量子力学 15 氢原子与角动量

[1 二体问题](#1 二体问题)
[2 氢原子的定态解](#2 氢原子的定态解)
[3 角动量](#3 角动量)
参考资料

1 二体问题

对于一个单粒子而言, Ψ ( r , t ) \Psi(\mathbf{r},\ t) Ψ(r, t) 是空间坐标 r \mathbf{r} r 和时间 t t t 的函数（我们暂时忽略自旋）。而有两个粒子的体系的状态则是粒子 1 的坐标（ r 1 \mathbf{r}_1 r1）、粒子 2 的坐标（ r 2 \mathbf{r}_2 r2）和时间的函数：
ψ ( r 1 , r 2 , t ) . \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t). ψ(r1,r2,t).

它随时间的演化由薛定谔方程决定：
i ℏ ∂ ψ ∂ t = H ψ , i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi, iℏ∂t∂ψ=Hψ,

其势能是库伦势：
V ( r ) = − e 2 4 π ε 0 1 ∣ r 1 − r 2 ∣ V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|} V(r)=−4πε0e2∣r1−r2∣1

其中 H 是整个体系的哈密顿：
H = − ℏ 2 2 m 1 ∇ 1 2 − ℏ 2 2 m 2 ∇ 2 2 + V ( r 1 , r 2 , t ) H = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2 + V(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) H=−2m1ℏ2∇12−2m2ℏ2∇22+V(r1,r2,t)

（ ∇ \nabla ∇ 的下标 1 或 2 表示微分仅对粒子 1 或粒子 2 的坐标作用）。此时的统计诠释很明确：
∣ ψ ( r 1 , r 2 , t ) ∣ 2 d 3 r 1 d 3 r 2 |\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t)|^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 ∣ψ(r1,r2,t)∣2d3r1d3r2

是在体积元 d 3 r 1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 d3r1 中发现粒子 1 并在体积元 d 3 r 2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 d3r2 中发现粒子 2 的几率；当然， Ψ \Psi Ψ 必须是归一化的：
∫ ∣ ψ ( r 1 , r 2 , t ) ∣ 2 d 3 r 1 d 3 r 2 = 1 \int |\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t)|^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 = 1 ∫∣ψ(r1,r2,t)∣2d3r1d3r2=1

对于势能不显含时间的情况，我们通过分离变量得到一套完备的解：
ψ ( r 1 , r 2 , t ) = ψ ( r 1 , r 2 ) e − i E t / ℏ , \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) e^{-iEt/\hbar}, ψ(r1,r2,t)=ψ(r1,r2)e−iEt/ℏ,

这里，空间波函数 Ψ \Psi Ψ 满足定态薛定谔方程：
− ℏ 2 2 m 1 ∇ 1 2 ψ − ℏ 2 2 m 2 ∇ 2 2 ψ + V ψ = E ψ , -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2 \psi + V\psi = E\psi, −2m1ℏ2∇12ψ−2m2ℏ2∇22ψ+Vψ=Eψ,

其中，E 为系统总能量。

对于类似库伦势这样的二体相互作用势，我们常用质心坐标处理：

设相对位矢 r = r 1 − r 2 \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 r=r1−r2，质心坐标： R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 \boldsymbol{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} R=m1+m2m1r1+m2r2，并称 μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} μ=m1+m2m1m2 为约化质量。

可证明二体体系的定态薛定谔方程可以写作：
− ℏ 2 2 ( m 1 + m 2 ) ∇ R 2 ψ − ℏ 2 2 μ ∇ r 2 ψ + V ( r ) ψ = E ψ -\frac{\hbar^2}{2(m_1 + m_2)} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r})\psi = E\psi −2(m1+m2)ℏ2∇R2ψ−2μℏ2∇r2ψ+V(r)ψ=Eψ

(格里菲斯书习题 5.1)

