控制理论前置知识——拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的数学常识

为什么要使用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是工程数学中一种极其重要的积分变换，它可以将时域（时间 ttt）的函数变换到复频域（复数 sss），从而将微分方程转化为代数方程，大大简化动态系统的分析与求解。

什么是时域

时域 ，就是描述一个信号或一个函数随时间变化的世界。

• 自变量 ：时间 ttt。
• 视角 ：我们关心的是，随着时间一分一秒地流逝，我的目标函数 y(t)y(t)y(t) 是如何变化的？是增长了？衰减了？还是振荡了？
• 例子 ：你之前提到的微分方程 dydt=−ky\frac{dy}{dt} = -kydtdy=−ky 就是典型的时域描述。它直接告诉我们 y(t)y(t)y(t) 在任意一个瞬间的变化率（也就是图像的斜率）和它自身的关系。
  你可以把时域想象成用一台高速摄像机拍摄一个物体的运动，每一帧都记录了物体在那一瞬间的位置。

什么是复频域

复频域 （也叫 sss 域）是一个全新的、抽象的世界。

• 自变量 ：sss。这是一个复数 ，通常写成 s=σ+jωs = \sigma + j\omegas=σ+jω（在数学里虚数单位用 iii，工程里用 jjj）。
• σ\sigmaσ （西格玛） 影响的是信号的衰减或增长（指数部分）。
• ω\omegaω （欧米伽） 影响的是信号的振荡频率（三角函数部分）。
• 视角 ：我们不再把函数看作随时间变化的轨迹，而是把它看作是由一系列基础"积木块"组合而成的。这些积木块就是 复指数信号 este^{st}est。
• 例子 ：拉普拉斯变换后的结果 Y(s)Y(s)Y(s)，它不再是一个关于 ttt 的函数，而是一个关于 sss 的函数。它告诉我们，为了拼出原来的信号 y(t)y(t)y(t)，我们需要多少不同 sss 值的"积木块"。
  你可以把复频域想象成一份食谱的配方表。这张表不会告诉你蛋糕（原始信号）吃起来口感随时间如何变化，但它会告诉你蛋糕里有多少面粉、多少糖、多少鸡蛋（即不同频率和增长率的成分）。

使用拉普拉斯变换简化卷积的大致流程

1. 时域卷积问题 ：给定两个时间函数 x(t)x(t)x(t) 和 h(t)h(t)h(t)，需要计算其卷积
   y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ) dτ. y(t) = x(t) * h(t) = \int_{0}^{t} x(\tau) h(t-\tau) \, d\tau. y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ)dτ.
2. 变换到复频域 ：对 x(t)x(t)x(t) 和 h(t)h(t)h(t) 分别进行拉普拉斯变换，得到它们的象函数
   X(s)=L{x(t)},H(s)=L{h(t)}. X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}, \quad H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\}. X(s)=L{x(t)},H(s)=L{h(t)}.
3. 应用卷积定理 ：根据拉普拉斯变换的卷积定理，时域中的卷积对应于复频域中的乘积
   Y(s)=X(s)⋅H(s), Y(s) = X(s) \cdot H(s), Y(s)=X(s)⋅H(s),
   其中 Y(s)Y(s)Y(s) 是 y(t)y(t)y(t) 的拉普拉斯变换。
4. 求解复频域表达式 ：通过代数乘法计算 Y(s)Y(s)Y(s)，得到输出信号的复频域表示。
5. 逆变换回时域 ：对 Y(s)Y(s)Y(s) 进行拉普拉斯逆变换，得到原时域解
   y(t)=L−1{Y(s)}. y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. y(t)=L−1{Y(s)}.

使用拉普拉斯变换简化卷积举例

计算函数 f(t)=e−tf(t) = e^{-t}f(t)=e−t 与 g(t)=tg(t) = tg(t)=t 的卷积（定义在 t≥0t \geq 0t≥0）：
y(t)=(f∗g)(t)=∫0te−τ(t−τ) dτ. y(t) = (f * g)(t) = \int_0^t e^{-\tau} (t - \tau) \, d\tau. y(t)=(f∗g)(t)=∫0te−τ(t−τ)dτ.

