差分算法 cpp

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5.差分

优化暴力枚举

前缀和与差分的核心思想都是预处理, 可以在暴力枚举中快速给出查询结果, 从而优化时间复杂度

经典的用空间换时间的做法

前缀和 和 差分 是一对互逆运算

5.1 一维差分

!牛客网

【模板】差分

思路:

利用差分数组解决问题

差分数组的作用: 快速解决"将某一个区间所有元素统一加上一个数" 的操作

O(1)

1. 预处理差分数组
   f[i]表示: 当前元素与以前一个元素的差值
2. 利于差分数组解决m次修改操作
   差分数组的性质: 原数组[L, R]区间全部加k这个操作 = 在差分数组中f[L] += k; f[R+1] -= k;
3. 差分数组 -> 原数组(还原)
   a[i] = f[i] + a[i-1];

注意事项:

差分数组使用时, 所有操作必须全部进行完后, 才能还原出操作之后的数组(差分数组使用条件)

代码:

暴力解法 -> 枚举

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N  = 1e5 + 10;
typedef long long LL;

LL a[N];
LL n, m;
LL l, r, k;

int main()
{
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i<= n; i++) cin >> a[i];
	
	while(m--){
		cin >> l >> r >> k;
		
		for(int i = l; i <= r; i++) a[i]+=k;
	}
	
	for(int i = 1; i<= n; i++) cout << a[i] << " ";
		
	return 0;
}

部分用例会超时

差分数组解决:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N  = 1e5 + 10;
typedef long long LL;

LL a[N];
LL n, m;
LL l, r, k;
LL f[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	
	for(int i = 1; i<= n; i++) {
		cin >> a[i];
		
		//构造差分数组
		f[i] = a[i] - a[i-1]; 
	}
	

	while(m--){
		cin >> l >> r >> k;
		
		//利用差分数组的性质进行操作 
		f[l] += k;
		f[r+1] -= k; 
	}
	
	 
	for(int i = 1; i<= n; i++){	
		a[i] = f[i] + a[i-1];
		cout << a[i] << " ";
	} 
		
	return 0;
}

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5.2 海底高铁

!洛谷

P3406 海底高铁

P3406 海底高铁 - 洛谷

题目描述

该铁路经过 N N N 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 i i i 段铁路连接了城市 i i i 和城市 i + 1 ( 1 ≤ i < N ) i+1(1\leq i<N) i+1(1≤i<N)。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 i i i 段铁路购买纸质单程票需要 A i A_i Ai 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 i i i 段铁路，需要花 C i C_i Ci 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 B i ( B i < A i ) B_i(B_i<A_i) Bi(Bi<Ai) 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 i i i 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 M M M 个城市，从城市 P 1 P_1 P1 出发分别按照 P 1 , P 2 , P 3 , ⋯   , P M P_1,P_2,P_3,\cdots,P_M P1,P2,P3,⋯,PM 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数， N , M N,M N,M。

接下来一行， M M M 个数字，表示 P i P_i Pi。

接下来 N − 1 N-1 N−1 行，表示第 i i i 段铁路的 A i , B i , C i A_i,B_i,C_i Ai,Bi,Ci。

输出格式

一个整数，表示最少花费

输入输出样例 #1

输入 #1

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

输出 #1

6394

说明/提示

2 2 2 到 3 3 3 以及 8 8 8 到 9 9 9 买票，其余买卡。

对于 30 % 30\% 30% 数据 M = 2 M=2 M=2。

对于另外 30 % 30\% 30% 数据 N ≤ 1000 ， M ≤ 1000 N\leq1000，M\leq1000 N≤1000，M≤1000。

对于 100 % 100\% 100% 的数据 M , N ≤ 10 5 ， A i , B i , C i ≤ 10 5 M,N\leq 10^5，A_i,B_i,C_i\le10^5 M,N≤105，Ai,Bi,Ci≤105。

思路:

1. 先知道每一段高铁被乘坐了多少次, 记作num[i]
2. 最小花费 = 买票花费与(买卡: 乘车+工本费)的最小值
   A / B C
   mincost = min(a[i] * num[i], b[i]* num[i] + c[i]);
3. 每一次访问从一地到另一地都会经过中间所有铁路, 即 [ p i , p i + 1 − 1 ] [p_i,p_i+1 -1] [pi,pi+1−1]
   1. 创建一个全为0的差分数组f
   2. 遍历访问序列 , 每次访问 : f [ p i ] + + , f [ p i + 1 ] − − f[p_i]++, f[p_i+1]-- f[pi]++,f[pi+1]−−
   3. 然后对差分数组做一次前缀和, 就能得到每个高铁乘坐的次数
4. 注意, 城市访问序列有可能是从大序到小序, 此时交换数据即可

代码:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;

int n, m;

LL f[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	
	//x->y
	int x;
	cin >> x;
	for(int i = 2; i <= m; i++ ){
		int y;
		cin >> y;
		
		//x->y
		if(x > y){
			f[y]++;
			f[x]--;
		}else{
			f[x]++;
			f[y]--;
		}
		x = y;
	} 
	
	//利用差分数组, 还原出数组
	for(int i = 1; i <= n; i++)f[i] += f[i-1];
	
	//直接求结果
	LL ret = 0;
	for(int i = 1; i < n ; i++){
		LL a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		ret += min(a*f[i], b*f[i] + c);
	} 
	
	cout << ret;

	return 0;
}

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