这里是 量子力学系列专栏文章
- 量子力学 1 波函数与薛定谔方程、归一化
- 量子力学 2 坐标、动量、算符、力学量期望值
- 量子力学 3 不确定性原理初步印象
- 量子力学 4 定态薛定谔方程、分离变量法、哈密顿、态叠加原理
- 量子力学 5 一维定态问题的若干定理
- 量子力学 6 一维无限深势阱、定态的正交归一性、系数的含义
- 量子力学 7 傅里叶变换、自由粒子
- 量子力学 8 δ函数势、有限深方势阱
- 量子力学 9 对易式、一维谐振子
- 量子力学 10 狄拉克符号、希尔伯特空间、厄米算符、本征方程
- 量子力学 11 连续谱正交归一性、广义统计诠释、不确定性原理
- 量子力学 12 矩阵形式、厄米共轭、表象变换
- 量子力学 14 三维空间中的量子力学、球坐标系中的薛定谔方程、分离变量法、角动量方程、径向方程
- 量子力学 15 氢原子与角动量
- 量子力学 16 算符运算、对易式、算符函数、薛定谔绘景和海森堡绘景
量子力学 17 自旋、角动量耦合
- 前言
- 1、自旋
-
- [1.1 轨道磁矩](#1.1 轨道磁矩)
- [1.2 自旋磁矩](#1.2 自旋磁矩)
- [1.3 电子没有自转的证明](#1.3 电子没有自转的证明)
-
- [1. 物理模型与参数](#1. 物理模型与参数)
- [2. 计算"赤道"上的速度](#2. 计算“赤道”上的速度)
- [3. 代入常数进行对比](#3. 代入常数进行对比)
- [4. 结论：这个模型有意义吗？](#4. 结论：这个模型有意义吗？)
- [1.4 自旋 1 / 2 \boldsymbol{1/2} 1/2](#1.4 自旋 1 / 2 \boldsymbol{1/2} 1/2)
- [1.5 自旋角动量算符期望值](#1.5 自旋角动量算符期望值)
-
- [1. 符号与矩阵解读](#1. 符号与矩阵解读)
- [2. 计算过程](#2. 计算过程)
- [3. 物理意义](#3. 物理意义)
- [1.6 习题](#1.6 习题)
-
- [格书 习题4.2](#格书 习题4.2)
- [格书 习题4.30](#格书 习题4.30)
- [2 角动量耦合](#2 角动量耦合)
-
- [2.1 双电子耦合](#2.1 双电子耦合)
- [2.2 更复杂的情况------角动量耦合的一般规律](#2.2 更复杂的情况——角动量耦合的一般规律)
- 参考资料
前言
本文首先介绍了量子力学中的自旋概念，自旋是电子的内禀属性，不同于经典转动模型，其磁矩无法用物理旋转解释，并推导证明经典电子自转模型会导致超光速悖论。接下来以自旋 1/2 为例介绍了自旋角动量的算符期望值，最后以双电子耦合为例讨论了多粒子系统中的本征值、本征态与角动量耦合。
1、自旋
1.1 轨道磁矩
在经典电磁学中，磁场是由电流回路产生的。我们可以用两种"旋转"模型来类比：
-
轨道磁矩（像行星公转）：
想象电子绕原子核运动。移动的电荷形成电流，一个闭合的环形电流会产生磁场，磁场强度由磁矩 μ \mu μ 描述。环形电流 I I I 围成的面积为 S S S，则磁矩为：
μ o r b i t = I ⋅ S \mu_{orbit} = I \cdot S μorbit=I⋅S -
自转磁矩（像地球自转）：
由于电荷随球体转动，表面电荷就会产生环形电流，从而产生磁矩。
1.2 自旋磁矩
当科学家们发现电子有磁矩时，第一反应是它在自转。然而，如果把电子真的想象成一个高速自转的小球，会遇到致命的矛盾：
-
超光速悖论：若要产生观测到的磁矩，电子表面的切向速度将远超光速。
-
点粒子特性：在标准模型中，电子被视为点粒子，没有半径，也就无法谈论物理上的"自转"。
所以电子并不是真的在转，这种不同于轨道运动所产生的磁矩，只能归功于电子的某种内秉属性------即自旋（Spin）。
总磁矩 = 轨道磁矩（真正的旋转运动）+ 自旋磁矩（内禀属性）。 μ t o t a l = μ o r b i t + μ s p i n \mu_{total} = \mu_{orbit} + \mu_{spin} μtotal=μorbit+μspin
你可以把自旋理解为一种 "没有转动过程，却拥有转动结果（角动量和磁矩）" 的量子现象。
自旋角动量 S S S与轨道角动量 L L L的极其相似，由基本对易关系：
S x , S y \] = i ℏ S z , \[ S y , S z \] = i ℏ S x , \[ S z , S x \] = i ℏ S y \[S_x, S_y\] = i\\hbar S_z, \\quad \[S_y, S_z\] = i\\hbar S_x, \\quad \[S_z, S_x\] = i\\hbar S_y \[Sx,Sy\]=iℏSz,\[Sy,Sz\]=iℏSx,\[Sz,Sx\]=iℏSy （同以前一样）可以得出 S 2 S\^2 S2 和 S z S_z Sz 的本征矢 ∣ s , m ⟩ \|s,m\\rangle ∣s,m⟩满足： S 2 ∣ s , m ⟩ = ℏ 2 s ( s + 1 ) ∣ s , m ⟩ , S z ∣ s , m ⟩ = ℏ m ∣ s , m ⟩ S\^2 \|s,m\\rangle = \\hbar\^2 s(s+1)\|s,m\\rangle, \\quad S_z \|s,m\\rangle = \\hbar m \|s,m\\rangle S2∣s,m⟩=ℏ2s(s+1)∣s,m⟩,Sz∣s,m⟩=ℏm∣s,m⟩ 及升降算符公式 S ± ∣ s , m ⟩ = ℏ s ( s + 1 ) − m ( m ± 1 ) ∣ s , m ± 1 ⟩ , S_\\pm \|s,m\\rangle = \\hbar\\sqrt{s(s+1)-m(m\\pm 1)}\|s,m\\pm 1\\rangle, S±∣s,m⟩=ℏs(s+1)−m(m±1) ∣s,m±1⟩, 其中 S ± ≡ S x ± i S y S_\\pm \\equiv S_x \\pm iS_y S±≡Sx±iSy。 但是现在本征矢不再是球谐函数（它们根本不是 θ \\theta θ 和 ϕ \\phi ϕ 的函数），我们也没有一个既定的理由把 s s s 和 m m m 的半整数值排除在外： s = 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , ... ; m = − s , − s + 1 , ... , s − 1 , s . s = 0,\\ \\frac{1}{2},\\ 1,\\ \\frac{3}{2},\\ \\dots; \\quad m = -s,\\ -s+1,\\ \\dots,\\ s-1,\\ s. s=0, 21, 1, 23, ...;m=−s, −s+1, ..., s−1, s. 十分巧合的是每一种基本粒子都有一个特定的永远不变的 s s s，我们称它为该种粒子的自旋。希格斯玻色子、 π \\boldsymbol{\\pi} π 介子的自旋为零；电子、夸克、中微子的自旋是 1 / 2 \\boldsymbol{1/2} 1/2；光子的自旋为 1 \\boldsymbol{1} 1； Δ \\boldsymbol{\\Delta} Δ 粒子的为 3 / 2 \\boldsymbol{3/2} 3/2；引力子（预测）的为 2 \\boldsymbol{2} 2；等等。 每一种基本粒子在"出厂"时，其自旋的大小就已经是确定的，这被称为内禀属性。但自旋在空间中的投影方向（即 m s m_s ms）是可以改变的。 对比而言，轨道角动量量子数 l l l（比如，氢原子中的电子）可以取任何（正整）数，而且当体系受到扰动时会从一个值变为另一个值。 ### 1.3 电子没有自转的证明 #### 1. 