以上的形式可以通过分离变量法求解，使其化为两个方程：
− ℏ 2 2 M ∇ R 2 ψ R ( R ) = E R ψ R ( R ) 和 ( − ℏ 2 2 μ ∇ r 2 + V ( r ) ) ψ r ( r ) = E r ψ r ( r ) -\frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 \psi_R(\boldsymbol{R}) = E_R \psi_R(\boldsymbol{R}) \quad \text{和} \quad \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 + V(\boldsymbol{r}) \right) \psi_r(\boldsymbol{r}) = E_r \psi_r(\boldsymbol{r}) −2Mℏ2∇R2ψR(R)=ERψR(R)和(−2μℏ2∇r2+V(r))ψr(r)=Erψr(r)

方程1表示质心的自由运动，不必考虑；方程2表示二体体系的内部结构，是我们的研究对象。

2 氢原子的定态解

我们考虑氢原子，电子质量 m e m_e me远远小于质子质量 m p m_p mp，那么 μ = m e m p m e + m p ≈ m e \mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}≈m_e μ=me+mpmemp≈me,氢原子的定态薛定谔方程为
( − ℏ 2 2 m e ∇ r 2 + V ( r ) ) ψ r ( r ) = E r ψ r ( r ) \left( -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla_r^2 + V(\boldsymbol{r}) \right) \psi_r(\boldsymbol{r}) = E_r \psi_r(\boldsymbol{r}) (−2meℏ2∇r2+V(r))ψr(r)=Erψr(r)

对于这种中心力场，我们知道其定态波函数可以分离变量为球谐函数与径向函数的乘积。而中心力场（球对称势），球谐函数都是一样的（上节课结论），所以只考虑径向波函数（因为要取决于 V ( r ) V(r) V(r)的具体形式）。

径向方程
− ℏ 2 2 m d 2 u d r 2 + [ − e 2 4 π ε 0 1 r + ℏ 2 2 m l ( l + 1 ) r 2 ] u = u E . -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r} + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\right]u = uE. −2mℏ2dr2d2u+[−4πε0e2r1+2mℏ2r2l(l+1)]u=uE.

求解过程类似于谐振子的解析解法------考察渐进行为、寻找多项式、根据归一化条件对多项式进行截断------得到一个最高次的多项式指标 n n n（主量子数）。

求解出玻尔公式（氢原子能级公式）：
E n = − [ m 2 ℏ 2 ( e 2 4 π ε 0 ) 2 ] 1 n 2 = E 1 n 2 , n = 1 , 2 , 3 , ... E_n = -\left[\frac{m}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\right]\frac{1}{n^2} = \frac{E_1}{n^2}, \quad n=1,2,3,\dots En=−[2ℏ2m(4πε0e2)2]n21=n2E1,n=1,2,3,...

n n n 代表电子所属的电子层（能级）。

n = 1 n = 1 n=1：称为基态（Ground State）。这是氢原子的最低能量状态，对应公式中的 E 1 E_1 E1（约等于 − 13.6 eV -13.6 \text{ eV} −13.6 eV）。
n = 2 , 3 , 4 , . . . n = 2, 3, 4, ... n=2,3,4,...：称为激发态（Excited States）。

你可以把氢原子想象成一栋只有一个房客（电子）的摩天大楼。这栋楼有很多层（ n = 1 , 2 , 3... n=1, 2, 3... n=1,2,3...），每层都有房间。虽然房客只有一个，但他可以住在一楼（基态），也可以搬到二楼、三楼（激发态）。电子层并不是真实存在的实体轨道，而是电子可能出现的能量状态和空间区域。

能量的"跳跃"（跃迁）

虽然氢原子平时倾向于呆在能量最低、最稳定的第一层（ n = 1 n=1 n=1），但如果外界给了它能量（比如光照、加热或电流撞击），这个电子就会"跳"到高层去。

吸收能量：电子从 n = 1 n=1 n=1 跳到 n = 2 , 3... n=2, 3... n=2,3...（就像人往楼上爬）。
释放能量：电子在高层呆不稳，会掉回低层，并把多余的能量以光子的形式射出来。这就是为什么我们能看到氢原子的光谱。