利用拉普拉斯变换简化该计算的过程如下：

1. 变换到复频域
   分别求 f(t)f(t)f(t) 和 g(t)g(t)g(t) 的拉普拉斯变换：
   F(s)=L{e−t}=1s+1,G(s)=L{t}=1s2. F(s) = \mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}, \quad G(s) = \mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}. F(s)=L{e−t}=s+11,G(s)=L{t}=s21.
2. 应用卷积定理
   时域卷积对应复频域乘积：
   Y(s)=F(s)⋅G(s)=1s+1⋅1s2=1s2(s+1). Y(s) = F(s) \cdot G(s) = \frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{1}{s^2(s+1)}. Y(s)=F(s)⋅G(s)=s+11⋅s21=s2(s+1)1.
3. 部分分式分解
   将 Y(s)Y(s)Y(s) 分解为简单分式之和：
   1s2(s+1)=As+Bs2+Cs+1. \frac{1}{s^2(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s+1}. s2(s+1)1=sA+s2B+s+1C.
   解得 A=−1A = -1A=−1，B=1B = 1B=1，C=1C = 1C=1，即
   Y(s)=−1s+1s2+1s+1. Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s+1}. Y(s)=−s1+s21+s+11.
4. 逆变换回时域
   对每一项求拉普拉斯逆变换：
   L−1{−1s}=−1,L−1{1s2}=t,L−1{1s+1}=e−t. \mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s}\right\} = -1,\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\} = t,\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}. L−1{−s1}=−1,L−1{s21}=t,L−1{s+11}=e−t.
   因此
   y(t)=−1+t+e−t,t≥0. y(t) = -1 + t + e^{-t}, \quad t \geq 0. y(t)=−1+t+e−t,t≥0.
   该结果即为原卷积的时域表达式。通过拉普拉斯变换，积分运算被转化为代数运算，简化了求解过程。

拉普拉斯变换定义

对于定义在 [0,∞)[0, \infty)[0,∞) 上的函数 f(t)f(t)f(t)，其单边拉普拉斯变换 定义为：
F(s)=L{f(t)}=∫0−∞f(t)e−st dt F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt F(s)=L{f(t)}=∫0−∞f(t)e−stdt

其中：

• s=σ+jωs = \sigma + j\omegas=σ+jω 是复变量（σ\sigmaσ 和 ω\omegaω 均为实数）；
• 积分下限取 0−0^-0− 是为了能够包含在 t=0t=0t=0 处可能存在的冲激函数；
• 使得积分收敛的 sss 的取值范围称为收敛域（ROC）。

相应地，从 F(s)F(s)F(s) 恢复 f(t)f(t)f(t) 的拉普拉斯逆变换 为：
f(t)=L−1{F(s)}=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)est ds f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} \, ds f(t)=L−1{F(s)}=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds

实际应用中，逆变换通常通过部分分式展开并结合已知变换表来完成，很少直接计算复变积分。

常用函数的拉普拉斯变换表

以下是一些基本函数的拉普拉斯变换（假设 t≥0t \ge 0t≥0）：

时域 f(t) (t≥0)f(t)\ (t\ge 0)f(t) (t≥0)	拉普拉斯变换 F(s)F(s)F(s)	收敛域
单位冲激 δ(t)\delta(t)δ(t)	111	整个 sss 平面
单位阶跃 u(t)u(t)u(t)	1s\dfrac{1}{s}s1	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
ttt	1s2\dfrac{1}{s^2}s21	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
tn (n=1,2,3,... )t^n\ (n=1,2,3,\dots)tn (n=1,2,3,...)	n!sn+1\dfrac{n!}{s^{n+1}}sn+1n!	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
tα (α>−1)t^{\alpha}\ (\alpha>-1)tα (α>−1)	Γ(α+1)sα+1\dfrac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}sα+1Γ(α+1)	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
eate^{at}eat	1s−a\dfrac{1}{s-a}s−a1	Re⁡(s)>Re⁡(a)\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)Re(s)>Re(a)
teatt e^{at}teat	1(s−a)2\dfrac{1}{(s-a)^2}(s−a)21	Re⁡(s)>Re⁡(a)\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)Re(s)>Re(a)
tneatt^n e^{at}tneat	n!(s−a)n+1\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}(s−a)n+1n!	Re⁡(s)>Re⁡(a)\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)Re(s)>Re(a)
sin⁡(ωt)\sin(\omega t)sin(ωt)	ωs2+ω2\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}s2+ω2ω	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
cos⁡(ωt)\cos(\omega t)cos(ωt)	ss2+ω2\dfrac{s}{s^2+\omega^2}s2+ω2s	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
eatsin⁡(ωt)e^{at}\sin(\omega t)eatsin(ωt)	ω(s−a)2+ω2\dfrac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}(s−a)2+ω2ω	Re⁡(s)>Re⁡(a)\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)Re(s)>Re(a)
eatcos⁡(ωt)e^{at}\cos(\omega t)eatcos(ωt)	s−a(s−a)2+ω2\dfrac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}(s−a)2+ω2s−a	Re⁡(s)>Re⁡(a)\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a)Re(s)>Re(a)
sinh⁡(ωt)\sinh(\omega t)sinh(ωt)	ωs2−ω2\dfrac{\omega}{s^2-\omega^2}s2−ω2ω	Re⁡(s)ω\operatorname{Re}(s) \omegaRe(s)ω
cosh⁡(ωt)\cosh(\omega t)cosh(ωt)	ss2−ω2\dfrac{s}{s^2-\omega^2}s2−ω2s	Re⁡(s)>ω\operatorname{Re}(s) >\omegaRe(s)>ω
tsin⁡(ωt)t\sin(\omega t)tsin(ωt)	2ωs(s2+ω2)2\dfrac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}(s2+ω2)22ωs	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
tcos⁡(ωt)t\cos(\omega t)tcos(ωt)	s2−ω2(s2+ω2)2\dfrac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}(s2+ω2)2s2−ω2	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
1πt\dfrac{1}{\sqrt{\pi t}}πt 1	1s\dfrac{1}{\sqrt{s}}s 1	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
erfc⁡(k2t)\operatorname{erfc}\left(\dfrac{k}{2\sqrt{t}}\right)erfc(2t k)	e−kss\dfrac{e^{-k\sqrt{s}}}{s}se−ks	Re⁡(s)>0, k>0\operatorname{Re}(s) > 0,\ k>0Re(s)>0, k>0
单位斜坡 r(t)=t u(t)r(t)=t\,u(t)r(t)=tu(t)	1s2\dfrac{1}{s^2}s21	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0
延迟冲激 δ(t−a)\delta(t-a)δ(t−a)	e−ase^{-as}e−as	整个 sss 平面
延迟阶跃 u(t−a)u(t-a)u(t−a)	e−ass\dfrac{e^{-as}}{s}se−as	Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s) > 0Re(s)>0

注：利用线性性质和部分分式展开，大多数有理函数形式的 F(s)F(s)F(s) 均可分解为上述基本项的线性组合，从而通过逆变换得到 f(t)f(t)f(t)。

重要性质

拉普拉斯变换有许多有用的性质，以下是几个最核心的：

线性性

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s) \mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s) L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)

时域微分

L{df(t)dt}=sF(s)−f(0−) \mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0^-) L{dtdf(t)}=sF(s)−f(0−)

推广到高阶：
L{dnf(t)dtn}=snF(s)−sn−1f(0−)−sn−2f′(0−)−⋯−f(n−1)(0−) \mathcal{L}\left\{\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right\} = s^n F(s) - s^{n-1}f(0^-) - s^{n-2}f'(0^-) - \cdots - f^{(n-1)}(0^-) L{dtndnf(t)}=snF(s)−sn−1f(0−)−sn−2f′(0−)−⋯−f(n−1)(0−)