物理模型与参数 题目假设电子是一个半径为 r c r_c rc 的经典固体球，其角动量为 S = 1 2 ℏ S = \\frac{1}{2}\\hbar S=21ℏ。 经典电子半径定义为： r c = e 2 4 π ϵ 0 m c 2 r_c = \\frac{e\^2}{4\\pi\\epsilon_0 mc\^2} rc=4πϵ0mc2e2 （所谓的**经典电子半径** ，由爱因斯坦公式 E = m c 2 E=mc\^2 E=mc2，假设电子的质量可归因于它电场的能量得到的） #### 2. 计算"赤道"上的速度 对于一个质量分布均匀的固体球（或者是球壳，数量级一致），其自旋角动量 L L L 与赤道转动速度 v v v 的关系可以通过转动惯量 I I I 表达。 为了简化计算（且不失物理本质），我们假设质量集中在边缘或采用固体球模型 I = 2 5 m r c 2 I = \\frac{2}{5}mr_c\^2 I=52mrc2。 根据角动量公式： L = I ω = I v r c L = I\\omega = I \\frac{v}{r_c} L=Iω=Ircv 代入固体球的转动惯量： 1 2 ℏ = ( 2 5 m r c 2 ) v r c = 2 5 m r c v \\frac{1}{2}\\hbar = \\left( \\frac{2}{5}mr_c\^2 \\right) \\frac{v}{r_c} = \\frac{2}{5}m r_c v 21ℏ=(52mrc2)rcv=52mrcv 解出速度 v v v： v = 5 ℏ 4 m r c v = \\frac{5\\hbar}{4mr_c} v=4mrc5ℏ #### 3. 代入常数进行对比 我们将 r c r_c rc 的表达式代入上式： v = 5 ℏ 4 m ( e 2 4 π ϵ 0 m c 2 ) = 5 ℏ ⋅ 4 π ϵ 0 c 2 4 e 2 = 5 ( e 2 4 π ϵ 0 ℏ c ) ⋅ c 4 v = \\frac{5\\hbar}{4m \\left( \\frac{e\^2}{4\\pi\\epsilon_0 mc\^2} \\right)} = \\frac{5\\hbar \\cdot 4\\pi\\epsilon_0 c\^2}{4e\^2} = \\frac{5}{ \\left( \\frac{e\^2}{4\\pi\\epsilon_0 \\hbar c} \\right) } \\cdot \\frac{c}{4} v=4m(4πϵ0mc2e2)5ℏ=4e25ℏ⋅4πϵ0c2=(4πϵ0ℏce2)5⋅4c 注意括号中的项正是**精细结构常数** α ≈ 1 137 \\alpha \\approx \\frac{1}{137} α≈1371。 因此： v = 5 4 α c ≈ 5 4 × 137 × c ≈ 171 c v = \\frac{5}{4\\alpha} c \\approx \\frac{5}{4} \\times 137 \\times c \\approx 171 c v=4α5c≈45×137×c≈171c #### 4. 结论：这个模型有意义吗？ **结论是：没有物理意义。** * **超光速：** 计算结果显示赤道表面的速度约为光速的 **170 倍** 。根据狭义相对论，任何静质量不为零的物体运动速度都不可能达到或超过光速 c c c。 * **点粒子特性：** 括号中提到的实验事实（实际半径远小于 r c r_c rc）会让结果更糟糕：如果半径 r r r 变小，为了保持相同的角动量 ℏ / 2 \\hbar/2 ℏ/2，速度 v v v 必须变得更快。 * **自旋的本质：** 实验证明电子在目前的探测尺度下表现为"点粒子"。这说明自旋是电子的一种**内秉角动量**，是量子力学属性，而不是由宏观机械转动产生的。 ### 1.4 自旋 1 / 2 \\boldsymbol{1/2} 1/2 s = 1 / 2 s=1/2 s=1/2 是最重要的情况，因为它是在构成普通物质的粒子（质子、中子和电子）的自旋，以及所有夸克和所有轻子的自旋。另外，一旦你掌握了自旋 1/2，理解高自旋就非常容易了。对 s = 1 / 2 s=1/2 s=1/2， S 2 S\^2 S2 和 S z S_z Sz 仅有两个本征态： ∣ 1 2 , 1 2 ⟩ \\left\| \\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1}{2} \\right\\rangle 21,21⟩，它被称为上自旋态（经常用 ↑ \\uparrow ↑），和 ∣ 1 2 , − 1 2 ⟩ \\left\| \\dfrac{1}{2}, -\\dfrac{1}{2} \\right\\rangle 21,−21⟩，它被称为下自旋态（ ↓ \\downarrow ↓）。 它们两个可作自旋希尔伯特空间的基矢，所以对 s = 1 / 2 s=1/2 s=1/2的情况，自旋空间的维数是 2 2 2。 > 对于自旋 s = 3 2 s=\\dfrac{3}{2} s=23 的 Δ \\Delta Δ 粒子，其 m m m 取值有 − 3 2 , − 1 2 , 1 2 , 3 2 -\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{3}{2} −23,−21,21,23 ，本征态有 ∣ 3 2 , − 3 2 ⟩ , ∣ 3 2 , − 1 2 ⟩ , ∣ 3 2 , 1 2 ⟩ , ∣ 3 2 , 3 2 ⟩ \|\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{3}{2}\\rangle, \|\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2}\\rangle, \|\\dfrac{3}{2},\\dfrac{1}{2}\\rangle, \|\\dfrac{3}{2},\\dfrac{3}{2}\\rangle ∣23,−23⟩,∣23,−21⟩,∣23,21⟩,∣23,23⟩，自旋空间的维数是 4 4 4。 利用这两个基矢量，一个自旋 1/2 粒子的一般态可以表示成一个两元列矩阵（或旋量）： χ = ( a b ) = a χ + + b χ − \\chi = \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} = a\\chi_+ + b\\chi_- χ=(ab)=aχ++bχ− 其中 χ + = ( 1 0 ) \\chi_+ = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} χ+=(10) 代表上自旋，而 χ − = ( 0 1 ) \\chi_- = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} χ−=(01) 代表下自旋。 