【PID 进阶工程】从连续到离散：位置式 vs 增量式 PID 在单片机里的落地实战

    目标 r(t)
         ↓
       [−] → e(t) → [    控制器 C(s) = PID   ] → u(t) → [ 被控对象 G(s) ] → y(t)
                          ↑                                      ↓
                          └─────────────── 反馈 ────────────────┘

r(t)：给定/参考值（比如：期望车速 1m/s、期望位置 10m、期望温度 60℃）
y(t)：实际输出（编码器测的速度、位置，温度传感器的温度......）
e(t) = r(t) - y(t)：误差
C(s)：控制器，这里就是 PID
G(s)：被控对象（电机+负载、车体动力学、加热炉等）

1.2 重点：

PID 本身只是个「误差算子」，关键是你给它什么误差，让它输出什么物理量。

1.3 举例：

位置控制：
- e = 期望位置 - 实际位置
- u = 期望速度/加速度 或者 PWM 占空比
速度控制：
- e = 期望速度 - 实际速度
- u = 电压 / 电流 / 转矩指令

二、连续时间 PID

2.1 连续时间形式

标准 PID 公式：

2.2 性能指标

1）指标量：

给系统一个阶跃目标（比如 0→1），你会关心这几件事：

**上升时间：**多久第一次冲到目标附近
**超调量：**最高点超过目标的百分比
**调节时间：**多久稳定在目标附近的某个误差带（比如 ±2%）
**稳态误差：**完全稳定后，还差多少

2）对应参数：

Kp ：决定「敢不敢冲」，上升时间主要看它
Ki ：最后能不能"抠干净误差"，稳态误差看它
Kd ：过冲和振荡压不压得住，看它

三、从连续到离散：单片机/PLC 里 PID 怎么算？

现实里我们的控制器 （MCU、DSP、PLC、上位机）都是离散的：

每隔一个固定采样周期 T，
读一次传感器 → 算一次PID → 输出一次控制量。

3.1 离散化思路

把连续 PID 公式里的积分、微分用差分近似：

1）积分：

2）微分：

于是得到了两个非常常见的数字 PID 形式：位置式 和增量式。

四、位置式 PID：直接算"当前输出该多少"

4.1 位置式 PID 的思路：

直接算出当前时刻的"绝对输出" u(k)。

4.2 典型离散形式（示意）：

4.3 特点：

每次都用到从头积累的积分和；
控制器直接吐出一个绝对控制量 u_k：
- 如：目标 PWM 占空比 = 63%
- 目标转矩指令 = 1.3 N·m
适合**「控制量本身就有明确物理意义」**的场景：
- 温度控制：给出的就是当前加热功率百分比
- 位置控制：直接给「目标位置」命令（伺服内部再处理）

1）优点：

形式直观，和数学公式最接近；
输出容易理解和监控（你看到的就是此刻控制器的真实意图）。

2）缺点：

对 积分饱和 比较敏感：积分和从 0 累到 k，稍微没限制就会爆；
一旦内部某次计算错得很离谱（传感器瞬间异常），u 可能一下飞很远。

五、增量式 PID：只算「这次比上次多给多少」

5.1 增量式 PID 的思路：

我不直接告诉你"这次要输出多少"，
我只告诉你「在上次基础上应加/减多少」。

5.2 典型写法：

然后：

5.3 关键点：

只用到了最近三次误差 e_k, e_{k-1}, e_{k-2}
公式中没有显式的「积分和」------它被"吃进"系数里了
只要前几次已经算过了，后面每步计算量很小，很适合 MCU 实时跑

增量式 PID 输出的是「控制量的增量」，不是绝对值。

六、位置式 vs 增量式：用 DC 电机做个直观对比

假设：

现在电机实际转速 50 RPM
我们想升到 60 RPM

6.1 用位置式 PID：

控制器直接算出一个"目标输出" u_k
比如 u_k 对应的 PWM 占空比是 35%，直接发 35%

6.2 用增量式 PID：

控制器算出：

"在上一次基础上，应该再提高一点输出"
比如 Δu = +3%
于是新输出 = u_k = u_{k-1} + Δu = 32% + 3% = 35%

6.3 对比总结：

维度	位置式 PID	增量式 PID
输出含义	直接给出当前「绝对控制量」 u(k)	给出「控制量增量」 Δu(k)
历史依赖	用到从 0 到 k 的积分和	只用最近 2~3 个误差
数值稳定性	一次计算异常可能让 u 飙很大	异常只影响这一小步的 Δu，相对更鲁棒
实现复杂度	公式简单，但要自己管好积分	公式稍复杂，但更适合数字实现
常见应用	温控、慢变量、直接给位置/功率命令	电机、电流控制、执行器只接收"增量"的场景

6.4 工程建议：

MCU 上带 PWM 控制直流电机、伺服、步进：

→ 增量式 PID 很香（少算、抗异常、方便做限幅）
做简单温控、小车位置环之类的：

→ 位置式 PID 足够，逻辑更直观。

七、PID 伪代码

前面我们一直在讲：P / I / D 在数学上、物理上分别干什么。真正落地到 MCU / STM32 / PLC / 上位机时，就要把这些东西装进一个结构体 + 若干函数里，让它像一个黑盒控制器一样反复调用。

这一章我们做三件事：

设计一个通用、可复用的 PID_t 结构体；
写一个「位置式 PID + 反积分饱和 + 输出限幅」的更新函数；
顺带说明：如果想改成增量式 PID，只需要改哪一块。

