动态规划 | part03

pp起床2026-02-21 16:26

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

1 <= nums.length <= 200

1 <= nums[i] <= 100

public boolean canPartition(int[] nums) {
// 1. 空数组检查
if (nums.length == 0) {
return false;
}

复制代码

  // 2. 计算总和
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
      sum += nums[i];
  }
  
  // 3. 奇数判断：总和为奇数，无法平分
  if (sum % 2 != 0) {
      return false;
  }
  
  // 4. 目标：背包容量 = 总和的一半
  int target = sum / 2;
  
  // 5. 定义DP数组
  // dp[j] 表示：背包容量为 j 时，能装入的最大物品价值（这里价值=重量=nums[i]）
  int[] dp = new int[target + 1];  // 默认初始化为0
  
  // 6. 遍历每个物品（数字）
  for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
      
      // 7. 倒序遍历背包容量（关键！必须倒序，防止重复放入同一物品）
      for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
          
          // 8. 状态转移：不放 vs 放，取最大值
          // 不放：dp[j]（保持原值）
          // 放：dp[j - nums[i]] + nums[i]（腾出空间后的最大价值 + 当前物品价值）
          dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
      }
  }
  
  // 9. 判断：背包容量为target时，能否正好装满？
  return dp[target] == target;

}

解题：

我们目标就是找到sum/ 2是否可以取到，我们的dp数组就代表当前的容量所能装的最大价值。递推公式是dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])，就是考虑放与不放的区别，前者是不放，后者是放入。最后dp[target] == target可以判断此容量的背包的最大价值是否是target，如果是则说明正好被放满了，返回true。