由 S 2 S\^2 S2的本征矢公式得到： S 2 χ + = 3 4 ℏ 2 χ + S 2 χ − = 3 4 ℏ 2 χ − \\mathbf{S}\^2 \\chi_+ = \\frac{3}{4}\\hbar\^2 \\chi_+ \\quad \\mathbf{S}\^2 \\chi_- = \\frac{3}{4}\\hbar\^2 \\chi_- S2χ+=43ℏ2χ+S2χ−=43ℏ2χ− 如果我们把 S 2 \\mathbf{S}\^2 S2 写为矩阵元待定的矩阵, S 2 = ( c d e f ) , \\mathbf{S}\^2 = \\begin{pmatrix} c \& d \\\\ e \& f \\end{pmatrix}, S2=(cedf), 则上面的第一个方程为 S 2 χ + = ( c d e f ) ( 1 0 ) = 3 4 ℏ 2 ( 1 0 ) , 或者 ( c e ) = ( 3 4 ℏ 2 0 ) , \\mathbf{S}\^2 \\chi_+ =\\begin{pmatrix} c \& d \\\\ e \& f \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = \\frac{3}{4} \\hbar\^2 \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\text{或者} \\quad \\begin{pmatrix} c \\\\ e \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\frac{3}{4} \\hbar\^2 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, S2χ+=(cedf)(10)=43ℏ2(10),或者(ce)=(43ℏ20), 所以 c = ( 3 / 4 ) ℏ 2 , e = 0 c = (3/4) \\hbar\^2, \\ e = 0 c=(3/4)ℏ2, e=0。 第二个方程给出 ( c d e f ) ( 0 1 ) = 3 4 ℏ 2 ( 0 1 ) , 或者 ( d f ) = ( 0 3 4 ℏ 2 ) , \\begin{pmatrix} c \& d \\\\ e \& f \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = \\frac{3}{4} \\hbar\^2 \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\text{或者} \\quad \\begin{pmatrix} d \\\\ f \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ \\frac{3}{4} \\hbar\^2 \\end{pmatrix}, (cedf)(01)=43ℏ2(01),或者(df)=(043ℏ2), 所以 d = 0 , f = ( 3 / 4 ) ℏ 2 d = 0, \\ f = (3/4) \\hbar\^2 d=0, f=(3/4)ℏ2。 结论： S 2 = 3 4 ℏ 2 ( 1 0 0 1 ) . \\mathbf{S}\^2 = \\frac{3}{4} \\hbar\^2 \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{pmatrix} . S2=43ℏ2(1001). 类似有， S z χ + = 1 2 ℏ χ + , S z χ − = − 1 2 ℏ χ − . \\mathbf{S}_z \\chi_+ = \\frac{1}{2} \\hbar \\chi_+, \\quad \\mathbf{S}_z \\chi_- = -\\frac{1}{2} \\hbar \\chi_- . Szχ+=21ℏχ+,Szχ−=−21ℏχ−. 由此得出 S z = ℏ 2 ( 1 0 0 − 1 ) . \\mathbf{S}_z = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{pmatrix} . Sz=2ℏ(100−1). 另外，由升降符公式知道 S + χ − = ℏ χ + , S − χ + = ℏ χ − , S + χ + = S − χ − = 0 , \\mathbf{S}_+ \\chi_- = \\hbar \\chi_+, \\quad \\mathbf{S}_- \\chi_+ = \\hbar \\chi_-, \\quad \\mathbf{S}_+ \\chi_+ = \\mathbf{S}_- \\chi_- = 0, S+χ−=ℏχ+,S−χ+=ℏχ−,S+χ+=S−χ−=0, 所以 S + = ℏ ( 0 1 0 0 ) , S − = ℏ ( 0 0 1 0 ) . \\mathbf{S}_+ = \\hbar \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\mathbf{S}_- = \\hbar \\begin{pmatrix} 0 \& 0 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix} . S+=ℏ(0010),S−=ℏ(0100). 因为 S ± = S x ± i S y S_{\\pm} = S_x \\pm iS_y S±=Sx±iSy，所以 S x = ( 1 / 2 ) ( S + + S − ) S_x = (1/2)(S_+ + S_-) Sx=(1/2)(S++S−)， S y = ( 1 / 2 i ) ( S + − S − ) S_y = (1/2i)(S_+ - S_-) Sy=(1/2i)(S+−S−)，因此得 S x = ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) , S y = ℏ 2 ( 0 − i i 0 ) . \\mathbf{S}_x = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\mathbf{S}_y = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \& -i \\\\ i \& 0 \\end{pmatrix} . Sx=2ℏ(0110),Sy=2ℏ(0i−i0). 由于 S x , S y \\mathbf{S}_x, \\mathbf{S}_y Sx,Sy 和 S z \\mathbf{S}_z Sz 都有一个因子 ℏ / 2 \\hbar/2 ℏ/2， S \\mathbf{S} S 可以更简洁地写为 S = ( ℏ / 2 ) σ \\mathbf{S} = (\\hbar/2)\\boldsymbol{\\sigma} S=(ℏ/2)σ，其中 σ x ≡ ( 0 1 1 0 ) , σ y ≡ ( 0 − i i 0 ) , σ z ≡ ( 1 0 0 − 1 ) . \\sigma_x \\equiv \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\sigma_y \\equiv \\begin{pmatrix} 0 \& -i \\\\ i \& 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\sigma_z \\equiv \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{pmatrix} . σx≡(0110),σy≡(0i−i0),σz≡(100−1). 这就是著名的泡利（Pauli）自旋矩阵。 