回溯算法的本质理解

回溯算法就是用递归代替可能无限嵌套的for循环。

例1：

这么说可能不好理解，让我们以一道经典题目77. 组合来引入。

我们来看示例1 ，需要从1~4中，找出所有可能的2个数的组合，很自然从数学的角度 想到的顺序 $1,2$ , $1,3$ , $1,4$ , $2,3$ , $2,4$ , $3,4$ ，从代码的角度 其实就是2层for循环，外层从i=1到3，内层从i+1到4。其实就是要找的k个数的组合对应k层for循环

我们会发现k不是固定的，也就是for循环的层数是不确定的，就算真的确定，当k取20时，又不能真的写20层for循环。

所以我们用递归来代替

我们知道递归的本质，是把一个大问题拆分成同类型的小问题。这样"分解"的关系，天然就形成了一棵树：所以几乎所有的递归过程都可以抽象成一棵树来表示^[1](#1)

以下就是树的表示。（感谢代码随想录）

你会发现递归的每一层，本质就是一层for循环（第一层取i=1到4，第二层取i+1到4）

这里给出回溯的模版

text 复制代码

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//横向
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归（纵向）
        回溯，撤销处理结果
    }
}

题解

c++ 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> path;//存路径
    vector<vector<int>> res;//存结果
    //回溯模版
    void backtracking(int n,int k,int startIndex){
        //终止条件：满足k个数的大小
        if(path.size()==k){
            res.push_back(path);
            return;
        }
        //横向选取数：是1234还是234由startIndex决定
        for(int i=startIndex;i<=n-(k-path.size())+1;i++){
            path.push_back(i);//加入路径
            backtracking(n,k,i+1);//回溯
            path.pop_back();//删除元素
        }
    }
    
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return res;
    }
};

这里有一个非常常见的剪枝优化，就是把i<=n改成i<=n-(k-path.size())+1，这里就不过多叙述

例2：

我们再来看一道题17. 电话号码的字母组合

依旧借助树形结构理解

c++ 复制代码

class Solution {
public:
    vector<string> res;
    string path;
    //输入的电话号对应的字母
    const string phoneMap[10]={"","","abc","def","ghi","jkl","mno","pqrs","tuv","wxyz"};
    
    void backtracking(string digits,int index){//index表示遍历到第几个数字
        //终止条件
        if(digits.size()==index){
            res.push_back(path);
            return;
        }
        
        int digit=digits[index]-'0';//字母变数字
        string letter=phoneMap[digit];
        for(int i=0;i<letter.size();i++){
            path.push_back(letter[i]);
            backtracking(digits,index+1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        backtracking(digits,0);
        return res;
    }
};

总结

以上就是回溯算法中的组合问题，分别从一个集合中选取元素和多个集合中选取元素。

从二叉树到回溯算法的过渡是及其自然的，我们先从图形化便于理解的树形，了解到它的多种递归遍历方法；再接触回溯算法，从递归逻辑中自己抽象出树形结构去解题。也就是我们从树形接触递归，再从递归中抽象出树形，是不是很有意思 ↩︎