【动态规划】二维的背包问题、似包非包、卡特兰数

📝前言说明：

本专栏主要记录本人的动态规划算法学习以及LeetCode刷题记录，按专题划分
每题主要记录：（1）本人解法 + 本人屎山代码；（2）优质解法 + 优质代码；（3）精益求精，更好的解法和独特的思想（如果有的话）
文章中的理解仅为个人理解。如有错误，感谢纠错

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题目

[474. 一和零](#474. 一和零)
- 优质解
[879. 盈利计划](#879. 盈利计划)
- 优质解
[377. 组合总和 Ⅳ（似包非包）](#377. 组合总和 Ⅳ（似包非包）)
- 优质解
[96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数）](#96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数）)
- 优质解

474. 一和零

题目链接：https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/description/

优质解

思路：

二维费用的背包问题：要满足两个条件的背包问题
状态表示：dp[i][j][k]：从前 i 个字符串里面选，0 的个数不超过 j ， 1 的个数不超过 k 的子集的所有选法中，字符串最多的个数
状态表示：区分选 or 不选第 i 个字符
初始化：当 i == 0，dp的值都为 0
填表顺序：i 从小到大
返回值：dp[len][m][n]，len为字符串长度

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
       int len = strs.size();
       vector<vector<vector<int>>> dp(len + 1, vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)));
       for(int i = 1; i <= len; i++)
       {
            int a = 0, b = 0;
            for(auto ch: strs[i - 1])
            {
                if(ch == '0') a++;
                else if(ch == '1') b++;
            }
            for(int j = 0; j <= m; j++)
            {
                for(int k = 0; k <= n; k++)
                {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if(j >= a && k >= b)
                        dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i - 1][j - a][k - b] + 1);
                }
            }
       }
       return dp[len][m][n];
    }
};

时间复杂度：O(len × m × n)
空间复杂度：O(len × m × n)

879. 盈利计划

题目链接：https://leetcode.cn/problems/profitable-schemes/description/

优质解

思路：

TODO（还没做）

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int profitableSchemes(int n, int m, vector<int>& g, vector<int>& p)
    {
        const int MOD = 1e9 + 7; // 注意结果取模
        int len = g.size();
        vector<vector<vector<int>>> dp(len + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(m + 1)));
        for(int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j][0] = 1; // 初始化
        for(int i = 1; i <= len; i++)
            for(int j = 0; j <= n; j++)
                for(int k = 0; k <= m; k++)
                {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if(j >= g[i - 1])
                        dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - g[i - 1]][max(0, k - p[i - 1])];
                    dp[i][j][k] %= MOD; // 注意结果取模
                }
        return dp[len][n][m];
    }
};

时间复杂度：
空间复杂度：

377. 组合总和 Ⅳ（似包非包）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/

优质解

思路：

TODO （还没做）

代码：

cpp 复制代码

class Solution
{
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target)
    {
        vector<double> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= target; i++)
            for(auto x : nums)
                if(x <= i) dp[i] += dp[i - x];
        return dp[target];
    }
};

时间复杂度：
空间复杂度：

96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/description/

优质解

思路：

TODO（还没做）

代码：

cpp 复制代码

class Solution
{
public:
    int numTrees(int n)
    {
        vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[i] 表示: 当结点的数量为 i 个的时候，一共有多少颗 BST
        dp[0] = 1; // 空树也是一颗二叉搜索树
        for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举结点的总数
            for (int j = 1; j <= i; j++)  // 选择每一个根节点
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; // 二叉树总量累加在一起
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：
空间复杂度：

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