S z \\mathbf{S}_z Sz 的本征旋量是 χ + = ( 1 0 ) , ( 本征值为 ℏ 2 ) ; χ − = ( 0 1 ) , ( 本征值为 − ℏ 2 ) . \\chi_+ = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\left( \\text{本征值为} \\frac{\\hbar}{2} \\right); \\quad \\chi_- = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\left( \\text{本征值为} -\\frac{\\hbar}{2} \\right) . χ+=(10),(本征值为2ℏ);χ−=(01),(本征值为−2ℏ). 如果对一个粒子的一般态 χ \\chi χ 测量其 S z S_z Sz，得到 + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2 的几率为 ∣ a ∣ 2 \|a\|\^2 ∣a∣2，得到 − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2 的几率为 ∣ b ∣ 2 \|b\|\^2 ∣b∣2。既然这两个几率是仅有的几率，应有 ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 \|a\|\^2 + \|b\|\^2 = 1 ∣a∣2+∣b∣2=1 **特征值方程** 为 ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) χ + ( x ) = ℏ 2 χ + ( x ) \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix} \\chi_+\^{(x)} = \\frac{\\hbar}{2} \\chi_+\^{(x)} 2ℏ(0110)χ+(x)=2ℏχ+(x) 设 χ + ( x ) = ( a b ) \\chi_+\^{(x)} = \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} χ+(x)=(ab)，代入矩阵乘法： ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) ( a b ) = ℏ 2 ( b a ) = ℏ 2 ( a b ) \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} b \\\\ a \\end{pmatrix} = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} 2ℏ(0110)(ab)=2ℏ(ba)=2ℏ(ab) 由此得出 a = b a = b a=b。经过归一化处理（模平方之和为 1），得： ∣ a ∣ 2 + ∣ a ∣ 2 = 1 ⟹ 2 ∣ a ∣ 2 = 1 ⟹ a = 1 2 \|a\|\^2 + \|a\|\^2 = 1 \\implies 2\|a\|\^2 = 1 \\implies a = \\frac{1}{\\sqrt{2}} ∣a∣2+∣a∣2=1⟹2∣a∣2=1⟹a=2 1 那么： χ + ( x ) = 1 2 ( 1 1 ) \\chi_+\^{(x)} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} χ+(x)=2 1(11) 同理，最后求得： χ + ( x ) = ( 1 / 2 1 / 2 ) , ( 本征值为 + ℏ 2 ) ; χ − ( x ) = ( 1 / 2 − 1 / 2 ) , ( 本征值为 − ℏ 2 ) \\chi_{+}\^{(x)}=\\begin{pmatrix} 1/\\sqrt{2} \\\\ 1/\\sqrt{2} \\end{pmatrix}, \\left( \\text{本征值为} +\\frac{\\hbar}{2} \\right); \\quad \\chi_{-}\^{(x)}=\\begin{pmatrix} 1/\\sqrt{2} \\\\ -1/\\sqrt{2} \\end{pmatrix}, \\left( \\text{本征值为} -\\frac{\\hbar}{2} \\right) χ+(x)=(1/2 1/2 ),(本征值为+2ℏ);χ−(x)=(1/2 −1/2 ),(本征值为−2ℏ) 一般的旋量 χ \\chi χ 可以表示成它们的线性叠加： χ = ( a + b 2 ) χ + ( x ) + ( a − b 2 ) χ − ( x ) . \\chi = \\left( \\frac{a+b}{\\sqrt{2}} \\right) \\chi_{+}\^{(x)} + \\left( \\frac{a-b}{\\sqrt{2}} \\right) \\chi_{-}\^{(x)}. χ=(2 a+b)χ+(x)+(2 a−b)χ−(x). 如果测量 S x S_x Sx，得到 + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2 的几率是 ( 1 / 2 ) ∣ a + b ∣ 2 (1/2)\|a+b\|\^2 (1/2)∣a+b∣2，得到 − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2 的几率是 ( 1 / 2 ) ∣ a − b ∣ 2 (1/2)\|a-b\|\^2 (1/2)∣a−b∣2 ### 1.5 自旋角动量算符期望值 我们来测一下 **自旋 1/2 系统** （例如电子）在 z z z 方向上自旋角动量的**算符期望值** ⟨ S \^ z ⟩ \\langle \\hat{S}_z \\rangle ⟨S\^z⟩。 ⟨ χ ∣ S \^ z ∣ χ ⟩ = ( a ∗ b ∗ ) ℏ 2 ( 1 0 0 − 1 ) ( a b ) \\langle \\chi \| \\hat{S}_z \| \\chi \\rangle = (a\^\* \\ b\^\*) \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} ⟨χ∣S\^z∣χ⟩=(a∗ b∗)2ℏ(100−1)(ab) 简单来说，它计算的是：如果我们对处于状态 ∣ χ ⟩ \|\\chi\\rangle ∣χ⟩ 的粒子重复测量其 z z z 轴自旋，得到的平均结果是多少。 #### 1. 符号与矩阵解读 我们可以将该式子拆解为以下几个部分： * **态矢量 ∣ χ ⟩ \|\\chi\\rangle ∣χ⟩ 与 共轭矢量 ⟨ χ ∣ \\langle \\chi \| ⟨χ∣**： * ∣ χ ⟩ = ( a b ) \|\\chi\\rangle = \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} ∣χ⟩=(ab) 是态矢量，其中 a a a 和 b b b 是复数概率振幅。 * ⟨ χ ∣ = ( a ∗ b ∗ ) \\langle \\chi \| = (a\^\* \\ b\^\*) ⟨χ∣=(a∗ b∗) 是共轭转置（左矢量）。 * 归一化条件要求 ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 \|a\|\^2 + \|b\|\^2 = 1 ∣a∣2+∣b∣2=1。 * **自旋算符 S \^ z \\hat{S}_z S\^z**： * S \^ z = ℏ 2 σ z \\hat{S}_z = \\frac{\\hbar}{2} \\sigma_z S\^z=2ℏσz，其中 σ z = ( 1 0 0 − 1 ) \\sigma_z = \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{pmatrix} σz=(100−1) 是泡利矩阵。 * ℏ \\hbar ℏ 是约化普朗克常数。 #### 2. 计算过程 通过矩阵乘法，我们可以得出最终的物理结果： 1. **右侧乘法** ： ℏ 2 ( 1 0 0 − 1 ) ( a b ) = ℏ 2 ( a − b ) \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\end{pmatrix} = \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} a \\\\ -b \\end{pmatrix} 2ℏ(100−1)(ab)=2ℏ(a−b) 2. **左侧乘法（内积）** ： ⟨ χ ∣ S \^ z ∣ χ ⟩ = ( a ∗ b ∗ ) ⋅ ℏ 2 ( a − b ) \\langle \\chi \| \\hat{S}_z \| \\chi \\rangle = (a\^\* \\ b\^\*) \\cdot \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} a \\\\ -b \\end{pmatrix} ⟨χ∣S\^z∣χ⟩=(a∗ b∗)⋅2ℏ(a−b) = ℏ 2 ( a ∗ a − b ∗ b ) = \\frac{\\hbar}{2} (a\^\* a - b\^\* b) =2ℏ(a∗a−b∗b) 3. **最终表达式** ： ⟨ S \^ z ⟩ = ℏ 2 ( ∣ a ∣ 2 − ∣ b ∣ 2 ) \\langle \\hat{S}_z \\rangle = \\frac{\\hbar}{2} (\|a\|\^2 - \|b\|\^2) ⟨S\^z⟩=2ℏ(∣a∣2−∣b∣2) #### 3. 物理意义 这个结果非常直观： * **∣ a ∣ 2 \|a\|\^2 ∣a∣2** ：粒子处于"自旋向上"（ + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2）状态的概率。 * **∣ b ∣ 2 \|b\|\^2 ∣b∣2** ：粒子处于"自旋向下"（ − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2）状态的概率。 * **期望值**：即为这两个可能的测量值乘以其对应概率的加权平均数。 > **举例：** > > 如果粒子完全处于自旋向上态，即 a = 1 , b = 0 a=1, b=0 a=1,b=0，那么期望值就是 + ℏ 2 +\\frac{\\hbar}{2} +2ℏ。 > > 如果粒子处于叠加态且 ∣ a ∣ 2 = ∣ b ∣ 2 = 0.5 \|a\|\^2 = \|b\|\^2 = 0.5 ∣a∣2=∣b∣2=0.5，那么期望值为 0 0 0，表示平均来看，向上和向下的机会相等。 ### 1.6 习题 #### 格书 习题4.2 假设一个自旋 1/2 的粒子处在态 χ = 1 6 ( 1 + i 2 ) . \\chi = \\frac{1}{\\sqrt{6}} \\begin{pmatrix} 1+i \\\\ 2 \\end{pmatrix}. χ=6 1(1+i2). 如果测量 S z S_z Sz 和 S x S_x Sx，得到 + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2 和 − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2 的几率各是多少？ **解：** 这里 a = ( 1 + i ) / 6 a = (1+i)/\\sqrt{6} a=(1+i)/6 ， b = 2 / 6 b = 2/\\sqrt{6} b=2/6 ，所以对 S z S_z Sz，得到 + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2 的几率为 ∣ ( 1 + i ) / 6 ∣ 2 = 1 / 3 \|(1+i)/\\sqrt{6}\|\^2 = 1/3 ∣(1+i)/6 ∣2=1/3， 得到 − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2 的几率是 ∣ 2 / 6 ∣ 2 = 2 / 3 \|2/\\sqrt{6}\|\^2 = 2/3 ∣2/6 ∣2=2/3。 对 S x S_x Sx，得到 + ℏ / 2 +\\hbar/2 +ℏ/2 的几率为 ( 1 / 2 ) ∣ ( 3 + i ) / 6 ∣ 2 = 5 / 6 (1/2)\|(3+i)/\\sqrt{6}\|\^2 = 5/6 (1/2)∣(3+i)/6 ∣2=5/6， 得到 − ℏ / 2 -\\hbar/2 −ℏ/2 的几率是 ( 1 / 2 ) ∣ ( − 1 + i ) / 6 ∣ 2 = 1 / 6 (1/2)\|(-1+i)/\\sqrt{6}\|\^2 = 1/6 (1/2)∣(−1+i)/6 ∣2=1/6。 > 注意模平方运算公式为 z ⋅ z ∗ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 − ( b i ) 2 = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 z \\cdot z\^\* = (a + bi)(a - bi) = a\^2 - (bi)\^2 = a\^2 + b\^2 = \|z\|\^2 z⋅z∗=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2=∣z∣2 顺便提及， S x S_x Sx 的期待值是 5 6 ( ℏ 2 ) + 1 6 ( − ℏ 2 ) = ℏ 3 , \\frac{5}{6} \\left( \\frac{\\hbar}{2} \\right) + \\frac{1}{6} \\left( -\\frac{\\hbar}{2} \\right) = \\frac{\\hbar}{3}, 65(2ℏ)+61(−2ℏ)=3ℏ, 这也可以由更直接的方法得到： ⟨ S x ⟩ = χ † S x χ = ( ( 1 − i ) 6 2 6 ) ( 0 ℏ / 2 ℏ / 2 0 ) ( ( 1 + i ) / 6 2 / 6 ) = ℏ 3 . \\langle S_x \\rangle = \\chi\^\\dagger \\mathbf{S}_x \\chi = \\begin{pmatrix} \\frac{(1-i)}{\\sqrt{6}} \& \\frac{2}{\\sqrt{6}} \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 0 \& \\hbar/2 \\\\ \\hbar/2 \& 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} (1+i)/\\sqrt{6} \\\\ 2/\\sqrt{6} \\end{pmatrix} = \\frac{\\hbar}{3}. ⟨Sx⟩=χ†Sxχ=(6 (1−i)6 2)(0ℏ/2ℏ/20)((1+i)/6 2/6 )=3ℏ. #### 格书 习题4.30 构造一个表示自旋角动量沿一个任意方向 r \^ \\hat{r} r\^ 的矩阵 S r \\mathbf{S}_r Sr。