递归「Java数据结构与算法学习笔记5」

🔥工程代码已上传至github：github.com/doublev2026...

递归介绍（Recursion）

递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量。

递归调用机制

打印问题
阶乘问题

java 复制代码

package com.datastructures.recursion;

public class RecursionTest1 {
    // 打印问题
    public static void testPrint(int n) {
        if (n > 2) {
            testPrint(n - 1);
        }
        System.out.println("n=" + n);
    }

    // 阶乘问题
    public static int factorial(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        } else {
            return factorial(n - 1) * n;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        testPrint(4);
        int result = factorial(3);
        System.out.println("result=" + result);
    }
}

递归使用场景及准则

递归一般用于解决如下问题：

各种数学问题如: 8皇后问题、汉诺塔、阶乘问题、迷宫问题、球和篮子的问题（google编程大赛）
各种算法中也会使用到递归，比如快排、归并排序、二分查找、分治算法等
将用栈解决的问题-->递归代码比较简洁

递归需要遵守的重要准则：

执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间（栈空间）
方法的局部变量是独立的，不会相互影响，比如n变量
如果方法中使用的是引用类型变量（比如数组），就会共享该引用类型的数据
递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归，出现StackOverflowError（栈溢出）
当一个方法执行完毕，或者遇到return，就会返回。遵守谁调用、就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕

迷宫问题

问题需求

小球得到的路径，和程序员设置的找路策略 有关。即：找路的上下左右的顺序相关
再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化
测试回溯现象
思考: 如何求出最短路径? （无算法，当前可以将所有可能策略路径走一遍）

代码实现

java 复制代码

package com.datastructures.recursion;

public class Maze {
    public static void main(String[] args) {
        // 先创建一个二维数组，表示迷宫地图
        int[][] map = new int[8][7];
        // 使用 1 表示墙，上下、左右全部置为 1
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }
        // 设置挡板
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;

        // 输出地图
        System.out.println("迷宫地图如下：");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        // setWay(map, 1, 1);
        setWay2(map, 1, 1);

        // 输出新的地图，小球走过，并标识过的递归
        System.out.println("小球走过的迷宫地图如下：");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 使用递归回溯来给小球找路
     * 如果小球找到 map[6][5] 的位置，则说明通路找到
     * <p>
     * 约定如下：
     * 1、当 map[i][j] 为 0 表示该点没有走过
     * 2、当 map[i][j] 为 1 表示墙
     * 3、当 map[i][j] 为 2 表示通路可以走
     * 4、当 map[i][j] 为 3 表示该点已经走过，但是走不通
     * <p>
     * 在走迷宫时，需要确定一个策略方法，下->右->上->左，如果该点走不通，再回溯
     *
     * @param map 表示地图
     * @param i   表示从地图那个位置开始出发，横坐标
     * @param j   表示从地图那个位置开始出发，纵坐标
     * @return 如果找到通路，就返回 true，否则返回 false
     */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
        if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到
            return true;
        } else {
            if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过
                // 按照策略 下->右->上->左 去走
                map[i][j] = 2; // 假定该点可以走通
                if (setWay(map, i+1, j)) { // 下
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j+1)) { // 右
                    return true;
                } else if (setWay(map, i-1, j)) { // 上
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j-1)) { // 左
                    return true;
                } else {
                    // 说明该点是走不通的，死路
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            } else { // 如果 map[i][j] != 0，则可能是 1 2 3
                return false;
            }
        }
    }

    /**
     * 修改找路的策略，改成 上->右->下->左
     * @param map
     * @param i
     * @param j
     * @return
     */
    public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
        if (map[6][5] == 2) { // 通路已经找到
            return true;
        } else {
            if (map[i][j] == 0) { // 如果当前这个点还没有走过
                // 按照策略 上->右->下->左 去走
                map[i][j] = 2; // 假定该点可以走通
                if (setWay2(map, i-1, j)) { // 上
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i, j+1)) { // 右
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i+1, j)) { // 下
                    return true;
                } else if (setWay2(map, i, j-1)) { // 左
                    return true;
                } else {
                    // 说明该点是走不通的，死路
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            } else { // 如果 map[i][j] != 0，则可能是 1 2 3
                return false;
            }
        }
    }
}

方法 1 的输出如下（下->右->上->左）：

java 复制代码

小球走过的迷宫地图如下：
1 1 1 1 1 1 1 
1 2 0 0 0 0 1 
1 2 2 2 0 0 1 
1 1 1 2 0 0 1 
1 0 0 2 0 0 1 
1 0 0 2 0 0 1 
1 0 0 2 2 2 1 
1 1 1 1 1 1 1

方法 2 的输出如下（上->右->下->左）：

java 复制代码

小球走过的迷宫地图如下：
1 1 1 1 1 1 1 
1 2 2 2 2 2 1 
1 0 0 0 0 2 1 
1 1 1 0 0 2 1 
1 0 0 0 0 2 1 
1 0 0 0 0 2 1 
1 0 0 0 0 2 1 
1 1 1 1 1 1 1

八皇后问题（回溯算法）

问题需求

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。（92 种）

思路分析

八皇后问题算法思路分析：

第一个皇后先放第一行第一列
第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否OK；如果不OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适的
继续第三个皇后，还是第一列、第二列......直到第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到
然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4的步骤

说明：

理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题。
arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}表示一种正确解
- 对应arr下标表示第几行，即第几个皇后
- arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第 i+1 行的第 val+1 列

代码实现

java 复制代码

package com.datastructures.recursion;

public class Queen8 {
    // 定义一个 max 表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    // 定义数组 array，保存皇后放置位置的结果，比如 array = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max];

    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;

