【LeetCode 172】阶乘后的零（C语言详解 | 数学规律 + 对数时间复杂度）

一、题目描述

给定一个整数 n ，返回 n! 结果中 尾随零的数量。

阶乘定义：

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n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

示例

示例 1

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输入：n = 3
输出：0
解释：3! = 6，没有尾随 0

示例 2

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输入：n = 5
输出：1
解释：5! = 120，有 1 个尾随 0

示例 3

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输入：n = 0
输出：0

数据范围

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0 <= n <= 10^4

进阶要求：设计 O(log n) 时间复杂度的算法。

二、问题关键

尾随 0 的来源是 10。

而：

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10 = 2 × 5

也就是说：

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只要有一对 (2,5) 就会产生一个 0

例如：

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2 × 5 = 10 → 产生一个 0

三、为什么只需要统计 5？

在 n! 中：

偶数很多 → 2 的因子很多
5 的因子比较少

例如：

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10! = 3628800

里面：

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2 的数量 >> 5 的数量

因此：

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尾随 0 的数量 = 5 的因子数量

四、需要注意的特殊情况

某些数提供 多个 5。

例如：

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25 = 5 × 5
125 = 5 × 5 × 5

所以计算公式为：

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n/5 + n/25 + n/125 + ...

直到为 0。

五、图解理解

以 n = 25 为例：

第一次统计

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25 / 5 = 5

说明：

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5,10,15,20,25

共 5 个 5

第二次统计

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25 / 25 = 1

说明：

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25 = 5 × 5

多贡献 1 个 5

总数

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5 + 1 = 6

因此：

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25! 尾随 0 = 6

六、解法一：数学规律（推荐）

核心思路：

不断除以 5。

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n/5
n/25
n/125
...

时间复杂度：

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O(log₅ n)

C语言实现

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int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;

    while (n > 0) {
        n /= 5;
        count += n;
    }

    return count;
}

七、解法二：for循环写法

逻辑完全相同，只是写法不同。

C语言实现

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int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;

    for (long long i = 5; i <= n; i *= 5) {
        count += n / i;
    }

    return count;
}

过程示例（n=100）

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100/5  = 20
100/25 = 4
100/125 = 0

结果：

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20 + 4 = 24

八、错误解法（不推荐）

有些人会真的去计算：

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n!

例如：

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5! = 120
10! = 3628800

然后统计末尾 0。

这种方法问题：

1️⃣ 阶乘非常大

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20! 就已经超过 long long

2️⃣ 时间复杂度高

因此不推荐。

九、复杂度分析

方法	时间复杂度	空间复杂度
数学统计	O(log n)	O(1)
暴力阶乘	极高	极高

十、总结

核心思想只有一句话：

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阶乘尾零 = 统计所有因子5的数量

计算公式：

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n/5 + n/25 + n/125 + ...

最终实现只需 几行代码 ，时间复杂度 O(log n)。