使用球坐标，有 r \^ = sin θ cos ϕ i \^ + sin θ sin ϕ j \^ + cos θ k \^ . \\hat{r} = \\sin \\theta \\cos \\phi \\hat{i} + \\sin \\theta \\sin \\phi \\hat{j} + \\cos \\theta \\hat{k}. r\^=sinθcosϕi\^+sinθsinϕj\^+cosθk\^. 求出 S r \\mathbf{S}_r Sr 的本征值和（归一化的）本征旋量。答案： χ + r = ( cos ( θ / 2 ) e i ϕ sin ( θ / 2 ) ) ; χ − r = ( e i ϕ sin ( θ / 2 ) − cos ( θ / 2 ) ) . \\chi\^r_+ = \\begin{pmatrix} \\cos(\\theta/2) \\\\ e\^{i\\phi} \\sin(\\theta/2) \\end{pmatrix}; \\quad \\chi\^r_- = \\begin{pmatrix} e\^{i\\phi} \\sin(\\theta/2) \\\\ -\\cos(\\theta/2) \\end{pmatrix}. χ+r=(cos(θ/2)eiϕsin(θ/2));χ−r=(eiϕsin(θ/2)−cos(θ/2)). ## 2 角动量耦合 粒子（可能）存在轨道角动量与自旋角动量，若一个体系中有多个粒子，则它们分别有自己的两种角动量（譬如氢原子）。这些若干个角动量的代数性质以及实验表现是相当一致的，所以我们可以将它们叠加成一个"总自旋角动量"，方便讨论。 ### 2.1 双电子耦合 现有两个 s = 1 / 2 s=1/2 s=1/2 的粒子，仅考虑它们的自旋，共有四种态： ↑ ↑ , ↑ ↓ , ↓ ↑ , ↓ ↓ \\uparrow\\uparrow, \\quad \\uparrow\\downarrow, \\quad \\downarrow\\uparrow, \\quad \\downarrow\\downarrow ↑↑,↑↓,↓↑,↓↓ 其**总自旋角动量** 定义为 S ≡ S ( 1 ) + S ( 2 ) \\boldsymbol{S} \\equiv \\boldsymbol{S}\^{(1)} + \\boldsymbol{S}\^{(2)} S≡S(1)+S(2). 同理**总自旋角动量 z z z 分量** 应为 S z = S z ( 1 ) + S z ( 2 ) S_z = S_z\^{(1)} + S_z\^{(2)} Sz=Sz(1)+Sz(2) 所以 S z χ 1 χ 2 = ( S z ( 1 ) + S z ( 2 ) ) χ 1 χ 2 = ( S z ( 1 ) χ 1 ) χ 2 + χ 1 ( S z ( 2 ) χ 2 ) = ( ℏ m 1 χ 1 ) χ 2 + χ 1 ( ℏ m 2 χ 2 ) = ℏ ( m 1 + m 2 ) χ 1 χ 2 , \\begin{aligned} S_z \\chi_1 \\chi_2 \&= ( S_z\^{(1)} + S_z\^{(2)} ) \\chi_1 \\chi_2 = ( S_z\^{(1)} \\chi_1 ) \\chi_2 + \\chi_1 ( S_z\^{(2)} \\chi_2 ) \\\\ \&= ( \\hbar m_1 \\chi_1 ) \\chi_2 + \\chi_1 ( \\hbar m_2 \\chi_2 ) = \\hbar ( m_1 + m_2 ) \\chi_1 \\chi_2 , \\end{aligned} Szχ1χ2=(Sz(1)+Sz(2))χ1χ2=(Sz(1)χ1)χ2+χ1(Sz(2)χ2)=(ℏm1χ1)χ2+χ1(ℏm2χ2)=ℏ(m1+m2)χ1χ2, 其中， S z ( 1 ) S_z\^{(1)} Sz(1)和 S z ( 1 ) S_z\^{(1)} Sz(1) 只能各自作用在 χ 1 \\chi_1 χ1和 χ 2 \\chi_2 χ2上。 则 m = m 1 + m 2 m=m_1+m_2 m=m1+m2 为 ↑ ↑ : m = 1 ; ↓ ↑ : m = 0 ; ↑ ↓ : m = 0 ; ↓ ↓ : m = − 1 ; \\begin{aligned} \\uparrow \\uparrow : m \&= 1 ; \& \\quad \\downarrow \\uparrow : m \&= 0 ; \\\\ \\uparrow \\downarrow : m \&= 0 ; \& \\quad \\downarrow \\downarrow : m \&= -1 ; \\end{aligned} ↑↑:m↑↓:m=1;=0;↓↑:m↓↓:m=0;=−1; m m m 的取值是 − 1 , 0 , 1 -1, 0, 1 −1,0,1，这说明**总自旋角动量量子数** s s s 的取值可能是 0 , 1 0, 1 0,1。验证这一点： 用降阶算符 S − = S − ( 1 ) + S − ( 2 ) S_- = S_-\^{(1)} + S_-\^{(2)} S−=S−(1)+S−(2)，作用在 m = 1 m=1 m=1 的态 ↑ ↑ \\uparrow\\uparrow ↑↑ 上： S − ( ↑ ↑ ) = ( S − ( 1 ) ↑ ) ↑ + ↑ ( S − ( 2 ) ↑ ) = ( ℏ ↓ ) ↑ + ↑ ( ℏ ↓ ) = ℏ ( ↓ ↑ + ↑ ↓ ) . \\begin{aligned} S_- (\\uparrow\\uparrow) \&= (S_-\^{(1)} \\uparrow) \\uparrow + \\uparrow (S_-\^{(2)} \\uparrow) \\\\ \&= (\\hbar \\downarrow) \\uparrow + \\uparrow (\\hbar \\downarrow) = \\hbar (\\downarrow\\uparrow + \\uparrow\\downarrow) . \\end{aligned} S−(↑↑)=(S−(1)↑)↑+↑(S−(2)↑)=(ℏ↓)↑+↑(ℏ↓)=ℏ(↓↑+↑↓). 态 ↑ = ∣ s , m ⟩ = ∣ 1 2 , 1 2 ⟩ \\uparrow=\|s,m\\rangle=\|\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\rangle ↑=∣s,m⟩=∣21,21⟩ 根据升降算符公式 S ± ∣ s , m ⟩ = ℏ s ( s + 1 ) − m ( m ± 1 ) ∣ s , m ± 1 ⟩ , S_\\pm \|s,m\\rangle = \\hbar\\sqrt{s(s+1)-m(m\\pm 1)}\|s,m\\pm 1\\rangle, S±∣s,m⟩=ℏs(s+1)−m(m±1) ∣s,m±1⟩, 可以计算出 S − ( 1 ) ↑ = ℏ 1 2 ( 1 2 + 1 ) − 1 2 ( 1 2 − 1 ) ∣ 1 2 , 1 2 − 1 ⟩ = ℏ ∣ 1 2 , − 1 2 ⟩ = ℏ ↓ S_-\^{(1)} \\uparrow=\\hbar\\sqrt{\\dfrac{1}{2}(\\dfrac{1}{2}+1)-\\dfrac{1}{2}(\\dfrac{1}{2}- 1)}\|\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}-1\\rangle=\\hbar\|\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\rangle=\\hbar \\downarrow