氢原子的束缚定态波函数 ψ n l m = R n l ( r ) Y l m ( θ , φ ) \psi_{nlm} = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)，每一个定态我们常称为氢原子轨道。

ψ n l m \psi_{nlm} ψnlm 取决于 n n n---主量子数， l l l---角量子数， m m m---磁量子数。

n = 1 , 2 , ... n = 1,2,\dots n=1,2,...
l = 0 , 1 , ... , n − 1 l = 0,1,\dots,n-1 l=0,1,...,n−1
m = − l , − l + 1 , − l + 2 , ... , 0 , ... , + l − 1 , + l m = -l, -l+1, -l+2, \dots, 0, \dots, +l-1, +l m=−l,−l+1,−l+2,...,0,...,+l−1,+l

对（类）氢原子来说，能量 E n E_n En 只取决于主量子数 n n n。所以氢原子能量是 n 2 n^2 n2 度简并的。

示例： E 3 E_3 E3 对应的波函数有 ψ 300 \psi_{300} ψ300、 ψ 31 − 1 \psi_{31-1} ψ31−1、 ψ 310 \psi_{310} ψ310、 ψ 311 \psi_{311} ψ311、 ψ 32 − 2 \psi_{32-2} ψ32−2、 ψ 32 − 1 \psi_{32-1} ψ32−1、 ψ 320 \psi_{320} ψ320、 ψ 321 \psi_{321} ψ321、 ψ 322 \psi_{322} ψ322。

等差数列求和
1 + 3 + 5 + ⋯ + （ 2 n − 1 ） = n 2 1+3+5+\cdots+（2n-1）=n^2 1+3+5+⋯+（2n−1）=n2

正交归一性：
∫ 0 ∞ ∣ R ∣ 2 r 2 d r = 1 \int_0^\infty |R|^2 r^2 dr = 1 ∫0∞∣R∣2r2dr=1

和
∫ 0 2 π ∫ 0 π ∣ Y ∣ 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ = 1. \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |Y|^2 \sin\theta d\theta d\phi = 1. ∫02π∫0π∣Y∣2sinθdθdϕ=1.

以及
∫ Ψ n l m ∗ Ψ n ′ l ′ m ′ r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . \int \Psi_{nlm}^* \Psi_{n'l'm'} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi = \delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'}. ∫Ψnlm∗Ψn′l′m′r2sinθdrdθdϕ=δnn′δll′δmm′.

狄拉克符号形式：
⟨ Ψ n l m ∣ Ψ n ′ l ′ m ′ ⟩ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . \langle \Psi_{nlm} | \Psi_{n'l'm'} \rangle = \delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'}. ⟨Ψnlm∣Ψn′l′m′⟩=δnn′δll′δmm′.

3 角动量

经典力学中角动量 L = r × p \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} L=r×p,其三个分量为：
L x = y p z − z p y , L y = z p x − x p z , L z = x p y − y p x . L_x = y p_z - z p_y, \quad L_y = z p_x - x p_z, \quad L_z = x p_y - y p_x. Lx=ypz−zpy,Ly=zpx−xpz,Lz=xpy−ypx.