7.1 设计通用 PID_t 结构体

1）完整结构体代码

cpp 复制代码

typedef struct {
    /* ★ PID 参数 */
    float Kp;          // 比例系数
    float Ki;          // 积分系数
    float Kd;          // 微分系数

    /* ★ 输入输出相关变量 */
    float set;         // 当前目标值（setpoint）
    float fdb;         // 当前反馈值（feedback）

    /* ★ 误差相关（支持位置式 + 增量式） */
    float err;         // 当前误差 e(k)
    float err_last;    // 上一次误差 e(k-1)
    float err_llast;   // 上上次误差 e(k-2)，增量式 PID 会用到

    /* ★ 积分项状态（位置式 PID 用） */
    float integral;    // 积分和 ∑ e*dt

    /* ★ 控制输出 */
    float out;         // 当前输出 u(k)

    /* ★ 输出限幅 */
    float out_min;     // 输出下限（例如：-100% PWM）
    float out_max;     // 输出上限（例如：+100% PWM）

    /* ★ 积分限幅（防积分饱和 / 风up） */
    float integ_min;   // 积分下限
    float integ_max;   // 积分上限
} PID_t;

7.2 位置式 PID 更新函数（带反积分饱和 + 输出限幅）

1）完整函数代码

cpp 复制代码

void PID_Pos_Update(PID_t *pid, float set, float fdb, float dt)
{
    /* 0）基础防御：空指针、异常 dt */
    if (pid == NULL) return;
    if (dt <= 0.0f)  dt = 1e-3f;  // 防止除 0，给个极小值兜底

    /* 1）保存目标值和反馈值（便于调试、上位机显示） */
    pid->set = set;
    pid->fdb = fdb;

    /* 2）计算当前误差 e(k) */
    float err = set - fdb;
    pid->err  = err;

    /* 3）积分项：累加误差 * dt，并进行积分限幅（防 windup） */
    pid->integral += err * dt;

    if (pid->integral > pid->integ_max)
        pid->integral = pid->integ_max;
    if (pid->integral < pid->integ_min)
        pid->integral = pid->integ_min;

    /* 4）微分项：最简单的后向差分 (e(k) - e(k-1)) / dt */
    float derivative = (err - pid->err_last) / dt;

    /* 5）三项相加得到"位置式 PID"的绝对输出 u(k) */
    float out = pid->Kp * err
              + pid->Ki * pid->integral
              + pid->Kd * derivative;

    /* 6）输出限幅：把 u(k) 夹在允许范围内 */
    if (out > pid->out_max) out = pid->out_max;
    if (out < pid->out_min) out = pid->out_min;

    /* 7）保存输出和当前误差，为下一次调用做准备 */
    pid->out      = out;
    pid->err_last = err;
}

7.3 如果要做增量式 PID，要改哪一块？

1）核心思想

位置式：算"这次应该给多少" → 直接得到 u(k)

增量式：算"这次比上次多给多少" → 只给 Δu(k)

也就是：

控制器内部保存的是 u(k-1)；
每次算出一个增量 Δu(k)，然后

在结构体不变的前提下，只要把第 5 步"三项相加"那一行改写成 Δu 的形式 即可，最后 pid->out += Δu。

2）简化版增量式伪代码（思路展示）

cpp 复制代码

void PID_Inc_Update(PID_t *pid, float set, float fdb, float dt)
{
    if (pid == NULL) return;
    if (dt <= 0.0f)  dt = 1e-3f;

    pid->set = set;
    pid->fdb = fdb;

    float err = set - fdb;

    /* ① 增量式的核心：只算 Δu，而不是绝对 u(k) */
    float de   = err - pid->err_last;     // e(k) - e(k-1)
    float du_p = pid->Kp * de;            // 比例增量
    float du_i = pid->Ki * err * dt;      // 积分增量（也可以做积分限幅）
    float du_d = pid->Kd * (de / dt);     // 微分增量（简化写法）

    float du = du_p + du_i + du_d;

    /* ② 累加得到新输出 u(k) */
    float out = pid->out + du;

    /* ③ 输出限幅 */
    if (out > pid->out_max) out = pid->out_max;
    if (out < pid->out_min) out = pid->out_min;

    /* ④ 更新状态 */
    pid->out      = out;
    pid->err_last = err;
}

八、参数整定总结（含动图变化）

8.1 单环 PID 的实战步骤

只开 P，关掉 I/D
- 让系统对一个阶跃目标（比如位置从 0→1）做响应
- 从小到大调 Kp：
  - Kp 小：慢但稳
  - Kp 大到某个程度：开始出现振荡/超调
- 记下「刚开始振荡前」那一档 Kp
加一点 I，消除稳态误差
- 看稳态时有没有残余误差
- 从比较小的 Ki 开始加：
  - 如果误差消得更干净，超调还可接受 → 不错
  - 超调/振荡明显变严重 → 把 Ki 降一点，或者 Kp 小调
必要时加 D，抑制超调
- 如果超调太大、振荡收不住，可以逐步增加 Kd
- Kd 合理时：曲线会"圆润"、不过分冲击
- 如果噪声明显或响应开始变"迟钝"，说明 Kd 过大或采样太慢
最后加入各种工程限制
- 输出限幅
- 积分限幅 / 条件积分 / anti-windup
- D 项滤波