S−(1)↑=ℏ21(21+1)−21(21−1) ∣21,21−1⟩=ℏ∣21,−21⟩=ℏ↓ 重复使用降阶算符，可以得到 { ∣ s , m ⟩ = ∣ 1 , 1 ⟩ = ↑ ↑ ∣ s , m ⟩ = ∣ 1 , 0 ⟩ = 1 2 ( ↑ ↓ + ↓ ↑ ) ∣ s , m ⟩ = ∣ 1 , − 1 ⟩ = ↓ ↓ } s = 1 ( 三重态 ) . \\left\\{ \\begin{aligned} \&\|s,m\\rangle=\|1,1\\rangle = \\uparrow\\uparrow \\\\ \&\|s,m\\rangle=\|1,0\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(\\uparrow\\downarrow + \\downarrow\\uparrow)\\\\ \&\|s,m\\rangle=\|1,-1\\rangle = \\downarrow\\downarrow \\end{aligned} \\right\\} \\quad s = 1 (\\text{三重态}). ⎩ ⎨ ⎧∣s,m⟩=∣1,1⟩=↑↑∣s,m⟩=∣1,0⟩=2 1(↑↓+↓↑)∣s,m⟩=∣1,−1⟩=↓↓⎭ ⎬ ⎫s=1(三重态). 态 ∣ s , m ⟩ = ∣ 1 , 0 ⟩ \|s,m\\rangle=\|1,0\\rangle ∣s,m⟩=∣1,0⟩中， ℏ \\hbar ℏ 系数归一化 ℏ 2 ℏ 2 + ℏ 2 = 1 2 \\sqrt{\\dfrac{\\hbar\^2}{\\hbar\^2+\\hbar\^2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} ℏ2+ℏ2ℏ2 =2 1。 还有另一种情况， s = 0 , m = 0 s=0,m=0 s=0,m=0： { ∣ 00 ⟩ = 1 2 ( ↑ ↓ − ↓ ↑ ) } s = 0 ( 单态 ) . \\left\\{ \|00\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\left( \\uparrow\\downarrow - \\downarrow\\uparrow \\right) \\right\\} \\quad s=0 \\ (\\text{单态}). {∣00⟩=2 1(↑↓−↓↑)}s=0 (单态). 使用升降阶算符作用结果都为0。 这些态也是 S \^ 总 2 \\hat{S}_总\^2 S\^总2 与 S \^ z 总 \\hat{S}_{z总} S\^z总 的共同本征态。接下来验证，作用在 ∣ 10 ⟩ \|10\\rangle ∣10⟩态上的本征值： S 2 = ( S ( 1 ) + S ( 2 ) ) ⋅ ( S ( 1 ) + S ( 2 ) ) = ( S ( 1 ) ) 2 + ( S ( 2 ) ) 2 + 2 S ( 1 ) ⋅ S ( 2 ) S ( 1 ) ⋅ S ( 2 ) ( ↑ ↓ ) = ( S x ( 1 ) ↑ ) ( S x ( 2 ) ↓ ) + ( S y ( 1 ) ↑ ) ( S y ( 2 ) ↓ ) + ( S z ( 1 ) ↑ ) ( S z ( 2 ) ↓ ) = ( ℏ 2 ↓ ) ( ℏ 2 ↑ ) + ( i ℏ 2 ↓ ) ( − i ℏ 2 ↑ ) + ( ℏ 2 ↑ ) ( − ℏ 2 ↓ ) = ℏ 2 4 ( 2 ↓ ↑ − ↑ ↓ ) . \\begin{aligned} \\boldsymbol{S}\^2 \&= \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)} + \\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right) \\cdot \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)} + \\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right) = \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)}\\right)\^2 + \\left(\\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right)\^2 + 2\\boldsymbol{S}\^{(1)} \\cdot \\boldsymbol{S}\^{(2)} \\\\ \\boldsymbol{S}\^{(1)} \\cdot \\boldsymbol{S}\^{(2)} (\\uparrow\\downarrow) \&= \\left(S_x\^{(1)} \\uparrow\\right)\\left(S_x\^{(2)} \\downarrow\\right) + \\left(S_y\^{(1)} \\uparrow\\right)\\left(S_y\^{(2)} \\downarrow\\right) + \\left(S_z\^{(1)} \\uparrow\\right)\\left(S_z\^{(2)} \\downarrow\\right) \\\\ \&= \\left(\\frac{\\hbar}{2} \\downarrow\\right)\\left(\\frac{\\hbar}{2} \\uparrow\\right) + \\left(\\frac{\\mathrm{i}\\hbar}{2} \\downarrow\\right)\\left(\\frac{-\\mathrm{i}\\hbar}{2} \\uparrow\\right) + \\left(\\frac{\\hbar}{2} \\uparrow\\right)\\left(\\frac{-\\hbar}{2} \\downarrow\\right) \\\\ \&= \\frac{\\hbar\^2}{4} (2 \\downarrow\\uparrow - \\uparrow\\downarrow). \\end{aligned} S2S(1)⋅S(2)(↑↓)=(S(1)+S(2))⋅(S(1)+S(2))=(S(1))2+(S(2))2+2S(1)⋅S(2)=(Sx(1)↑)(Sx(2)↓)+(Sy(1)↑)(Sy(2)↓)+(Sz(1)↑)(Sz(2)↓)=(2ℏ↓)(2ℏ↑)+(2iℏ↓)(2−iℏ↑)+(2ℏ↑)(2−ℏ↓)=4ℏ2(2↓↑−↑↓). 