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拓扑排序简介
有向无环图（DAG图）
什么是有向无环图？
- 像上面这样由若干节点组成的图，且节点的走向是有方向性的（节点间的指向），但是节点的走向又不能成环，这样的图就成为有向无环图。
- 对于每个节点指向该节点的箭头的数量称为该节点的入度
(重要)，从该节点出发指向其他节点的箭头的数量称为该节点的出度
顶点活动图（AOV图）
- 在有向无环图的基础上，每个节点代表一个活动（事件），用箭头（边）来表示执行各活动的先后顺序（比如A--->B代表执行B活动之前必须先执行A活动），这样的图称为顶点活动图。
拓扑排序
- 对于一个顶点活动图，我们发现可以由图的结构（节点间的指向）得出所有事件执行的先后顺序，这就叫做拓扑排序。
- 但拓扑排序的结果可能是不唯一的，比如上图的"辣椒炒肉的工程图"中"准备餐具"和"买菜"这两个事件先后顺序随意。
那么对于这样一个顶点活动图，我们应该怎么找出排序结果呢？
下面给出大致的排序思路：
- 找到图中入度为0的点，输出
- 处理完一个点之后，删除该点对其他点的指向，也就是它所指向的所有节点的度都要 -1
- 重复1、2操作，直到图中没有剩余的点了或者没有入度为0的点为止（因为顶点活动图会出现带环这样的非法情况，对于这些环中的节点我们无法进行删除操作，因为它们的入度不会变为0）
代码实现拓扑排序
- 借助队列对上图来一次BFS即可：
- 初始化：把所有入度为0的点加入到队列中
- 当队列不为空的时候重复下面操作：
(1) 拿出队头元素，处理该节点（比如，依次储存它们最终得出正确的事件执行顺序）
(2) 删除与该节点相连的边（将该节点指向的所有节点的度 -1）
(3) 判断：原来被指向的节点的入度 -1后是否变成0，如果入度为0，那就可以加入到队列中等待被处理了
最终得到（不唯一）：
但以上操作都建立在外面首先要有一个这样的图形数据结构，所以我们要先用代码实现一个顶点活动图结构
如何建图？
灵活使用Java提供的容器
建立顶点活动图的方式是使用"邻接表"（两种方式）：
- 使用HashMap：
Map<Integer,List<Integer>> edges=new HashMap<>();
- 其实我们并不用像二叉树那样建立一个指向清晰的图形结构，我们的做法是先将每个节点独立表示出来放到一块，不用管其互相的指向，但是要将该节点所指向的所有节点一并绑定与该节点储存。
- 具体做法就是
Map<Integer,List<Integer>>，key值为节点，value储存的就是该节点所指向的所有节点（放到一个容器中） - 还有就是要将每个节点的入度记录起来，我们单独找来一个数组（或者使用一个HashSet，它们各有适用性，在接下来的题目中体现），数组下标代表每个节点，每个位置储存该节点的入度，具体就是当我们得到：B--->A 这样的信息之后是不是就知道了A的入度要 +1了？（并且此时在
Map<Integer,List<Integer>>中B就对应着key值，且A就要加入到value：List中了）
- 直接用List：
List<List<Integer>> edges=new HashMap<>();
- edges的下标来代表节点（也就是活动）：0下标代表活动0、1下标代表活动1... ，对应下标位置的List储存的就是该节点所指向的所有节点
- 那么也用同样的方法将节点的入度储存起来
由以上这些结构就可以使用上述的"借助队列来一次BFS"这个方法进行拓扑排序的实现了
一、课程表
你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。
例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。
解题思路
- 判断是否可能完成所有课程的学习，就是判断是否可以正常对顶点活动图进行拓扑排序，那么如果图中有环结构就不能正常排序
- 所以根据上面介绍的方法进行：收集活动执行顺序的信息（A--->B）来建图------>对图进行拓扑排序------>最后判断排序结果
代码实现及解析
java
class Solution {
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
int n=numCourses;
Map<Integer,List<Integer>> edges=new HashMap<>();//用邻接表储存图
int[] inDegree=new int[n];//存储入度信息（自动初始化为0）
//建图（收集所有的像"A--->B"这样的信息）
for(int[] infor:prerequisites){
int B=infor[0],A=infor[1];//得到A--->B这样的信息
if(!edges.containsKey(A)){
edges.put(A,new ArrayList<>());
}
edges.get(A).add(B);//将A--->B信息放入邻接表中
inDegree[B]++;//B入度+1
}
//把所有入度为0的节点先入队列
Queue<Integer> que=new LinkedList<>();
for(int i=0;i<inDegree.length;i++){
if(inDegree[i]==0){
que.offer(i);//别忘了inDegree的下标代表节点
}
}
//开始BFS：
while(!que.isEmpty()){
int tmp=que.poll();//处理掉该节点
//将该节点指向的所有节点的度-1
for(int x:edges.getOrDefault(tmp,new ArrayList<>())){
inDegree[x]--;
if(inDegree[x]==0){//如果入度变为0，那就可以加入到队列中了
que.offer(x);
}
}
}
//要注意最后是用入度表来判断图是否带环的
for(int x:inDegree){//处理完之后如果顶点活动图不带环（也就是可以将所有课程排序），那所有节点的入度应该都为0
