P1968 [CHCI 2001 Regional Competition Seniors] 美元汇率

记录88

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[110][2],a[110];
int main(){//两种最大的状态，美元，马克
	int n;
	cin>>n;
	dp[0][0]=100;//初始时候的美元数
	dp[0][1]=0;//初始时候的马克数
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]*(100.0/a[i]));//除一个数，就是乘它的倒数
		dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]*(a[i]/100.0));
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<dp[n][0];
	//printf("%.2f",dp[n][0]);
	return 0;
} 

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1968

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突破口

在以后的若干天里戴维将学习美元与德国马克的汇率。编写程序帮助戴维何时应买或卖马克或美元，使他从 100 美元开始，最后能获得最高可能的价值。

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思路

🎯 问题本质

• 戴维初始有 100 美元
• 接下来 N 天，每天有一个汇率 A_i：
  • 100 美元 ⇄ A_i 马克
  • 即：1 美元 = A_i / 100 马克，1 马克 = 100 / A_i 美元
• 每天他可以选择：
  • 把所有美元换成马克
  • 把所有马克换成美元
  • 什么都不做
• 目标 ：在第 N 天结束前，必须持有美元，且金额最大

💡 关键约束：最后必须是美元！

这是一个典型的 动态规划（DP） 问题，状态只有两种：持有美元 或 持有马克。

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🧠 动态规划设计

状态定义

• dp[i][0]：第 i 天结束后，持有美元的最大金额
• dp[i][1]：第 i 天结束后，持有马克的最大金额

初始状态

• dp[0][0] = 100（开始有 100 美元）
• dp[0][1] = 0（没有马克）

状态转移（第 i 天）

• 美元状态 dp[i][0] 可以来自：

  1. 昨天就持有美元，今天不动 → dp[i-1][0]
  2. 昨天持有马克，今天全部换成美元 → dp[i-1][1] × (100 / a[i])
  • 取两者最大值

• 马克状态 dp[i][1] 可以来自：

  1. 昨天就持有马克，今天不动 → dp[i-1][1]
  2. 昨天持有美元，今天全部换成马克 → dp[i-1][0] × (a[i] / 100)
  • 取两者最大值

✅ 注意：每天最多操作一次（全换或不换），因为部分换不会更优（汇率固定，全换收益最大）

最终答案

• dp[N][0]（第 N 天必须是美元）

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代码分析

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[110][2], a[110];

• dp[i][0/1]：第 i 天的美元/马克最大值
• a[i]：第 i 天的汇率（100 美元 ↔ ai 马克）
• 数组大小 110（因 N ≤ 100）

int main(){
    int n;
    cin >> n;

    dp[0][0] = 100; // 初始 100 美元
    dp[0][1] = 0;   // 初始 0 马克

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🔁 每天更新状态

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];

• 读入第 i 天的汇率 a[i]

        dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] * (100.0 / a[i]));

• 计算第 i 天持有美元的最大值：
  • 不换：dp[i-1][0]
  • 用马克换：dp[i-1][1] 马克 × (100 / a[i]) 美元/马克

        dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] * (a[i] / 100.0));

• 计算第 i 天持有马克的最大值：
  • 不换：dp[i-1][1]
  • 用美元换：dp[i-1][0] 美元 × (a[i] / 100) 马克/美元

💡 使用 100.0 而不是 100 是为了强制浮点运算，避免整数除法

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🔚 输出结果

    cout << fixed << setprecision(2) << dp[n][0];
    return 0;
}

• 输出第 n 天的美元金额，保留两位小数
• fixed + setprecision(2) 确保格式为 xxx.xx

⚠️ 题目允许 ±0.05 误差，所以浮点精度足够

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🧪 样例验证（n=5，汇率=400,300,500,300,250）

天	汇率 A	dpi0（美元）	dpi1（马克）	操作
0	---	100.00	0.00	初始
1	400	max(100, 0) = 100	max(0, 100×4) = 400	换成马克
2	300	max(100, 400×100/300 ≈133.33) = 133.33	max(400, 100×3=300) = 400	马克换美元
3	500	max(133.33, 400×0.2=80) = 133.33	max(400, 133.33×5≈666.67) = 666.67	美元换马克
4	300	max(133.33, 666.67×100/300≈222.22) = 222.22	max(666.67, 133.33×3=400) = 666.67	---
5	250	max(222.22, 666.67×100/250=266.67) = 266.67	...	马克换美元

→ 输出 266.67 ✅

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总结

要点	说明
状态设计	dp[i][0]（美元），dp[i][1]（马克）
转移逻辑	每天可选择"换"或"不换"，取最大值
汇率转换	100 美元 ↔ A 马克 → 1 美元 = A/100 马克
最终要求	第 N 天必须是美元 → 输出 dp[N][0]
精度处理	用 double + setprecision(2)

这段代码正确建模了货币兑换的最优决策过程，是动态规划在金融场景中的经典应用。