动态规划 | part03

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

• 输入: 1, 5, 11, 5
• 输出: true
• 解释: 数组可以分割成 1, 5, 5 和 11.

示例 2:

• 输入: 1, 2, 3, 5
• 输出: false
• 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

• 1 <= nums.length <= 200

• 1 <= numsi <= 100

  public boolean canPartition(int[] nums) {
  // 1. 空数组检查
  if (nums.length == 0) {
  return false;
  }

    // 2. 计算总和
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        sum += nums[i];
    }
    
    // 3. 奇数判断：总和为奇数，无法平分
    if (sum % 2 != 0) {
        return false;
    }
    
    // 4. 目标：背包容量 = 总和的一半
    int target = sum / 2;
    
    // 5. 定义DP数组
    // dp[j] 表示：背包容量为 j 时，能装入的最大物品价值（这里价值=重量=nums[i]）
    int[] dp = new int[target + 1];  // 默认初始化为0
    
    // 6. 遍历每个物品（数字）
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        
        // 7. 倒序遍历背包容量（关键！必须倒序，防止重复放入同一物品）
        for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
            
            // 8. 状态转移：不放 vs 放，取最大值
            // 不放：dp[j]（保持原值）
            // 放：dp[j - nums[i]] + nums[i]（腾出空间后的最大价值 + 当前物品价值）
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
        }
    }
    
    // 9. 判断：背包容量为target时，能否正好装满？
    return dp[target] == target;

  }

解题：

我们目标就是找到sum/ 2是否可以取到，我们的dp数组就代表当前的容量所能装的最大价值。递推公式是dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])，就是考虑放与不放的区别，前者是不放，后者是放入。最后dp[target] == target可以判断此容量的背包的最大价值是否是target，如果是则说明正好被放满了，返回true。