if(x!=0) return false;
}
return true;
}
}总结
复习解题思路和代码实现及解析
二、LCR 114. 火星词典
现有一种使用英语字母的外星文语言，这门语言的字母顺序与英语顺序不同。
给定一个字符串列表 words ，作为这门语言的词典，words 中的字符串已经 按这门新语言的字母顺序进行了排序 。
请你根据该词典还原出此语言中已知的字母顺序，并 按字母递增顺序 排列。若不存在合法字母顺序，返回 "" 。若存在多种可能的合法字母顺序，返回其中 任意一种 顺序即可。
字符串 s 字典顺序小于 字符串 t 有两种情况：
在第一个不同字母处，如果 s 中的字母在这门外星语言的字母顺序中位于 t 中字母之前，那么 s 的字典顺序小于 t 。
如果前面 min(s.length, t.length) 字母都相同，那么 s.length < t.length 时，s 的字典顺序也小于 t 。
示例 1：
输入：words = ["wrt","wrf","er","ett","rftt"]
输出："wertf"
解题思路
-
当我们可以零零散散地获得一些事件的相对顺序，但要求得出所有事件的完整执行顺序（或判断是否可以完整执行所有事件）时，就应该想到这就是顶点活动图，使用拓扑排序来解决
-
在本题中我们可以对于每一个单词组合得出一个字母顺序对（比如，a--->b），然后要求推导出所有出现的字母的完整字典序，就是典型的例子。
-
这种题目就是要用拓扑排序来解决，要记住这种题目的特性及解决方法。
代码实现及解析
java
class Solution {
Map<Character,List<Character>> edges=new HashMap<>();//邻接表
Map<Character,Integer> inDegree=new HashMap<>();//储存每个节点的入度
boolean check;//处理一种特殊情况的标记
public String alienOrder(String[] words) {
//将入度表初始化，不然开始那批入度为0的节点整个过程压根就不会出现在表中
for(String word:words){
for(int i=0;i<word.length();i++){
if(!inDegree.containsKey(word.charAt(i))){
inDegree.put(word.charAt(i),0);
}
}
}
//1.收集信息并建图
for(int i=0;i<words.length;i++){
for(int j=i+1;j<words.length;j++){//每次检查两个单词进行信息的收集
getInfor(words,i,j);//收集信息，在邻接表和入度表中更新对应信息
if(check) return "";//words[i],words[j]这两个单词压根排序就不合法
}
}
//2.将所有入度为0的节点先入队列
Queue<Character> que=new LinkedList<>();
for(char x:inDegree.keySet()){
if(inDegree.get(x)==0){
que.offer(x);
}
}
//3.开始BFS
StringBuilder ret=new StringBuilder();
while(!que.isEmpty()){
char tmpChar=que.poll();
ret.append(tmpChar);//记录正确的外星字母顺序
//断掉tmpChar所指向的这些所有节点的箭头（这些节点的入度-1）
for(char t:edges.getOrDefault(tmpChar,new ArrayList<>())){
inDegree.put(t,inDegree.get(t)-1);
if(inDegree.get(t)==0) que.offer(t);//如果t的入度变为了0，那又可以将t入队列了
}
}
//4.检查、判断
for(int value:inDegree.values()){
if(value!=0) return "";//说明仍存在入度不为0的节点，不符合条件
}
return ret.toString();
}
public void getInfor(String[] words,int i,int j){
int n=Math.min(words[i].length(),words[j].length());
String tmp1=words[i],tmp2=words[j];
int index=0;//记录最终比较到了两个单词的哪一位
while(index<n){
char ch1=tmp1.charAt(index),ch2=tmp2.charAt(index);
if(ch1!=ch2){//得到ch1--->ch2这样的信息
if(!edges.containsKey(ch1)){
edges.put(ch1,new ArrayList<>());
}
if(!edges.get(ch1).contains(ch2)){//不同的二元单词组可能会获得相同的"ch1--->ch2"信息，不能重复记录
edges.get(ch1).add(ch2);//将信息ch1--->ch2存入邻接表中
inDegree.put(ch2,inDegree.get(ch2)+1);//ch2入度+1
}
break;//后面的字符就不能再处理了
}
index++;
}
//遍历结束，如果发现index在排序较后的words[j]中走到了头，但在位置较前的words[i]中却没走到头，
//说明了明明前面遍历过程中字母都相等，但单词words[i]长度较长却排序在了前面，这压根就是不合法的，直接return ""
if(index<words[i].length()&&index==words[j].length()) check=true;//标记遇到不合法单词排序
}
}总结
复习解题思路和代码实现及解析