其行列式表达：
∣ L x L y L z x y z p x p y p z ∣ \begin{vmatrix} L_x & L_y & L_z \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} LxxpxLyypyLzzpz

即各个分量的代数余子式。

对应到量子力学中就是将 p \boldsymbol{p} p 代换成相应的算符:
L ^ x = y p ^ z − z p ^ y = y ( − i ℏ ∂ ∂ z ) + z ( i ℏ ∂ ∂ y ) \hat{L}_x = y \hat{p}_z - z \hat{p}_y = y\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right) + z\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right) L^x=yp^z−zp^y=y(−iℏ∂z∂)+z(iℏ∂y∂)

角动量三分量算符的对易关系：

L \^ x , L \^ y \] = \[ y p \^ z − z p \^ y , z p \^ x − x p \^ z \] = \[ y p \^ z , z p \^ x \] − \[ y p \^ z , x p \^ z \] − \[ z p \^ y , z p \^ x \] + \[ z p \^ y , x p \^ z \] = y \[ p \^ z , z p \^ x \] + \[ y , z p \^ x \] p \^ z − 0 − 0 + z \[ p \^ y , x p \^ z \] + \[ z , x p \^ z \] p \^ y = y ( − i ℏ ) p \^ x + 0 + 0 + x ( i ℏ ) p \^ y = i ℏ ( x p \^ y − y p \^ x ) = i ℏ L \^ z \\begin{aligned} \[\\hat{L}_x, \\hat{L}_y\] \&= \[y\\hat{p}_z - z\\hat{p}_y,\\ z\\hat{p}_x - x\\hat{p}_z\] \\\\ \&= \[y\\hat{p}_z, z\\hat{p}_x\] - \[y\\hat{p}_z, x\\hat{p}_z\] - \[z\\hat{p}_y, z\\hat{p}_x\] + \[z\\hat{p}_y, x\\hat{p}_z\] \\\\ \&= y\[\\hat{p}_z, z\\hat{p}_x\] + \[y, z\\hat{p}_x\]\\hat{p}_z - 0 - 0 + z\[\\hat{p}_y, x\\hat{p}_z\] + \[z, x\\hat{p}_z\]\\hat{p}_y \\\\ \&= y(-i\\hbar)\\hat{p}_x + 0 + 0 + x(i\\hbar)\\hat{p}_y \\\\ \&= i\\hbar(x\\hat{p}_y - y\\hat{p}_x) = i\\hbar \\hat{L}_z \\end{aligned} \[L\^x,L\^y\]=\[yp\^z−zp\^y, zp\^x−xp\^z\]=\[yp\^z,zp\^x\]−\[yp\^z,xp\^z\]−\[zp\^y,zp\^x\]+\[zp\^y,xp\^z\]=y\[p\^z,zp\^x\]+\[y,zp\^x\]p\^z−0−0+z\[p\^y,xp\^z\]+\[z,xp\^z\]p\^y=y(−iℏ)p\^x+0+0+x(iℏ)p\^y=iℏ(xp\^y−yp\^x)=iℏL\^z 有 \[ L x , L y \] = i ℏ L z ; \[ L y , L z \] = i ℏ L x ; \[ L z , L x \] = i ℏ L y . \[L_x, L_y\] = i\\hbar L_z; \\quad \[L_y, L_z\] = i\\hbar L_x; \\quad \[L_z, L_x\] = i\\hbar L_y. \[Lx,Ly\]=iℏLz;\[Ly,Lz\]=iℏLx;\[Lz,Lx\]=iℏLy. 因为角动量三分量互不对易，所以它们并没有共同本征函数。 