这一性质将微分运算转化为代数运算，并引入了初始条件。

时域积分

L{∫0tf(τ)dτ}=F(s)s \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} L{∫0tf(τ)dτ}=sF(s)

sss 域平移

L{eatf(t)}=F(s−a) \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a) L{eatf(t)}=F(s−a)

时域平移（延迟定理）

L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s),a≥0 \mathcal{L}\{f(t - a)u(t - a)\} = e^{-as}F(s), \quad a \ge 0 L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s),a≥0

卷积定理

L{f(t)∗g(t)}=F(s)⋅G(s) \mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) \cdot G(s) L{f(t)∗g(t)}=F(s)⋅G(s)

其中 f(t)∗g(t)=∫0tf(τ)g(t−τ)dτf(t) * g(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tauf(t)∗g(t)=∫0tf(τ)g(t−τ)dτ 是卷积。这个定理极为重要，它表明时域的复杂卷积对应复频域的简单乘法。

初值定理与终值定理

• 初值定理：lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\displaystyle \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)
• 终值定理：若 lim⁡t→∞f(t)\lim_{t \to \infty} f(t)limt→∞f(t) 存在，则 lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\displaystyle \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)t→∞limf(t)=s→0limsF(s)

例子一

给定方程：
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=dedt, L\frac{d^2i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}i = \frac{de}{dt}, Ldt2d2i+Rdtdi+C1i=dtde,

其中 i(t)i(t)i(t) 为电流，e(t)e(t)e(t) 为输入电压，L,R,CL, R, CL,R,C 为常数。假设初始条件为零：i(0)=0, i′(0)=0i(0)=0,\ i'(0)=0i(0)=0, i′(0)=0，且 e(0−)=0e(0^-)=0e(0−)=0。现以 e(t)=u(t)e(t)=u(t)e(t)=u(t)（单位阶跃函数）为例，此时 dedt=δ(t)\frac{de}{dt}=\delta(t)dtde=δ(t)，右边拉普拉斯变换为 111。具体步骤如下：

1. 对方程两边取拉普拉斯变换

利用微分性质 L{i′(t)}=sI(s)−i(0)\mathcal{L}\{i'(t)\}=sI(s)-i(0)L{i′(t)}=sI(s)−i(0)，L{i′′(t)}=s2I(s)−si(0)−i′(0)\mathcal{L}\{i''(t)\}=s^2I(s)-s i(0)-i'(0)L{i′′(t)}=s2I(s)−si(0)−i′(0)，代入零初始条件得：
Ls2I(s)+RsI(s)+1CI(s)=1. L s^2 I(s) + R s I(s) + \frac{1}{C} I(s) = 1. Ls2I(s)+RsI(s)+C1I(s)=1.

2. 整理得到复频域代数方程

I(s)(Ls2+Rs+1C)=1, I(s) \left( L s^2 + R s + \frac{1}{C} \right) = 1, I(s)(Ls2+Rs+C1)=1,
I(s)=1Ls2+Rs+1C. I(s) = \frac{1}{L s^2 + R s + \frac{1}{C}}. I(s)=Ls2+Rs+C11.

为简化计算，取具体数值：L=1 HL=1\,\text{H}L=1H，R=3 ΩR=3\,\OmegaR=3Ω，C=0.5 FC=0.5\,\text{F}C=0.5F，则 1C=2\frac{1}{C}=2C1=2，分母为 s2+3s+2s^2+3s+2s2+3s+2。

3. 部分分式分解

I(s)=1s2+3s+2=1(s+1)(s+2). I(s) = \frac{1}{s^2+3s+2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}. I(s)=s2+3s+21=(s+1)(s+2)1.

分解为：
1(s+1)(s+2)=As+1+Bs+2. \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}. (s+1)(s+2)1=s+1A+s+2B.

