升维到"多因素变化" → 梯度/偏导（优化核心）
研究"累积" → 积分（基础） → 升维到"区域累积" → 重积分/线面积分（物理、几何应用）
研究"动态规律" → 微分方程（预测未来） → 需要"计算函数" → 无穷级数（近似与分解）
研究"多变量关联系统" → 线性代数（数据结构与变换） → 抓住"系统本质" → 特征值/二次型
研究"不确定性与数据" → 概率分布（建模随机） → 从样本"推断总体" → 统计估计与检验

2、总结：

微积分 （一二元）是你的核心分析工具，用来刻画变化与累积。
线性代数 是你的数据处理框架，用来高效组织和理解多变量关系。
概率统计 是你的不确定性导航仪，让你在随机世界中做出科学决策。
级数和方程 是你的扩展包，让你能逼近复杂函数、预测系统行为。

文章目录

- note
一、数学知识点串联
- 二、2026年数学一大纲
- - （一）高等数学
  - - [1. 函数、极限、连续](#1. 函数、极限、连续)
    - [2. 一元函数微分学](#2. 一元函数微分学)
    - [3. 一元函数积分学](#3. 一元函数积分学)
    - [4. 向量代数和空间解析几何](#4. 向量代数和空间解析几何)
    - [5. 多元函数微分学](#5. 多元函数微分学)
    - [6. 多元函数积分学](#6. 多元函数积分学)
    - [7. 无穷级数](#7. 无穷级数)
    - [8. 常微分方程](#8. 常微分方程)
  - （二）线性代数
  - - [1. 行列式](#1. 行列式)
    - [2. 矩阵](#2. 矩阵)
    - [3. 向量](#3. 向量)
    - [4. 线性方程组](#4. 线性方程组)
    - [5. 矩阵的特征值和特征向量](#5. 矩阵的特征值和特征向量)
    - [6. 二次型](#6. 二次型)
  - （三）概率论与数理统计
  - - [1. 随机事件和概率](#1. 随机事件和概率)
    - [2. 随机变量及其分布](#2. 随机变量及其分布)
    - [3. 多维随机变量及其分布](#3. 多维随机变量及其分布)
    - [4. 随机变量的数字特征](#4. 随机变量的数字特征)
    - [5. 大数定律和中心极限定理](#5. 大数定律和中心极限定理)
    - [6. 数理统计的基本概念](#6. 数理统计的基本概念)
    - [7. 参数估计](#7. 参数估计)
    - [8. 假设检验](#8. 假设检验)
Reference

一、数学知识点串联

好的，我们抛开课本顺序，从"解决什么问题 "和"有什么用"的角度，用一条故事线把考研数学的知识串起来。想象你是一个工程师或数据科学家。

第一阶段：理解变化的基础（一元微积分）

你想知道一个事物如何变化，以及变化的累积效应。

问题：车速如何变化？生产成本如何随产量变化？
工具：
- 导数/微分 ：描述"瞬时变化率"。比如加速度（速度的变化率）、边际成本（成本的变化率）。机器学习中的"梯度"就是多元的导数，用来告诉模型参数该往哪个方向调整才能更快变好。
- 积分：描述"累积总量"。比如已知速度求总路程，已知边际成本求总成本。这是从"变化率"反推"原函数"的过程。

第二阶段：升维，研究复杂系统和空间（多元微积分与几何）

现实世界很少只有一个变量。物体在三维空间运动，经济模型有多个变量。

问题：飞机在空中的温度和压力如何随位置变化？一个金属块的温度分布如何？如何计算一个不规则物体的质量或一个曲面的面积？
工具：
- 空间解析几何 ：给你一套描述空间中点、线、面、曲面的"语言和坐标系"。这是所有多维问题的基础。
- 多元微分 ：研究有多个自变量的事物的变化。
  - 偏导数：当一个变量变化，其他变量固定时的变化率。比如研究山顶坡度，有东西和南北两个方向的偏导数。
  - 梯度：所有偏导数组成的向量，指向函数值增长最快的方向。这是机器学习和优化算法的核心，你跟着梯度走就能找到最优解（最大值或最小值）。
  - 条件极值（拉格朗日乘数法）：在有限制条件的情况下找最优解。比如用固定预算买材料，使得产品性能最好。
- 多元积分 ：计算空间区域上的累积量。
  - 二重/三重积分 ：计算平面区域或立体区域上的总量。比如计算一片非均匀薄片的质量（二重积分），或一个区域内电荷的总量（三重积分）。
  - 曲线/曲面积分 ：计算沿着一条曲线或一张曲面上的总量。比如计算沿一条弯曲路径的做工（与场有关），或计算流过一个曲面的总流量。
- 核心定理（格林、高斯、斯托克斯） ：它们像"多维微积分的基本定理"，揭示了区域内部的积分和边界上的积分之间的美妙关系。在电磁学、流体力学中是基本方程。