    /**
     * 编写一个方法，放置第 n 个皇后
     * 注意：check 是每一次递归时，进入到 check 中都有 for(int i=0; i<max; i++) ，因此会有回溯
     *
     * @param n
     */
    public void check(int n) {
        if (n == max) { // n=8时，其实8个皇后已经放好了，直接输出结束即可
            print();
            return;
        }
        // 依次放入皇后，判断是否冲突
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            // 先把当前这个皇后n，放在该行的第一列
            array[n] = i;
            // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
            if (judge(n)) { // 不冲突
                check(n + 1);
            }
            // 如果冲突，继续进行 for 循环，执行的是 array[n] = i+1。
            // 即：将第n个皇后，放置在本行的后移一个位置
        }
    }

    /**
     * 查看当我们放置【第n个皇后】，就去监测该皇后是否和前面【已经摆放的皇后】冲突
     *
     * @param n 第n个皇后
     * @return true代表不冲突，false代表冲突
     */
    public boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 1、array[i] = array[n] 表示判断第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
            // 2、Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n]-array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线上
            //    比如：第一个放 0，第二个放 1，Math.abs(1-0) == Math.abs(1-0) == 1,相等
            //    比如：第一个放 0，第二个放 2，Math.abs(1-0) != Math.abs(2-0),不相等
            // 3、判断是否在同一行，没有必要，因为n每次都在递增
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    /**
     * 写一个方法，将皇后摆放的位置输出
     */
    public void print() {
        count++; // 打印多少次就代表有多少种解法
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static void main(String[] args) {
        Queen8 queen8 = new Queen8();
        queen8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d种解法\n", count);
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", judgeCount);
    }
}

执行输出：

plain 复制代码

0 4 7 5 2 6 1 3 
0 5 7 2 6 3 1 4 
0 6 3 5 7 1 4 2 
0 6 4 7 1 3 5 2 
1 3 5 7 2 0 6 4 
1 4 6 0 2 7 5 3 
1 4 6 3 0 7 5 2 
1 5 0 6 3 7 2 4 
1 5 7 2 0 3 6 4 
1 6 2 5 7 4 0 3 
1 6 4 7 0 3 5 2 
1 7 5 0 2 4 6 3 
2 0 6 4 7 1 3 5 
2 4 1 7 0 6 3 5 
2 4 1 7 5 3 6 0 
2 4 6 0 3 1 7 5 
2 4 7 3 0 6 1 5 
2 5 1 4 7 0 6 3 
2 5 1 6 0 3 7 4 
2 5 1 6 4 0 7 3 
2 5 3 0 7 4 6 1 
2 5 3 1 7 4 6 0 
2 5 7 0 3 6 4 1 
2 5 7 0 4 6 1 3 
2 5 7 1 3 0 6 4 
2 6 1 7 4 0 3 5 
2 6 1 7 5 3 0 4 
2 7 3 6 0 5 1 4 
3 0 4 7 1 6 2 5 
3 0 4 7 5 2 6 1 
3 1 4 7 5 0 2 6 
3 1 6 2 5 7 0 4 
3 1 6 2 5 7 4 0 
3 1 6 4 0 7 5 2 
3 1 7 4 6 0 2 5 
3 1 7 5 0 2 4 6 
3 5 0 4 1 7 2 6 
3 5 7 1 6 0 2 4 
3 5 7 2 0 6 4 1 
3 6 0 7 4 1 5 2 
3 6 2 7 1 4 0 5 
3 6 4 1 5 0 2 7 
3 6 4 2 0 5 7 1 
3 7 0 2 5 1 6 4 
3 7 0 4 6 1 5 2 
3 7 4 2 0 6 1 5 
4 0 3 5 7 1 6 2 
4 0 7 3 1 6 2 5 
4 0 7 5 2 6 1 3 
4 1 3 5 7 2 0 6 
4 1 3 6 2 7 5 0 
4 1 5 0 6 3 7 2 
4 1 7 0 3 6 2 5 
4 2 0 5 7 1 3 6 
4 2 0 6 1 7 5 3 
4 2 7 3 6 0 5 1 
4 6 0 2 7 5 3 1 
4 6 0 3 1 7 5 2 
4 6 1 3 7 0 2 5 
4 6 1 5 2 0 3 7 
4 6 1 5 2 0 7 3 
4 6 3 0 2 7 5 1 
4 7 3 0 2 5 1 6 
4 7 3 0 6 1 5 2 
5 0 4 1 7 2 6 3 
5 1 6 0 2 4 7 3 
5 1 6 0 3 7 4 2 
5 2 0 6 4 7 1 3 
5 2 0 7 3 1 6 4 
5 2 0 7 4 1 3 6 
5 2 4 6 0 3 1 7 
5 2 4 7 0 3 1 6 
5 2 6 1 3 7 0 4 
5 2 6 1 7 4 0 3 
5 2 6 3 0 7 1 4 
5 3 0 4 7 1 6 2 
5 3 1 7 4 6 0 2 
5 3 6 0 2 4 1 7 
5 3 6 0 7 1 4 2 
5 7 1 3 0 6 4 2 
6 0 2 7 5 3 1 4 
6 1 3 0 7 4 2 5 
6 1 5 2 0 3 7 4 
6 2 0 5 7 4 1 3 
6 2 7 1 4 0 5 3 
6 3 1 4 7 0 2 5 
6 3 1 7 5 0 2 4 
6 4 2 0 5 7 1 3 
7 1 3 0 6 4 2 5 
7 1 4 2 0 6 3 5 
7 2 0 5 1 4 6 3 
7 3 0 2 5 1 6 4 
一共有92种解法
一共判断冲突的次数15720次