但 L \^ 2 = L \^ x 2 + L \^ y 2 + L \^ z 2 \\hat{L}\^2 = \\hat{L}_x\^2 + \\hat{L}_y\^2 + \\hat{L}_z\^2 L\^2=L\^x2+L\^y2+L\^z2，与各分量是对易的，比如： \[ L 2 , L x \] = \[ L x 2 , L x \] + \[ L y 2 , L x \] + \[ L z 2 , L x \] = L y \[ L y , L x \] + \[ L y , L x \] L y + L z \[ L z , L x \] + \[ L z , L x \] L z = L y ( − i ℏ L z ) + ( − i ℏ L z ) L y + L z ( i ℏ L y ) + ( i ℏ L y ) L z = 0 \\begin{aligned} \[L\^2, L_x\] \&= \[L_x\^2, L_x\] + \[L_y\^2, L_x\] + \[L_z\^2, L_x\] \\\\ \&= L_y\[L_y, L_x\] + \[L_y, L_x\]L_y + L_z\[L_z, L_x\] + \[L_z, L_x\]L_z \\\\ \&= L_y(-i\\hbar L_z) + (-i\\hbar L_z)L_y + L_z(i\\hbar L_y) + (i\\hbar L_y)L_z \\\\ \&= 0 \\end{aligned} \[L2,Lx\]=\[Lx2,Lx\]+\[Ly2,Lx\]+\[Lz2,Lx\]=Ly\[Ly,Lx\]+\[Ly,Lx\]Ly+Lz\[Lz,Lx\]+\[Lz,Lx\]Lz=Ly(−iℏLz)+(−iℏLz)Ly+Lz(iℏLy)+(iℏLy)Lz=0 同样， L 2 L\^2 L2 也同 L y L_y Ly 和 L z L_z Lz 对易： \[ L 2 , L x \] = 0 , \[ L 2 , L y \] = 0 , \[ L 2 , L z \] = 0 \[L\^2, L_x\] = 0, \\quad \[L\^2, L_y\] = 0, \\quad \[L\^2, L_z\] = 0 \[L2,Lx\]=0,\[L2,Ly\]=0,\[L2,Lz\]=0 所以我们可以找到 L \^ 2 \\hat{L}\^2 L\^2 与 L \^ z \\hat{L}_z L\^z 的共同本征态： L \^ 2 f = λ f , L \^ z f = μ f \\hat{L}\^2 f = \\lambda f, \\quad \\hat{L}_z f = \\mu f L\^2f=λf,L\^zf=μf 我们将用前面章节应用于谐振子问题非常相似的 "梯子算符" 方法。令 L ± ≡ L x ± i L y . L_{\\pm} \\equiv L_x \\pm iL_y. L±≡Lx±iLy. L ± L_{\\pm} L± 与 L z L_z Lz 的对易关系为 \[ L z , L ± \] = \[ L z , L x \] ± i \[ L z , L y \] = i ℏ L y ± i ( − i ℏ L x ) = ± ℏ ( L x ± i L y ) , \[L_z, L_{\\pm}\] = \[L_z, L_x\] \\pm i\[L_z, L_y\] = i\\hbar L_y \\pm i(-i\\hbar L_x) = \\pm\\hbar(L_x \\pm iL_y), \[Lz,L±\]=\[Lz,Lx\]±i\[Lz,Ly\]=iℏLy±i(−iℏLx)=±ℏ(Lx±iLy), 所以 \[ L z , L ± \] = ± ℏ L ± \[L_z, L_{\\pm}\] = \\pm\\hbar L_{\\pm} \[Lz,L±\]=±ℏL± 当然，也有 \[ L 2 , L ± \] = 0 \[L\^2, L_{\\pm}\] = 0 \[L2,L±\]=0 *** ** * ** *** **证明：如果 f f f 是 L 2 L\^2 L2 和 L z L_z Lz 的本征函数，那么 L ± f L_{\\pm}f L±f 也是。