拉丁超立方抽样（LHS）的MATLAB实现：基本采样与相关采样

一、基本拉丁超立方采样（Basic LHS）

核心原理 ：将每个变量的取值范围划分为N个等概率区间，每个区间内随机选取一个样本，最终通过排列组合生成无重复的样本矩阵。

MATLAB实现代码

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function X = basic_lhs(n_samples, n_vars)
    % 基本拉丁超立方采样
    % 输入：n_samples（样本数），n_vars（变量数）
    % 输出：X（n_samples × n_vars矩阵）

    % 初始化样本矩阵
    X = zeros(n_samples, n_vars);
    
    % 分层抽样
    for i = 1:n_vars
        % 生成每个变量的区间分割点
        intervals = linspace(0, 1, n_samples + 1);
        % 随机选择每个区间的采样位置
        samples = intervals(1:end-1) + rand(n_samples, 1) .* (intervals(2:end) - intervals(1:end-1));
        % 随机排列
        X(:, i) = samples(randperm(n_samples));
    end
end

% 示例：生成5个样本、3个变量的LHS
X_basic = basic_lhs(5, 3);
disp('基本LHS样本矩阵：');
disp(X_basic);

关键步骤解析

分层划分 ：将每个变量的范围``均分为N个子区间。
随机采样：在每个子区间内随机生成一个点。
随机排列：对每个变量的采样点进行随机排列，避免规律性。

二、相关拉丁超立方采样（Correlated LHS）

核心原理 ：在基本LHS基础上，通过相关性变换（如Cholesky分解）引入变量间的相关性。

MATLAB实现代码

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function X_corr = correlated_lhs(n_samples, n_vars, rho)
    % 相关拉丁超立方采样
    % 输入：n_samples（样本数），n_vars（变量数），rho（相关系数矩阵）
    % 输出：X_corr（带相关性的样本矩阵）

    % 生成独立LHS样本
    X_independent = basic_lhs(n_samples, n_vars);
    
    % 计算Cholesky分解矩阵
    L = chol(rho, 'lower');
    
    % 引入相关性
    X_corr = X_independent * L;
end

% 示例：生成5个样本、3个变量，相关系数矩阵为全1的对角矩阵
rho = [1, 0.5, 0.3; 0.5, 1, 0.2; 0.3, 0.2, 1];
X_corr = correlated_lhs(5, 3, rho);
disp('相关LHS样本矩阵：');
disp(X_corr);

关键步骤解析

生成独立样本：先通过基本LHS生成独立样本。
相关性变换：利用Cholesky分解将独立样本转换为具有指定相关性的样本。

三、改进型拉丁超立方采样

针对高维、高相关性问题的优化方法，包括优化拉丁超立方（OLHS）和平移传播算法（TPLHS）。

1. 优化拉丁超立方（OLHS）

核心思想：通过优化算法（如遗传算法）最大化最小间距，提升样本分布均匀性。

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% 使用MATLAB官方lhsdesign函数（优化版本）
X_olhs = lhsdesign(n_samples, n_vars, 'Criterion', 'maximin', 'Smooth', 'off');

2. 平移传播算法（TPLHS）

核心思想：通过小规模种子设计迭代生成全局优化样本。

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% 示例：使用TPLHS生成样本（需自定义种子）
seed = lhsdesign(2, 3); % 2维种子
X_tplhs = tplhs(n_samples, 3, seed);

四、可视化与验证

1. 样本分布可视化

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% 绘制2D样本散点图
figure;
scatter(X_basic(:,1), X_basic(:,2), 'r.');
hold on;
scatter(X_corr(:,1), X_corr(:,2), 'b.');
legend('独立LHS', '相关LHS');
title('LHS样本分布对比');
xlabel('变量1'); ylabel('变量2');

2. 相关性验证

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% 计算相关系数矩阵
corr_matrix = corr(X_corr);
disp('相关系数矩阵：');
disp(corr_matrix);

参考代码用于拉丁超立方抽样包括基本采样、相关采样等 www.youwenfan.com/contentcsr/100408.html

五、应用场景

不确定性量化：在工程仿真中生成高维输入参数样本。
敏感性分析：评估输入变量对输出结果的影响权重。
机器学习：生成训练数据集以覆盖输入空间。

六、性能对比

方法	优点	缺点
基本LHS	实现简单，覆盖率高	无法处理变量相关性
相关LHS	支持变量相关性建模	计算复杂度高
OLHS	样本分布更均匀	需要优化算法支持
TPLHS	适用于高维问题	依赖种子设计质量

七、扩展功能

1. 自定义分布抽样

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% 从正态分布生成LHS样本
X_normal = norminv(linspace(0+eps, 1, n_samples)', mu, sigma);

2. 多变量相关性矩阵生成

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% 使用Nataf变换生成相关矩阵
rho_nataf = nataf_transform(rho, 'normal');

八、总结

拉丁超立方抽样通过分层策略显著提升样本空间覆盖率，是蒙特卡洛模拟的高效替代方案。对于相关变量问题，结合Cholesky分解或优化算法可有效建模变量间依赖关系。实际应用中需根据问题维度、相关性需求选择合适的LHS变体。