第三阶段：描述和预测趋势（无穷级数与微分方程）

你想用简单的东西（多项式、正弦波）来逼近复杂函数，或者预测一个动态系统的未来。

问题：如何用计算机计算复杂的sin(x)、e^x？一个弹簧的振动规律是什么？种群数量如何随时间演化？
工具：
- 无穷级数 ：把复杂函数拆解成无穷多个简单项（幂级数）或不同频率的波动（傅里叶级数）的叠加。
  - 幂级数 ：函数近似和计算的基石。计算器、物理模型的数值求解都靠它。
  - 傅里叶级数 ：信号处理、图像分析的灵魂。任何波动信号（声音、图像、心电图）都可以分解成不同频率的正弦波来分析。
- 微分方程 ：描述包含未知函数及其导数的关系式，即描述变化规律本身 。
  - 求解微分方程 ：就是根据"变化规律"找出"函数本身"，从而预测未来。从牛顿力学、电路分析到人口模型、疾病传播，无处不在。

第四阶段：处理多个相关联的变量（线性代数）

当你有多个相互关联的变量需要整体处理时，比如图像像素、神经网络层、经济模型。

问题：如何高效求解一个有上百个变量的方程组？如何对一组数据进行降维或提取主要特征？如何描述一个空间的旋转和拉伸？
工具：
- 矩阵与向量 ：把方程组和线性变换写成紧凑的数据结构和运算形式。神经网络本质上就是一系列矩阵乘法和非线性变换。
- 特征值与特征向量 ：矩阵的"核心特征"。在图像压缩（PCA主成分分析）、系统稳定性分析、量子力学中至关重要。它告诉你一个变换中哪些方向（特征向量）只是被简单缩放（特征值）。
- 二次型 ：判断多元函数的"形状"（如是不是一个碗状，便于找最小值），在优化和物理学中常用。

第五阶段：从不确定性中寻找规律（概率论与数理统计）

世界充满随机性，你需要从数据中做出推断。

问题：产品合格率是多少？新药是否有效？投资风险有多大？如何从抽样数据推测总体情况？
工具：
- 概率分布 ：描述随机变量的所有可能结果及其可能性（建模不确定性）。正态分布、泊松分布等是各种自然和社会现象的模型。
- 数字特征 ：用几个关键数字（期望、方差）概括一个随机分布的核心性质（平均水平和波动程度）。
- 大数定律与中心极限定理 ：解释了为什么大量随机实验的结果会趋于稳定（频率趋近概率），以及为什么那么多现象都服从正态分布。这是统计推断的理论根基。
- 参数估计与假设检验 ：统计推断的两大武器。根据样本数据"猜"总体参数（估计），并用严格的概率方法"判断"一个假设是否成立（检验）。A/B测试、质量检验、科学研究都靠它。

二、2026年数学一大纲

（一）高等数学

1. 函数、极限、连续

函数的概念及表示法
函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
复合函数、反函数、分段函数和隐函数
基本初等函数的性质及其图形
初等函数，函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质
函数的左极限和右极限
无穷小量和无穷大量的概念及其关系
无穷小量的性质及无穷小量的比较
极限的四则运算
极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）
两个重要极限
函数连续的概念
函数间断点的类型
初等函数的连续性
闭区间上连续函数的性质

2. 一元函数微分学

导数和微分的概念
导数的几何意义和物理意义
函数的可导性与连续性之间的关系
平面曲线的切线和法线
导数和微分的四则运算
基本初等函数的导数
复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
高阶导数
一阶微分形式的不变性
微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理）
洛必达法则
函数单调性的判别
函数的极值
函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
函数图形的描绘
函数的最大值和最小值
弧微分
曲率的概念
曲率圆与曲率半径

3. 一元函数积分学

原函数和不定积分的概念
不定积分的基本性质
基本积分公式
定积分的概念和基本性质
定积分中值定理
积分上限的函数及其导数
牛顿-莱布尼茨公式
不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分
反常（广义）积分
定积分的应用