** 由于 L 2 L\^2 L2和 L ± L_{\\pm} L±是对易的，所以可以交换顺序： L 2 ( L ± f ) = L ± ( L 2 f ) = L ± ( λ f ) = λ ( L ± f ) , L\^2(L_{\\pm}f) = L_{\\pm}(L\^2 f) = L_{\\pm}(\\lambda f) = \\lambda(L_{\\pm}f), L2(L±f)=L±(L2f)=L±(λf)=λ(L±f), 所以 L ± f L_{\\pm}f L±f 是 L 2 L\^2 L2 相同的本征值 λ \\lambda λ 的一个本征函数。 *** ** * ** *** **证明： L ± f L_{\\pm}f L±f是不是 L z L_z Lz的本征函数。** L z ( L ± f ) = ( L z L ± − L ± L z ) f + L ± L z f = \[ L z , L ± \] f + L ± L z f = ± ℏ L ± f + L ± ( μ f ) = ( μ ± ℏ ) ( L ± f ) \\begin{aligned} L_z(L_{\\pm}f) \&= (L_z L_{\\pm} - L_{\\pm} L_z)f + L_{\\pm} L_z f \\\\ \&=\[L_z,L_{\\pm}\]f + L_{\\pm} L_z f \\\\ \&= \\pm\\hbar L_{\\pm} f + L_{\\pm}(\\mu f)\\\\ \&= (\\mu \\pm \\hbar)(L_{\\pm}f) \\end{aligned} Lz(L±f)=(LzL±−L±Lz)f+L±Lzf=\[Lz,L±\]f+L±Lzf=±ℏL±f+L±(μf)=(μ±ℏ)(L±f) 所以 L ± f L_{\\pm}f L±f 是 L z L_z Lz 的一个本征函数，但是本征值为 μ ± ℏ \\mu \\pm \\hbar μ±ℏ。我们称 L + L_+ L+ 为 "升阶" 算符，因为它使 L z L_z Lz 的本征值增加一个 ℏ \\hbar ℏ， L − L_- L− 为 "降阶" 算符，它使 L z L_z Lz 的本征值减少一个 ℏ \\hbar ℏ。 对于分量 z z z，我们得到了关于其本征值和本征函数的"梯子"： ![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/0aad26d2752c4964944937be4930856d.png) 升高的过程不能永远持续下去，因为这样会达到一个 z z z分量超过总量的态，而这是不可能的。一定存在一个最高的阶梯 f t f_t ft ，使得： L + f l = 0. L_+ f_l = 0. L+fl=0. 假设 ℏ l \\hbar l ℏl 是 L z L_z Lz 在这个最高阶梯的本征值： L z f t = ℏ l f t ; L 2 f t = λ f t . L_z f_t = \\hbar l f_t; \\quad L\^2 f_t = \\lambda f_t. Lzft=ℏlft;L2ft=λft. 因为 L ± L ∓ = ( L x ± i L y ) ( L x ∓ i L y ) = L x 2 + L y 2 ∓ i ( L x L y − L y L x ) = L 2 − L z 2 ∓ i ( i ℏ L z ) , \\begin{aligned} L_\\pm L_\\mp \&= (L_x \\pm i L_y)(L_x \\mp i L_y) = L_x\^2 + L_y\^2 \\mp i(L_x L_y - L_y L_x) \\\\ \&= L\^2 - L_z\^2 \\mp i(i\\hbar L_z), \\end{aligned} L±L∓=(Lx±iLy)(Lx∓iLy)=Lx2+Ly2∓i(LxLy−LyLx)=L2−Lz2∓i(iℏLz), 或者写作另一种形式， L 2 = L ± L ∓ + L z 2 ∓ ℏ L z L\^2 = L_\\pm L_\\mp + L_z\^2 \\mp \\hbar L_z L2=L±L∓+Lz2∓ℏLz 因此有 L 2 f t = ( L − L + + L z 2 + ℏ L z ) f t = ( 0 + ℏ 2 l 2 + ℏ 2 l ) f t = ℏ 2 l ( l + 1 ) f t = λ f t \\begin{aligned} L\^2 f_t \&= (L_- L_+ + L_z\^2 + \\hbar L_z) f_t \\\\ \&= (0 + \\hbar\^2 l\^2 + \\hbar\^2 l) f_t \\\\ \&= \\hbar\^2 l(l+1) f_t = \\lambda f_t \\end{aligned} L2ft=(L−L++Lz2+ℏLz)ft=(0+ℏ2l2+ℏ2l)ft=ℏ2l(l+1)ft=λft 得到，以 L z L_z Lz 的最大量子数 l l l 表示的 L 2 L\^2 L2 的本征值为： λ = ℏ 2 l ( l + 1 ) \\lambda = \\hbar\^2 l(l+1) λ=ℏ2l(l+1) 同时也存在一个最低的阶梯， f b f_b fb，使得 L − f b = 0. L_- f_b = 0. L−fb=0. 设在 f b f_b fb 态， L z L_z Lz 的本征值为 ℏ l ˉ \\hbar \\bar l ℏlˉ： L z f b = ℏ l ˉ f b ; L 2 f b = λ f b . L_z f_b = \\hbar \\bar l f_b; \\quad L\^2 f_b = \\lambda f_b. Lzfb=ℏlˉfb;L2fb=λfb. 我们有 L 2 f b = ( L + L − + L z 2 − ℏ L z ) f b = ( 0 + ℏ 2 l ˉ 2 − ℏ 2 l ˉ ) f b = ℏ 2 l ˉ ( l ˉ − 1 ) f b , \\begin{aligned} L\^2 f_b \&= (L_+ L_- + L_z\^2 - \\hbar L_z) f_b \\\\ \&= (0 + \\hbar\^2 \\bar l\^2 - \\hbar\^2 \\bar l) f_b \\\\ \&= \\hbar\^2 \\bar l(\\bar l - 1) f_b, \\end{aligned} L2fb=(L+L−+Lz2−ℏLz)fb=(0+ℏ2lˉ2−ℏ2lˉ)fb=ℏ2lˉ(lˉ−1)fb, 所以 λ = ℏ 2 l ˉ ( l ˉ − 1 ) 其中 l ˉ = − l \\lambda = \\hbar\^2 \\bar l(\\bar l - 1) \\quad \\text{其中} \\quad \\bar l=-l λ=ℏ2lˉ(lˉ−1)其中lˉ=−l L z L_z Lz 的本征值显然应是 m ℏ m\\hbar mℏ 的形式， m m m 必须是整数，有 2 l + 1 2l+1 2l+1 个值： − l , − l + 1 , ... , l − 1 , l -l,\\ -l+1,\\ \\dots,\\ l-1,\\ l −l, −l+1, ..., l−1, l。 l l l 必须是整数或半整数。 L 2 L\^2 L2 和 L z L_z Lz 的共同本征函数由数 l l l 和 m m m 表征： L 2 f l m = ℏ 2 l ( l + 1 ) f l m ; L z f l m = ℏ m f l m L\^2 f_l\^{m} = \\hbar\^2 l(l+1) f_l\^{m}; \\quad L_z f_l\^{m} = \\hbar m f_l\^{m} L2flm=ℏ2l(l+1)flm;Lzflm=ℏmflm 最后，事实上， L \^ 2 \\hat{L}\^2 L\^2 与 L \^ z \\hat{L}_z L\^z 的共同本征函数就是球谐函数 Y l m Y_{lm} Ylm： L \^ 2 Y l m = ℏ 2 l ( l + 1 ) Y l m , L \^ z Y l m = m ℏ Y l m \\hat{L}\^2 Y_{lm} = \\hbar\^2 l(l+1) Y_{lm}, \\quad \\hat{L}_z Y_{lm} = m\\hbar Y_{lm} L\^2Ylm=ℏ2l(l+1)Ylm,L\^zYlm=mℏYlm 还有： L \^ ± Y l m = ℏ l ( l + 1 ) − m ( m ± 1 ) Y l m ± 1 \\hat{L}_\\pm Y_{lm} = \\hbar \\sqrt{l(l+1) - m(m \\pm 1)} Y_{lm\\pm 1} L\^±Ylm=ℏl(l+1)−m(m±1) Ylm±1 ## 参考资料 1. [【兰兰的不自量力】量子力学考研教学视频15：氢原子与角动量](https://www.bilibili.com/video/BV1Ck4y117p1) 2. 《量子力学概论》格里菲斯