解得 A=1, B=−1A=1,\ B=-1A=1, B=−1，即
I(s)=1s+1−1s+2. I(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}. I(s)=s+11−s+21.

4. 拉普拉斯逆变换

查常用变换对：L−1{1s+a}=e−at\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}L−1{s+a1}=e−at，得
i(t)=e−t−e−2t,t≥0. i(t) = e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \geq 0. i(t)=e−t−e−2t,t≥0.

该过程将时域中的微分方程转化为复频域中的代数方程，通过代数运算和查表得到解，避免了直接求解微分方程的繁琐积分。此例中，若输入为任意函数 e(t)e(t)e(t)，则复频域关系为 I(s)=sE(s)−e(0−)Ls2+Rs+1/CI(s)=\frac{sE(s)-e(0^-)}{L s^2+R s+1/C}I(s)=Ls2+Rs+1/CsE(s)−e(0−)，其逆变换对应时域中的卷积积分 i(t)=h(t)∗dedti(t)=h(t)*\frac{de}{dt}i(t)=h(t)∗dtde，其中 h(t)h(t)h(t) 为系统的冲激响应，这正是卷积定理的体现。

例子二

考虑一个质量-弹簧-阻尼系统，其运动微分方程为：

md2xdt2+cdxdt+kx=f(t), m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = f(t), mdt2d2x+cdtdx+kx=f(t),

其中 x(t)x(t)x(t) 为质量块的位移，f(t)f(t)f(t) 为外加作用力，mmm、ccc、kkk 分别为质量、阻尼系数和弹簧刚度。设系统初始条件为零：x(0)=0x(0)=0x(0)=0，x′(0)=0x'(0)=0x′(0)=0。取参数 m=1 kgm=1\,\text{kg}m=1kg，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cdotp at position 1: \̲c̲d̲o̲t̲p̲，k=2 N/mk=2\,\text{N/m}k=2N/m，则方程简化为：

d2xdt2+3dxdt+2x=f(t). \frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = f(t). dt2d2x+3dtdx+2x=f(t).

对于给定的二阶常系数线性微分方程
d2xdt2+3dxdt+2x=f(t), \frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + 2x = f(t), dt2d2x+3dtdx+2x=f(t),

系统的冲激响应 h(t)h(t)h(t) 定义为输入 f(t)=δ(t)f(t) = \delta(t)f(t)=δ(t) 且初始条件为零（x(0)=0, x′(0)=0x(0)=0,\ x'(0)=0x(0)=0, x′(0)=0）时的输出 x(t)x(t)x(t)。

对微分方程两边取拉普拉斯变换，利用微分性质：
L{x′′(t)}=s2X(s)−sx(0)−x′(0),L{x′(t)}=sX(s)−x(0),L{x(t)}=X(s), \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0), \quad \mathcal{L}\{x'(t)\} = s X(s) - x(0), \quad \mathcal{L}\{x(t)\} = X(s), L{x′′(t)}=s2X(s)−sx(0)−x′(0),L{x′(t)}=sX(s)−x(0),L{x(t)}=X(s),

其中 X(s)=L{x(t)}X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}X(s)=L{x(t)}。代入零初始条件 x(0)=0, x′(0)=0x(0)=0,\ x'(0)=0x(0)=0, x′(0)=0，得：
s2X(s)+3sX(s)+2X(s)=L{δ(t)}=1. s^2 X(s) + 3s X(s) + 2X(s) = \mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1. s2X(s)+3sX(s)+2X(s)=L{δ(t)}=1.

将 X(s)X(s)X(s) 替换为 H(s)H(s)H(s)（因为此时输出即为冲激响应），得到：
(s2+3s+2)H(s)=1⇒H(s)=1s2+3s+2. (s^2 + 3s + 2) H(s) = 1 \quad \Rightarrow \quad H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2}. (s2+3s+2)H(s)=1⇒H(s)=s2+3s+21.