其中， S x ( 1 ) ↑ = ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) ( 1 0 ) = ℏ 2 ( 0 1 ) = ℏ 2 ∣ ↓ ⟩ S_x\^{(1)}\\uparrow=\\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \& 1 \\\\ 1 \& 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}= \\frac{\\hbar}{2} \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} =\\frac{\\hbar}{2} \|\\downarrow\\rangle Sx(1)↑=2ℏ(0110)(10)=2ℏ(01)=2ℏ∣↓⟩ 同理， S ( 1 ) ⋅ S ( 2 ) ( ↓ ↑ ) = ℏ 2 4 ( 2 ↑ ↓ − ↓ ↑ ) \\boldsymbol{S}\^{(1)} \\cdot \\boldsymbol{S}\^{(2)} (\\downarrow\\uparrow) = \\frac{\\hbar\^2}{4} (2 \\uparrow\\downarrow - \\downarrow\\uparrow) S(1)⋅S(2)(↓↑)=4ℏ2(2↑↓−↓↑) 这样有 S ( 1 ) ⋅ S ( 2 ) ∣ 10 ⟩ = ℏ 2 4 1 2 ( 2 ↓ ↑ − ↑ ↓ + 2 ↑ ↓ − ↓ ↑ ) = ℏ 2 4 ∣ 10 ⟩ , \\boldsymbol{S}\^{(1)} \\cdot \\boldsymbol{S}\^{(2)} \|10\\rangle = \\frac{\\hbar\^2}{4} \\frac{1}{\\sqrt{2}} (2 \\downarrow\\uparrow - \\uparrow\\downarrow + 2 \\uparrow\\downarrow - \\downarrow\\uparrow) = \\frac{\\hbar\^2}{4} \|10\\rangle, S(1)⋅S(2)∣10⟩=4ℏ22 1(2↓↑−↑↓+2↑↓−↓↑)=4ℏ2∣10⟩, S 2 = ( S ( 1 ) + S ( 2 ) ) ⋅ ( S ( 1 ) + S ( 2 ) ) = ( S ( 1 ) ) 2 + ( S ( 2 ) ) 2 + 2 S ( 1 ) ⋅ S ( 2 ) \\boldsymbol{S}\^2 = \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)} + \\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right) \\cdot \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)} + \\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right) = \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)}\\right)\^2 + \\left(\\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right)\^2 + 2\\boldsymbol{S}\^{(1)} \\cdot \\boldsymbol{S}\^{(2)} S2=(S(1)+S(2))⋅(S(1)+S(2))=(S(1))2+(S(2))2+2S(1)⋅S(2) ( S ( 1 ) ) 2 \\left(\\boldsymbol{S}\^{(1)}\\right)\^2 (S(1))2 只作用于粒子1， s 1 = 1 2 s_1=\\dfrac{1}{2} s1=21，对应的本征值为 s 1 ( s 1 + 1 ) ℏ 2 = 3 4 ℏ 2 s_1(s_1+1)\\hbar\^2 = \\frac{3}{4}\\hbar\^2 s1(s1+1)ℏ2=43ℏ2 ( S ( 2 ) ) 2 \\left(\\boldsymbol{S}\^{(2)}\\right)\^2 (S(2))2 只作用于粒子2， s 2 = 1 2 s_2=\\dfrac{1}{2} s2=21，对应的本征值为 s 2 ( s 2 + 1 ) ℏ 2 = 3 4 ℏ 2 s_2(s_2+1)\\hbar\^2 = \\frac{3}{4}\\hbar\^2 s2(s2+1)ℏ2=43ℏ2 那么 S 2 ∣ 10 ⟩ = 3 4 ℏ 2 ∣ 10 ⟩ + 3 4 ℏ 2 ∣ 10 ⟩ + 2 ℏ 2 4 ∣ 10 ⟩ = 2 ℏ 2 ∣ 10 ⟩ = s 总 ( s 总 + 1 ) ℏ 2 ∣ 10 ⟩ \\boldsymbol{S}\^2 \|10\\rangle=\\frac{3}{4}\\hbar\^2\|10\\rangle+\\frac{3}{4}\\hbar\^2\|10\\rangle+2\\frac{\\hbar\^2}{4} \|10\\rangle=2\\hbar\^2 \|10\\rangle=s_总(s_总+1)\\hbar\^2 \|10\\rangle S2∣10⟩=43ℏ2∣10⟩+43ℏ2∣10⟩+24ℏ2∣10⟩=2ℏ2∣10⟩=s总(s总+1)ℏ2∣10⟩ 关于以上结论的一些讨论： ∣ s 总 m 总 ⟩ = { ∣ 11 ⟩ ∣ 10 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 00 ⟩ 是 S 总 2 、 S z 总 的本征态 . \|s_总m_总\\rangle= \\begin{cases} \|11\\rangle \\\\ \|10\\rangle \\\\ \|1-1\\rangle \\\\ \|00\\rangle \\end{cases} \\quad \\text{是} \\ S_总\^2、S_{z总} \\ \\text{的本征态}. ∣s总m总⟩=⎩ ⎨ ⎧∣11⟩∣10⟩∣1−1⟩∣00⟩是 S总2、Sz总 的本征态. 对应的本征值为 s 总 ( s 总 + 1 ) ℏ 2 s_{总}(s_{总}+1)\\hbar\^2 s总(s总+1)ℏ2 和 m 总 ℏ = ( m 1 + m 2 ) ℏ m_{总}\\hbar = (m_1 + m_2)\\hbar m总ℏ=(m1+m2)ℏ * 我们若选取 S 总 \^ 2 \\hat{S_总}\^2 S总\^2 与 S \^ z 总 \\hat{S}_{z总} S\^z总的共同本征态 ∣ 11 ⟩ \|11\\rangle ∣11⟩、 ∣ 10 ⟩ \|10\\rangle ∣10⟩、 ∣ 1 − 1 ⟩ \|1\\ -1\\rangle ∣1 −1⟩、 ∣ 00 ⟩ \|00\\rangle ∣00⟩为基矢，则称为**耦合表象** * 我们若选取 S z 1 S_{z1} Sz1、 S z 2 S_{z2} Sz2的共同本征态 ↑ ↑ \\uparrow\\uparrow ↑↑、 ↑ ↓ \\uparrow\\downarrow ↑↓、 ↓ ↑ \\downarrow\\uparrow ↓↑、 ↓ ↓ \\downarrow\\downarrow ↓↓为基矢，则称为**非耦合表象** ### 2.2 更复杂的情况------角动量耦合的一般规律 1. 角动量耦合不区分轨道/自旋角动量，它们的代数行为和实验表现是一致的； 2. 两个角动量耦合（同样不区分）的规则： * 总角动量量子数 j j j 的取值范围：从两个角动量量子数之和逐次减1，直到二者之差； * j z j_z jz 总角动量z分量的量子数 m m m ，与普通角动量取值相同， m 总 = m 1 + m 2 m_总=m_1+m_2 m总=m1+m2 3. 多个角动量耦合时，先选择两个进行耦合，再将耦合得到的新角动量与第三者耦合------以此类推 4. 根据耦合顺序的不同，分为 l l l- s s s耦合和 j j j- j j j耦合。 * l l l- s s s耦合是先将所有电子的轨道角动量叠加成总轨道角动量，再将所有电子的自旋角动量叠加成总自旋角动量，最后两者耦合； * j j j- j j j耦合是先让对每个电子自己的轨道和自旋耦合，再将所有的电子角动量进行耦合。 ## 参考资料 1. [【兰兰的不自量力】量子力学考研教学视频17：自旋、角动量耦合](https://www.bilibili.com/video/BV1XC4y1t765) 2. 《量子力学概论》格里菲斯