代码随想录day33，动态规划part2

62.不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

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输入：m = 3, n = 7
输出：28

思路

状态定义 ：dp[i][j] 表示从起点到达 (i, j) 的路径数

状态转移 ：找到转移方程很重要

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机器人只能从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 过来
所以：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

表格中的每一个值都是斜对角的两个值相加

初始化：

第一行：只能一直向右走，dp[0][j] = 1
第一列：只能一直向下走，dp[i][0] = 1

代码

二维 DP 中，dp[i][j] 依赖：

正上方：dp[i-1][j]（上一行）
正左方：dp[i][j-1]（当前行左边）

这时候可以发现，计算第 i 行时，只需要第 i-1 行的数据 ，更上面的行（i-2, i-3...）都没用了！

所以优化思想 用一个一维数组 dp[j]，滚动更新 ：当前行只依赖上一行 和当前行的前一个，可以用一维数组滚动更新。

更新前：dp[j] 存的是 上一行 第 j 列的值（dp[i-1][j]）
更新后：dp[j] 存的是 当前行 第 j 列的值（dp[i][j]）

java 复制代码

class Solution{
    public int uniquePaths(int m,int n){
        // 只需要一行，dp[j] 表示当前行第j列的路径数
        int[] dp = new int[n];
         // 初始化第一行全为1
        Arrays.fill(dp,1);
        // 从第二行开始遍历
        for(int i=1;i<m;i++){
            // 第一列永远是1（只能从上面下来）
            // 从第二列开始更新
            for(int j=1;j<n;j++){
       // dp[j] 还没更新，存的是上一行的值（即dp[i-1][j]）
       // dp[j-1] 已经更新，是当前行的值（即dp[i][j-1]）
                dp[j]=dp[j]+dp[j-1];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }  
}

63. 不同路径 II

题目

给定一个 m x n 的整数数组 grid。一个机器人初始位于 左上角 （即 grid[0][0]）。机器人尝试移动到 右下角 （即 grid[m - 1][n - 1]）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。机器人的移动路径中不能包含任何有障碍物的方格。

返回机器人能够到达右下角的不同路径数量。

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输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

思路

63. 不同路径 II 就是 62 的障碍物版本 ，核心区别在于遇到障碍物时路径数为 0 ，且初始化时需要处理障碍物阻断。

关键区别在于

1、初始化不同

62的初始化是第一行/列直接填 1。

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for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

而63题是遇到障碍物就停止，后面都是 0：

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for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;

2、状态转移变化

62题的状态转移是：

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dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

63题多了障碍物的判断，如果碰到障碍物那么这里填0：

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if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
    dp[i][j] = 0;  // 障碍物，不通
} else {
    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];  // 正常转移
}

代码

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        
        // 起点或终点有障碍物，直接返回 0
        if (obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) return 0;
        
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1;  // 起点
        
        // 第一列：遇到障碍物就停
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            if (obstacleGrid[i][0] == 0) dp[i][0] = dp[i-1][0];
            else dp[i][0] = 0;  
        }
        
        // 第一行：遇到障碍物就停
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            if (obstacleGrid[0][j] == 0) dp[0][j] = dp[0][j-1];
            else dp[0][j] = 0;
        }
        
        // 填充其余，状态转移
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) dp[i][j] = 0;
                else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        
        return dp[m-1][n-1];
    }
}