量子力学 20 海森堡绘景运动方程
- 前言
- [1. 绘景定义的转换](#1. 绘景定义的转换)
- [2. 对时间 t t t 求导](#2. 对时间 t t t 求导)
- [3. 利用演化算符的性质](#3. 利用演化算符的性质)
- [4. 整理得到海森堡方程](#4. 整理得到海森堡方程)
前言
量子力学中有两种常用绘景：薛定谔绘景（态矢随时间演化，算符不演化）和海森堡绘景（算符随时间演化，态矢不演化），两者的物理结果（平均值）等价。
海森堡方程（Heisenberg Equation）的推导核心在于绘景的转换。其本质是将原本属于"态矢量"的时间演化，通过算符变换转移到了"算符"本身。本文讲述了海森堡方程的详细推导步骤。
1. 绘景定义的转换
- 在薛定谔绘景 （角标 S S S）中，期望值随时间变化是因为"态"在动：
⟨ O ^ ⟩ ( t ) = ⟨ ψ S ( t ) ∣ O ^ S ∣ ψ S ( t ) ⟩ \langle \hat{O} \rangle (t) = \langle \psi_S(t) | \hat{O}_S | \psi_S(t) \rangle ⟨O^⟩(t)=⟨ψS(t)∣O^S∣ψS(t)⟩ - 在海森堡绘景 （角标 H H H）中，我们希望"态"固定在初始时刻 ∣ ψ H ⟩ = ∣ ψ S ( 0 ) ⟩ |\psi_H\rangle = |\psi_S(0)\rangle ∣ψH⟩=∣ψS(0)⟩，而让"算符" O ^ H ( t ) \hat{O}_H(t) O^H(t) 去承担随时间变化的责任：
⟨ O ^ ⟩ ( t ) = ⟨ ψ H ∣ O ^ H ( t ) ∣ ψ H ⟩ \langle \hat{O} \rangle (t) = \langle \psi_H | \hat{O}_H(t) | \psi_H \rangle ⟨O^⟩(t)=⟨ψH∣O^H(t)∣ψH⟩
为了让这两个绘景描述的物理现实完全一致，上面的两个等式必须相等。
我们知道在薛定谔绘景中，态矢量的演化规律是：
∣ ψ S ( t ) ⟩ = e − i H ^ t ℏ ∣ ψ S ( 0 ) ⟩ = U ^ ( t ) ∣ ψ ( 0 ) ⟩ |\psi_S(t)\rangle = e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hbar}} |\psi_S(0)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle ∣ψS(t)⟩=e−ℏiH^t∣ψS(0)⟩=U^(t)∣ψ(0)⟩
其中 U ^ ( t ) = e − i H ^ t ℏ \hat{U}(t) = e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hbar}} U^(t)=e−ℏiH^t 是时间演化算符。
对应地，左矢（共轭转置）的演化为：
⟨ ψ S ( t ) ∣ = ⟨ ψ S ( 0 ) ∣ U ^ † ( t ) \langle \psi_S(t) | = \langle \psi_S(0) | \hat{U}^\dagger(t) ⟨ψS(t)∣=⟨ψS(0)∣U^†(t)
现在，我们将这两个演化公式代入薛定谔绘景的期望值表达式中：
⟨ O ^ ⟩ ( t ) = ⟨ ψ S ( 0 ) ∣ U ^ † ( t ) ⏟ ⟨ ψ S ( t ) ∣ O ^ S U ^ ( t ) ∣ ψ S ( 0 ) ⟩ ⏟ ∣ ψ S ( t ) ⟩ \langle \hat{O} \rangle (t) = \underbrace{\langle \psi_S(0) | \hat{U}^\dagger(t)}_{\langle \psi_S(t) |} \hat{O}S \underbrace{\hat{U}(t) |\psi_S(0)\rangle}{|\psi_S(t)\rangle} ⟨O^⟩(t)=⟨ψS(t)∣ ⟨ψS(0)∣U^†(t)O^S∣ψS(t)⟩ U^(t)∣ψS(0)⟩
对比下面两个式子：
- 物理演化结果： ⟨ ψ S ( 0 ) ∣ [ U ^ † ( t ) O ^ S U ^ ( t ) ] ∣ ψ S ( 0 ) ⟩ \langle \psi_S(0) | \left[ \hat{U}^\dagger(t) \hat{O}_S \hat{U}(t) \right] | \psi_S(0) \rangle ⟨ψS(0)∣[U^†(t)O^SU^(t)]∣ψS(0)⟩
- 海森堡绘景定义： ⟨ ψ H ∣ O ^ H ( t ) ∣ ψ H ⟩ \langle \psi_H | \hat{O}_H(t) | \psi_H \rangle ⟨ψH∣O^H(t)∣ψH⟩
因为 ∣ ψ H ⟩ = ∣ ψ S ( 0 ) ⟩ |\psi_H\rangle = |\psi_S(0)\rangle ∣ψH⟩=∣ψS(0)⟩，为了让两式对任意态都成立，中间夹着的算符部分必须相等。于是我们得到了海森堡算符的定义式：
O ^ H ( t ) = U ^ † ( t ) O ^ S U ^ ( t ) \hat{O}_H(t) = \hat{U}^\dagger(t) \hat{O}_S \hat{U}(t) O^H(t)=U^†(t)O^SU^(t)
2. 对时间 t t t 求导
为了找到 O ^ H ( t ) \hat{O}_H(t) O^H(t) 的演化方程，我们对上式关于 t t t 求全导数（利用乘法法则）：
d O ^ H ( t ) d t = d U ^ † d t O ^ S U ^ + U ^ † ∂ O ^ S ∂ t U ^ + U ^ † O ^ S d U ^ d t \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \frac{d\hat{U}^\dagger}{dt} \hat{O}_S \hat{U} + \hat{U}^\dagger \frac{\partial \hat{O}_S}{\partial t} \hat{U} + \hat{U}^\dagger \hat{O}_S \frac{d\hat{U}}{dt} dtdO^H(t)=dtdU^†O^SU^+U^†∂t∂O^SU^+U^†O^SdtdU^
