【动态规划+前缀和+化环为链】P8810 [蓝桥杯 2022 国 C] 数组个数|普及+

闻缺陷则喜何志丹2026-03-24 11:17

本文涉及知识点

C++动态规划
C++记忆化搜索

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

P8810 [蓝桥杯 2022 国 C] 数组个数

题目描述

小蓝有一个长度为 n n n 的数组 B = ( b 0 , b 1 , ⋯   , b n − 1 ) B = (b_0,b_1,\cdots,b_{n−1}) B=(b0,b1,⋯,bn−1)，数组 B B B 是由另一个长度为 n n n 的环形数组 A = ( a 0 , a 1 , ⋯   , a n − 1 ) A = (a_0,a_1,\cdots,a_{n−1}) A=(a0,a1,⋯,an−1) 经过一次相邻最大化操作得到的，其中 a i a_i ai 与 a i + 1 a_{i+1} ai+1 相邻， a 0 a_0 a0 与 a n − 1 a_{n−1} an−1 相邻。

形式化描述为：

b i = { max ⁡ { a n − 1 , a 0 , a 1 } i = 0 max ⁡ { a i − 1 , a i , a i + 1 } 0 < i < n − 1 max ⁡ { a n − 2 , a n − 1 , a 0 } i = n − 1 b_i= \begin{cases} \max\{a_{n-1},a_0,a_1\}& i=0\\ \max\{a_{i-1},a_i,a_{i+1}\}& 0<i<n-1\\ \max\{a_{n-2},a_{n-1},a_0\}& i=n-1\\ \end{cases} bi=⎩ ⎨ ⎧max{an−1,a0,a1}max{ai−1,ai,ai+1}max{an−2,an−1,a0}i=00<i<n−1i=n−1

小蓝想知道，可能有多少个满足条件的数组 A A A，经过一次相邻最大化操作后能得到数组 B B B，注意 A A A 中的每个元素都要求为非负整数。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n n n，表示数组长度。

第二行包含 n n n 个整数 b 0 , b 1 , ⋯   , b n − 1 b_0,b_1,\cdots,b_{n−1} b0,b1,⋯,bn−1，相邻两个整数之间用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 1000000007 1000000007（即 10 9 + 7 10^9+7 109+7）后的余数。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
5
8 6 1 8 8

输出 #1

复制代码 
7

说明/提示

【样例说明】

可能的 A A A 数组有 7 7 7 个 ： ( 6 , 0 , 0 , 1 , 8 ) (6,0,0,1,8) (6,0,0,1,8)、 ( 6 , 0 , 1 , 0 , 8 ) (6,0,1,0,8) (6,0,1,0,8)、 ( 6 , 0 , 1 , 1 , 8 ) (6,0,1,1,8) (6,0,1,1,8)、 ( 6 , 1 , 0 , 0 , 8 ) (6,1,0,0,8) (6,1,0,0,8)、 ( 6 , 1 , 0 , 1 , 8 ) (6,1,0,1,8) (6,1,0,1,8)、 ( 6 , 1 , 1 , 0 , 8 ) (6,1,1,0,8) (6,1,1,0,8)、 ( 6 , 1 , 1 , 1 , 8 ) (6,1,1,1,8) (6,1,1,1,8)。

【评测用例规模与约定】

对于 30 % 30\% 30% 的评测用例， 3 ≤ n ≤ 10 3≤n≤10 3≤n≤10；

对于 60 % 60\% 60% 的评测用例， 3 ≤ n ≤ 100 3≤n≤100 3≤n≤100；

对于所有评测用例， 3 ≤ n ≤ 1000 3 ≤ n ≤ 1000 3≤n≤1000， 0 ≤ b i ≤ 10 0 ≤ b_i ≤ 10 0≤bi≤10。

蓝桥杯 2022 国赛 C 组 G 题。

P8810 动态规划+前缀和+化环为链

注意 ： 0 ≤ b i ≤ 10 0 ≤ b_i ≤ 10 0≤bi≤10。 a中元素不可能大于10，否则b中至少有三个元素大于10。

假定不是环：动态规划

动态规划的状态表示

dp[n][i][j]记录不矛盾的数量，n数组已经处理的长度，i是a[n-2]的值，j是a[n-1]的值， n ∈ [ 2 , N ] , i , j ∈ [ 0 , 10 ] n\in[2,N], i,j\in[0,10] n∈[2,N],i,j∈[0,10] 空间复杂度：O(N100)。

动态规划的填表顺序

枚举前置状态， n=2 to N-1,i,j从小到大

动态规划的转移方程

通过j1枚举a[n] 如果b[n-2]=max(i,j,j1)，则加上数量。否则忽略。单个状态时间复杂度：O(10),总时间复杂度O(N1000)。

动态规划的初始值

dp[2][i][j]=1

动态规划的返回值

dp.back()之和。

性能优化

枚举后序状态:dp[j][j1]

如果max(j,j1)=b[n-2],则i ∈ [ 0 , b [ n − 2 ] ] \in[0,b[n-2]] ∈[0,b[n−2]] 如果max(j,j1)>b[n-2]，无解；如果max(j,j1) <b[n-2]，则i只能是b[n-2]。

利用前缀和，单个状态转移时间复杂度降到O(1),总时间复杂度：O(100N)。

化环为链

利用a0和a1枚举a[0]和a[1]。枚举长度N+2的非矛盾串。dp.back[a0][a1]之和便是答案。枚举a0,a1时间复杂度O(100)，总时间复杂度：O(10000N)

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};

typedef  C1097Int<> BI;
class Solution {
public:
	int Ans(vector<int> b) {
		N = b.size();
		b.emplace_back(b[0]);
		BI ans = 0;
		for (int a0 = 0; a0 <= 10; a0++) {
			for (int a1 = 0; a1 <= 10; a1++) {
				auto dp = Do(a0, a1, b);
				ans += dp[a0][a1];
			}
		}
		return ans.ToInt();
	}
	vector<vector<BI>> Do(int a0, int a1, const vector<int>& b) {
		vector<vector<BI>> pre(11, vector<BI>(11));
		pre[a0][a1] = 1;
		for (int n = 3; n <= N + 2; n++) {
			vector<vector<BI>> dp(11, vector<BI>(11));
			for (int j = 0; j <= 10; j++) {
				BI preSum[12];
				preSum[0] = 0;
				for (int i = 0; i <= 10; i++) {
					preSum[i + 1] = preSum[i] + pre[i][j];
				}
				for (int j1 = 0; j1 <= 10; j1++) {
					const int jm = max(j, j1);
					const int cb = b[n - 2];
					if (jm == cb) { dp[j][j1] = preSum[jm + 1]; continue; }
					if (jm > cb) { continue; }
					dp[j][j1] = pre[cb][j];
				}
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return pre;
	}
	int N;
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	auto b = in.Read<int>();
#ifdef _DEBUG		
	//printf("D=%d", D);
	//Out(b, ",b=");
	//Out(que, "que=");
	//Out(B, "B=");
	//Out(que, "que=");
	//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
	auto res = Solution().Ans(b);
	cout << res << "\n";
	return 0;
}

单元测试

cpp 复制代码 
	TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			
			auto res = Solution().Ans({ 8,6,1,8,8 });
			AssertEx(7, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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