背包问题
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一、问题描述
01背包问题：给定n种（每种1个，也就是n个）物品和一个背包。物品的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包的容量（重量）为c。应如何选择背包中的物品，使得不超过背包容量且总价值最大。
在选择背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包1和不装如背包0，不能将物品装入背包多次，也不能只装一部分（商品不可分割）
二、本质
动态规划，记忆化搜索表
三、思路
3.1 01背包
3.1.1 方法
- 枚举->共有 2 n 2^n 2n种组合（暴力）
- 搜索（ D F S / B F S DFS/BFS DFS/BFS）会超时
- 动态规划：本质就是对搜索记忆化，只需考虑每个物品要不要装入背包即可
3.1.2 代码
cpp
// dp[i][j] = x 从前i个物品任选若干，装入容量为j的背包的最大价值x
// 最终状态dp[n][m] n个（也是n种）物品，m的容量(重量)
// 结果只有两种：放/不放
// 状态转移公式
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
// 注解：算dp[i][j],默认dp[i][j]之前的值已经算出，从1~i个物品中选，第i个物品选/不选，背包只从1~i-1个物品中任选，装入到容量为j的价值已经算出
// 前提：j>=w[i]
// 初始状态
// 一个物品都不选
dp[0][j]=0;
// 背包容量为0
dp[i][0]=0;
// 直接把dp数组全部初始化为0
for(int i=1;i<=n;i++) // 枚举物品，应从1开始，是0也没意义，价值也是0
{
for(int j=1;j<=m;j++) // 枚举书包的容量，应从1开始，是0也没意义
{
if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
// 防止越界
else dp[i][j]=dp[i-1][j];// 放不进去，只能选不放
}
}
// 要么放不进去，干脆不放了。要么能放进去，选择放/不放，看哪个价值不大3.1.3 模拟
注：求值时只需看上一行即可->可优化空间->降维优化
3.1.4 优化
二维->一维（滚动数组）
cpp
// 状态转移公式
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
// 初始状态
dp[j]=0;
// 答案
dp[m];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=w[i];j--) // 比w[i]小的容积不用枚举了
{
// j>=w[i]防止越界
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
// 试问为什么j要倒着枚举？
// 在算后面的值时会用到前面的值，如果正着的话会导致前面的值被更新，但是后面的值没有被更新，前面的物品会放很多次（恰好这为完全背包提供了思路）3.2 完全背包
3.2.1 问题描述
给n种物品，每种物品有无限多个，放入容量为m的背包中（可以重复放入同一种物品），如何使背包的价值最大。
3.2.2 思路
01背包时有个易错点，会放很多次，但是在完全背包中，刚好可以达到降维的目的（三维->二维）
3.2.3 代码
cpp
// 没有降维的
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
// 降维后的
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=w[i];j<=m;j++) // 从有一个开始枚举
{
// j>=w[i]防止越界
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}四、难点
题目本身不难，但是会加情景，情景中的变量和背包中的变量是否一致是需要考虑的
五、题目
5.1 洛谷
- P1616 疯狂的采药
- P1048 [NOIP 2005 普及组] 采药
四、难点
题目本身不难，但是会加情景，情景中的变量和背包中的变量是否一致是需要考虑的
五、题目
5.1 洛谷
- P1616 疯狂的采药
- P1048 [NOIP 2005 普及组] 采药