（10）LeetCode 560. 和为K的子数组

LeetCode 560. 和为K的子数组

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k，请你统计并返回该数组中和为 k 的连续子数组的个数。

示例 1：

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输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2：

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输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

解题思路

1. 问题转化

假设我们定义前缀和 pre[i] 为数组 nums[0..i] 的和，即
pre[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i]。

那么，对于任意一个连续子数组 nums[j..i]（j ≤ i），它的和可以表示为：
sum(j, i) = pre[i] - pre[j-1]（当 j = 0 时，规定 pre[-1] = 0）。

题目要求 sum(j, i) = k，即
pre[i] - pre[j-1] = k → pre[j-1] = pre[i] - k。

因此，对于每个以 i 结尾的子数组，我们只需要知道在 i 之前（包括 i 自身吗？注意 j-1 < i，所以是之前）有多少个位置 j-1 的前缀和等于 pre[i] - k。这些位置对应的 j 就是以 i 结尾且和为 k 的子数组的起点。

2. 哈希表优化

我们可以用一个哈希表 hash 来记录遍历过程中每个前缀和出现的次数：

遍历数组，依次计算当前前缀和 cur。
对于当前 cur，我们想要知道之前出现过的 cur - k 有多少次，这些次数就是当前 i 结尾的满足条件的子数组个数，累加到答案中。
然后将当前前缀和 cur 的次数加 1，供后续使用。

初始化 ：hash[0] = 1 非常重要。它表示在数组开始之前（即下标 -1 处）有一个虚拟的前缀和为 0。这样当某个 cur == k 时，cur - k = 0 就能从哈希表中取到 1，从而正确统计从下标 0 到 i 的这个子数组。

3. 代码实现细节

原代码将原数组原地修改为前缀和数组，节省了空间。遍历一次并同时更新哈希表和答案。

代码实现（C++）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size(), ans = 0;
        // 将原数组转化为前缀和数组（原地修改）
        for(int i = 1; i < n; i++)
            nums[i] += nums[i - 1];

        unordered_map<int, int> hash;  // 记录每个前缀和出现的次数
        hash[0] = 1;                    // 初始化：前缀和为0出现1次（空子数组）

        for(int i = 0; i < n; i++){
            // 当前前缀和减去k，得到需要的前缀和值
            ans += hash[nums[i] - k];
            // 将当前前缀和的计数加1
            hash[nums[i]]++;
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度 ：O(n)，其中 n 是数组的长度。我们只需遍历数组两次（一次计算前缀和，一次遍历统计），哈希表的插入和查询都是 O(1)。
空间复杂度 ：O(n)，哈希表在最坏情况下需要存储所有不同的前缀和。

总结

本题是前缀和与哈希表结合的经典题目。核心思想是将子数组和问题转化为两个前缀和的差值问题，利用哈希表快速查找之前出现过的前缀和，从而在一次遍历中完成统计。初始化 hash[0] = 1 是处理从数组开头开始的子数组的关键。

拓展

如果题目要求返回所有满足条件的子数组的具体下标，则可以在哈希表中存储前缀和对应的下标列表，然后遍历输出。
如果数组中有负数，前缀和可能不是单调的，但该算法依然适用，因为哈希表只关心值出现的次数，不关心顺序。