3. 利用演化算符的性质
已知 U ^ ( t ) = e − i H ^ t ℏ \hat{U}(t) = e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hbar}} U^(t)=e−ℏiH^t，其导数为：
- d U ^ d t = − i ℏ H ^ U ^ \frac{d\hat{U}}{dt} = -\frac{i}{\hbar}\hat{H} \hat{U} dtdU^=−ℏiH^U^
- d U ^ † d t = i ℏ H ^ U ^ † \frac{d\hat{U}^\dagger}{dt} = \frac{i}{\hbar}\hat{H} \hat{U}^\dagger dtdU^†=ℏiH^U^†（假设 H ^ \hat{H} H^ 为厄米算符且不显含时，若显含时则 H ^ \hat{H} H^ 与 U ^ \hat{U} U^ 对易）
将这两个导数代入第 2 步的方程：
d O ^ H ( t ) d t = ( i ℏ H ^ U ^ † ) O ^ S U ^ + U ^ † ∂ O ^ S ∂ t U ^ + U ^ † O ^ S ( − i ℏ H ^ U ^ ) \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \left( \frac{i}{\hbar}\hat{H} \hat{U}^\dagger \right) \hat{O}_S \hat{U} + \hat{U}^\dagger \frac{\partial \hat{O}_S}{\partial t} \hat{U} + \hat{U}^\dagger \hat{O}_S \left( -\frac{i}{\hbar}\hat{H} \hat{U} \right) dtdO^H(t)=(ℏiH^U^†)O^SU^+U^†∂t∂O^SU^+U^†O^S(−ℏiH^U^)
4. 整理得到海森堡方程
利用 H ^ \hat{H} H^ 与 U ^ \hat{U} U^ 对易的性质（ [ H ^ , U ^ ] = 0 [\hat{H}, \hat{U}] = 0 [H^,U^]=0），可以写成：
d O ^ H ( t ) d t = i ℏ ( H ^ U ^ † O ^ S U ^ − U ^ † O ^ S U ^ H ^ ) + U ^ † ∂ O ^ S ∂ t U ^ \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar} \left( \hat{H} \hat{U}^\dagger \hat{O}_S \hat{U} - \hat{U}^\dagger \hat{O}_S \hat{U} \hat{H} \right) + \hat{U}^\dagger \frac{\partial \hat{O}_S}{\partial t} \hat{U} dtdO^H(t)=ℏi(H^U^†O^SU^−U^†O^SU^H^)+U^†∂t∂O^SU^
由于 U ^ † O ^ S U ^ = O ^ H ( t ) \hat{U}^\dagger \hat{O}_S \hat{U} = \hat{O}_H(t) U^†O^SU^=O^H(t)，代入后得到：
d O ^ H ( t ) d t = i ℏ ( H ^ O ^ H ( t ) − O ^ H ( t ) H ^ ) + ( ∂ O ^ ∂ t ) H \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar} \left( \hat{H} \hat{O}_H(t) - \hat{O}_H(t) \hat{H} \right) + \left( \frac{\partial \hat{O}}{\partial t} \right)_H dtdO^H(t)=ℏi(H^O^H(t)−O^H(t)H^)+(∂t∂O^)H
利用对易子定义 [ O ^ , H ^ ] = O ^ H ^ − H ^ O ^ [\hat{O}, \hat{H}] = \hat{O}\hat{H} - \hat{H}\hat{O} [O^,H^]=O^H^−H^O^，上式即为：
d O ^ H ( t ) d t = 1 i ℏ [ O ^ H ( t ) , H ^ ] + ∂ O ^ H ∂ t \frac{d\hat{O}_H(t)}{dt} = \frac{1}{i\hbar} [ \hat{O}_H(t), \hat{H} ] + \frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t} dtdO^H(t)=iℏ1[O^H(t),H^]+∂t∂O^H
假设算符本身不含显时间依赖（ ∂ O ^ H ∂ t = 0 \frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t}=0 ∂t∂O^H=0），因此简化公式得到标准形式的海森堡运动方程 ：
d O ^ d t = 1 i ℏ [ O ^ , H ^ ] \frac{d\hat{O}}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[\hat{O}, \hat{H}] dtdO^=iℏ1[O^,H^]
这就完成了从薛定谔方程到海森堡方程的推导。
为什么这个方程很重要？因为它直接将量子力学与经典力学的哈密顿运动方程联系了起来。只需将对易子替换为泊松括号，两者的形式完全一致。