位运算底层逻辑与解题应用绪论

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前言：

在算法解题中，位运算是一类 "看似基础、实则高效" 的核心技巧 ------ 它依托二进制的底层特性，通过简单的位操作（与、或、异或、移位等），能将原本需要循环、分支实现的逻辑简化为几行代码，大幅降低时间 / 空间复杂度。

比如判断奇偶、提取二进制指定位、快速定位最右侧的 1（lowbit 操作）、利用异或的自反性解题等，都是算法题中高频出现的位运算场景。很多初学者会觉得位运算 "抽象难记"，但本质上所有位运算技巧都围绕二进制的基本性质展开：移位对应乘除 2 的幂、与 / 或 / 异或对应二进制位的逻辑操作、取反 / 负数的补码特性支撑 lowbit 等核心操作。

可以将这篇文章看作是位运算解题的绪论，会系统梳理位运算的核心操作（提取末位、判断奇偶、指定位操作、lowbit/clear_lowbit、异或运算律等），拆解每个操作的底层原理与代码实现，帮你建立 "二进制思维"------ 掌握这些基础技巧后，后续面对位运算相关的算法题（如状态压缩、快速幂、找唯一数等），就能快速找到解题思路，真正做到 "化繁为简"。

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文章目录

• 前言：
• 正文：
• • [零、 几种位运算](#零、 几种位运算)
  • [一、 取二进制末位](#一、 取二进制末位)
  • [二、 判断奇偶](#二、 判断奇偶)
  • [三、 提取 / 设置指定位](#三、 提取 / 设置指定位)
  • [四、 提取/去掉二进制最右侧的1](#四、 提取/去掉二进制最右侧的1)
  • 五、异或的运算律

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正文：

零、 几种位运算

1. 按位与&：有0为0，全真为真
2. 按位或|：有1为1，全假为假
3. 按位异或^：相异为一，可看作无进位相加

一、 取二进制末位

代码模板：

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);//关闭同步流
	cin.tie(nullptr);
	
	int n = 9;
	cout << dn;
	while(n > 0)
	{
		int a = n & 1;
		cout << a << " ";
		n >>= 1; 
	}//输出：1 0 0 1 
	return 0;	
} 

二、 判断奇偶

利用末尾 == n & 1;的性质，最后一位为1是奇数，是0为偶数

三、 提取 / 设置指定位

原理： 用按位与&提取位，按位或|设置位。
例子：

// 提取num的第k位（0表示最低位）(也称为判断第k位是0是1)
int getBit(int num, int k) {
    return (num >> k) & 1; // 先右移k位，再与1提取最后一位
}

// 设置num的第k位为1
int setBit(int num, int k) {
    return num | (1 << k); // 1左移k位，再与num或
}//利用移位以后第k位是1，则或运算以后一定为1.

//设置num的第k位是0
int setbit(int num, int k){
	return num | (~(1 << k));//1左移k位，取反以后，再与num或
}

int main() {
    int num = 5; // 0000 0101
    cout << getBit(num, 2) << endl; // 提取第2位：1
    cout << setBit(num, 1) << endl; // 设置第1位为1：0000 0111 → 7
    return 0;
}

四、 提取/去掉二进制最右侧的1

提取二进制最右侧的1（也称lowbit操作 ），是利用 -n 会将最后一位1前面的数字都取反

提取二进制最右侧的1（这里称clear_lowbit操作 ），是利用 n-1 会将最后一位1后面的数字都取反

int lowbit(int n)
{
    return n & (-n);//-n实际上是把最后一位1前面的数字都取反
}

int clear_lowbit(int n)
{
    return n & (n - 1);// n-1 会将最后一位1后面的数字都取反
}

int main()
{
    int n = 5;//0000 0101
    std::cout << lowbit(n) << std::endl;//1
    std::cout << clear_lowbit(n) << std::endl;//去掉1以后变为4
    return 0;
}

五、异或的运算律

1. a a a ^ a = 0 a = 0 a=0 （异或的自反性）
2. a a a ^ 0 = a 0 = a 0=a
3. a a a ^ （ b （b （b ^ c ） = （ a c）= （a c）=（a ^ b ） b） b） ^ c c c （交换律）

这里说一些，其实快速幂的本质也是位运算

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• 本节完...