将分母因式分解：
s2+3s+2=(s+1)(s+2), s^2 + 3s + 2 = (s+1)(s+2), s2+3s+2=(s+1)(s+2),

所以
H(s)=1(s+1)(s+2). H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}. H(s)=(s+1)(s+2)1.

在部分分式分解得 H(s)=1s+1−1s+2H(s) = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}H(s)=s+11−s+21，逆变换得：

h(t)=e−t−e−2t,t≥0. h(t) = e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \ge 0. h(t)=e−t−e−2t,t≥0.

现考虑外力 f(t)=e−tf(t) = e^{-t}f(t)=e−t（t≥0t\ge 0t≥0）。根据线性系统理论，系统的位移响应为冲激响应与输入的卷积：

x(t)=h(t)∗f(t)=∫0th(τ)f(t−τ) dτ. x(t) = h(t) * f(t) = \int_0^t h(\tau) f(t-\tau) \, d\tau. x(t)=h(t)∗f(t)=∫0th(τ)f(t−τ)dτ.

直接计算卷积积分较为繁琐，可利用拉普拉斯变换的卷积定理简化。首先求输入的拉普拉斯变换：

F(s)=L{e−t}=1s+1. F(s) = \mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}. F(s)=L{e−t}=s+11.

则响应的复频域表示为：

X(s)=H(s)⋅F(s)=1(s+1)(s+2)⋅1s+1=1(s+1)2(s+2). X(s) = H(s) \cdot F(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \cdot \frac{1}{s+1} = \frac{1}{(s+1)^2 (s+2)}. X(s)=H(s)⋅F(s)=(s+1)(s+2)1⋅s+11=(s+1)2(s+2)1.

对 X(s)X(s)X(s) 进行部分分式分解。设：

1(s+1)2(s+2)=As+1+B(s+1)2+Cs+2. \frac{1}{(s+1)^2 (s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{C}{s+2}. (s+1)2(s+2)1=s+1A+(s+1)2B+s+2C.

两边乘以 (s+1)2(s+2)(s+1)^2 (s+2)(s+1)2(s+2) 得：

1=A(s+1)(s+2)+B(s+2)+C(s+1)2. 1 = A(s+1)(s+2) + B(s+2) + C(s+1)^2. 1=A(s+1)(s+2)+B(s+2)+C(s+1)2.

代入 s=−1s = -1s=−1 得 1=B(1)⇒B=11 = B(1) \Rightarrow B = 11=B(1)⇒B=1。

代入 s=−2s = -2s=−2 得 1=C(1)⇒C=11 = C(1) \Rightarrow C = 11=C(1)⇒C=1。

代入任意值（如 s=0s = 0s=0）得 1=A(1)(2)+1⋅2+1⋅1=2A+2+1=2A+31 = A(1)(2) + 1\cdot 2 + 1\cdot 1 = 2A + 2 + 1 = 2A + 31=A(1)(2)+1⋅2+1⋅1=2A+2+1=2A+3，解得 A=−1A = -1A=−1。

因此：

X(s)=−1s+1+1(s+1)2+1s+2. X(s) = -\frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2} + \frac{1}{s+2}. X(s)=−s+11+(s+1)21+s+21.

查拉普拉斯逆变换表：

L−1{1s+1}=e−t,L−1{1(s+1)2}=te−t,L−1{1s+2}=e−2t. \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^2}\right\} = t e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\} = e^{-2t}. L−1{s+11}=e−t,L−1{(s+1)21}=te−t,L−1{s+21}=e−2t.

于是得时域位移响应：

x(t)=−e−t+te−t+e−2t,t≥0. x(t) = -e^{-t} + t e^{-t} + e^{-2t}, \quad t \ge 0. x(t)=−e−t+te−t+e−2t,t≥0.

该结果即为原卷积 h(t)∗e−th(t) * e^{-t}h(t)∗e−t 的时域表达式。通过拉普拉斯变换，卷积积分转化为复频域的代数乘积，再经部分分式分解和逆变换得到最终结果，避免了直接积分运算。