4. 向量代数和空间解析几何

向量的概念
向量的线性运算
向量的数量积和向量积
向量的混合积
两向量垂直、平行的条件
两向量的夹角
向量的坐标表达式及其运算
单位向量，方向数与方向余弦
曲面方程和空间曲线方程的概念
平面方程，直线方程
平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件
点到平面和点到直线的距离
球面，柱面，旋转曲面
常用的二次曲面方程及其图形
空间曲线的参数方程和一般方程
空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

5. 多元函数微分学

多元函数的概念
二元函数的几何意义
二元函数的极限与连续的概念
有界闭区域上多元连续函数的性质
多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要条件和充分条件
多元复合函数、隐函数的求导法
二阶偏导数
方向导数和梯度
空间曲线的切线和法平面
曲面的切平面和法线
二元函数的二阶泰勒公式
多元函数的极值和条件极值
多元函数的最大值、最小值及其简单应用

6. 多元函数积分学

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
两类曲线积分的概念、性质及计算
两类曲线积分的关系
格林公式
平面曲线积分与路径无关的条件
二元函数全微分的原函数
两类曲面积分的概念、性质及计算
两类曲面积分的关系
高斯公式
斯托克斯公式
散度、旋度的概念及计算
曲线积分和曲面积分的应用

7. 无穷级数

常数项级数的收敛与发散的概念
收敛级数的和的概念
级数的基本性质与收敛的必要条件
几何级数与p级数及其收敛性
正项级数收敛性的判别法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法）
交错级数与莱布尼茨定理
任意项级数的绝对收敛与条件收敛
函数项级数的收敛域与和函数的概念
幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域
幂级数的和函数
幂级数在其收敛区间内的基本性质
简单幂级数的和函数的求法
初等函数的幂级数展开式
函数的傅里叶系数与傅里叶级数
狄利克雷函数
正弦级数和余弦级数

8. 常微分方程

常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
伯努利方程
全微分方程
可用简单的变量代换求解的某些微分方程
可降阶的高阶微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程
高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
微分方程的简单应用

（二）线性代数

1. 行列式

行列式的概念和基本性质
行列式按行（列）展开定理

2. 矩阵

矩阵的概念
矩阵的线性运算
矩阵的乘法
方阵的幂
方阵乘积的行列式
矩阵的转置
逆矩阵的概念和性质
矩阵可逆的充分必要条件
伴随矩阵
矩阵的初等变换
初等矩阵
矩阵的秩
矩阵的等价
分块矩阵及其运算

3. 向量

向量的概念
向量的线性组合与线性表示
向量组的线性相关与线性无关
向量组的极大线性无关组
等价向量组
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
向量的内积
线性无关向量组的正交规范化方法

4. 线性方程组

线性方程组的克拉默法则
齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
非齐次线性方程组有解的充分必要条件
线性方程组解的性质和解的结构
齐次线性方程组的基础解系和通解
非齐次线性方程组的通解

5. 矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
相似矩阵的概念及性质
矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵
实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

6. 二次型

二次型及其矩阵表示
合同变换与合同矩阵
二次型的秩
惯性定理
二次型的标准形和规范形
用正交变换和配方法化二次型为标准形
二次型及其矩阵的正定性

（三）概率论与数理统计

1. 随机事件和概率

随机事件与样本空间
事件的关系与运算
完备事件组
概率的概念
概率的基本性质
古典型概率
几何型概率
条件概率
概率的基本公式
事件的独立性
独立重复试验

2. 随机变量及其分布

随机变量
随机变量的分布函数的概念及其性质
离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度
常见随机变量的分布
随机变量函数的分布

3. 多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度
随机变量的独立性和不相关性
常见二维随机变量的分布
两个及两个以上随机变量简单函数的分布

4. 随机变量的数字特征

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质
随机变量函数的数学期望
矩、协方差、相关系数及其性质

5. 大数定律和中心极限定理

切比雪夫（Chebyshev）不等式
切比雪夫大数定律
伯努利（Bernoulli）大数定律
辛钦（Khinchine）大数定律
棣莫弗---拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理
列维---林德伯格（Levy-Lindberg）定理

6. 数理统计的基本概念

总体，个体
简单随机样本
统计量
经验分布函数
样本均值，样本方差和样本矩
χ²分布，t分布，F分布
分位数
正态总体的常用抽样分布

7. 参数估计

点估计的概念
估计量与估计值
矩估计法
最大似然估计法
估计量的评选标准
区间估计的概念
单个正态总体的均值和方差的区间估计
两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

8. 假设检验

显著性检验
假设检验的两类错误
单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

Reference

1\] https://www.3blue1brown.com/