量子力学 15 氢原子与角动量

[1 二体问题](#1 二体问题)
[2 氢原子的定态解](#2 氢原子的定态解)
[3 角动量](#3 角动量)
参考资料

1 二体问题

对于一个单粒子而言, Ψ ( r , t ) \Psi(\mathbf{r},\ t) Ψ(r, t) 是空间坐标 r \mathbf{r} r 和时间 t t t 的函数（我们暂时忽略自旋）。而有两个粒子的体系的状态则是粒子 1 的坐标（ r 1 \mathbf{r}_1 r1）、粒子 2 的坐标（ r 2 \mathbf{r}_2 r2）和时间的函数：
ψ ( r 1 , r 2 , t ) . \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t). ψ(r1,r2,t).

它随时间的演化由薛定谔方程决定：
i ℏ ∂ ψ ∂ t = H ψ , i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi, iℏ∂t∂ψ=Hψ,

其势能是库伦势：
V ( r ) = − e 2 4 π ε 0 1 ∣ r 1 − r 2 ∣ V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|} V(r)=−4πε0e2∣r1−r2∣1

其中 H 是整个体系的哈密顿：
H = − ℏ 2 2 m 1 ∇ 1 2 − ℏ 2 2 m 2 ∇ 2 2 + V ( r 1 , r 2 , t ) H = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2 + V(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) H=−2m1ℏ2∇12−2m2ℏ2∇22+V(r1,r2,t)

（ ∇ \nabla ∇ 的下标 1 或 2 表示微分仅对粒子 1 或粒子 2 的坐标作用）。此时的统计诠释很明确：
∣ ψ ( r 1 , r 2 , t ) ∣ 2 d 3 r 1 d 3 r 2 |\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t)|^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 ∣ψ(r1,r2,t)∣2d3r1d3r2

是在体积元 d 3 r 1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 d3r1 中发现粒子 1 并在体积元 d 3 r 2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 d3r2 中发现粒子 2 的几率；当然， Ψ \Psi Ψ 必须是归一化的：
∫ ∣ ψ ( r 1 , r 2 , t ) ∣ 2 d 3 r 1 d 3 r 2 = 1 \int |\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t)|^2 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_1 \mathrm{d}^3\mathbf{r}_2 = 1 ∫∣ψ(r1,r2,t)∣2d3r1d3r2=1

对于势能不显含时间的情况，我们通过分离变量得到一套完备的解：
ψ ( r 1 , r 2 , t ) = ψ ( r 1 , r 2 ) e − i E t / ℏ , \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) e^{-iEt/\hbar}, ψ(r1,r2,t)=ψ(r1,r2)e−iEt/ℏ,

这里，空间波函数 Ψ \Psi Ψ 满足定态薛定谔方程：
− ℏ 2 2 m 1 ∇ 1 2 ψ − ℏ 2 2 m 2 ∇ 2 2 ψ + V ψ = E ψ , -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2 \psi + V\psi = E\psi, −2m1ℏ2∇12ψ−2m2ℏ2∇22ψ+Vψ=Eψ,

其中，E 为系统总能量。

对于类似库伦势这样的二体相互作用势，我们常用质心坐标处理：

设相对位矢 r = r 1 − r 2 \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 r=r1−r2，质心坐标： R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 \boldsymbol{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} R=m1+m2m1r1+m2r2，并称 μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} μ=m1+m2m1m2 为约化质量。

可证明二体体系的定态薛定谔方程可以写作：
− ℏ 2 2 ( m 1 + m 2 ) ∇ R 2 ψ − ℏ 2 2 μ ∇ r 2 ψ + V ( r ) ψ = E ψ -\frac{\hbar^2}{2(m_1 + m_2)} \nabla_R^2 \psi - \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 \psi + V(\mathbf{r})\psi = E\psi −2(m1+m2)ℏ2∇R2ψ−2μℏ2∇r2ψ+V(r)ψ=Eψ

(格里菲斯书习题 5.1)

以上的形式可以通过分离变量法求解，使其化为两个方程：
− ℏ 2 2 M ∇ R 2 ψ R ( R ) = E R ψ R ( R ) 和 ( − ℏ 2 2 μ ∇ r 2 + V ( r ) ) ψ r ( r ) = E r ψ r ( r ) -\frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 \psi_R(\boldsymbol{R}) = E_R \psi_R(\boldsymbol{R}) \quad \text{和} \quad \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_r^2 + V(\boldsymbol{r}) \right) \psi_r(\boldsymbol{r}) = E_r \psi_r(\boldsymbol{r}) −2Mℏ2∇R2ψR(R)=ERψR(R)和(−2μℏ2∇r2+V(r))ψr(r)=Erψr(r)

方程1表示质心的自由运动，不必考虑；方程2表示二体体系的内部结构，是我们的研究对象。

2 氢原子的定态解

我们考虑氢原子，电子质量 m e m_e me远远小于质子质量 m p m_p mp，那么 μ = m e m p m e + m p ≈ m e \mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}≈m_e μ=me+mpmemp≈me,氢原子的定态薛定谔方程为
( − ℏ 2 2 m e ∇ r 2 + V ( r ) ) ψ r ( r ) = E r ψ r ( r ) \left( -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla_r^2 + V(\boldsymbol{r}) \right) \psi_r(\boldsymbol{r}) = E_r \psi_r(\boldsymbol{r}) (−2meℏ2∇r2+V(r))ψr(r)=Erψr(r)

对于这种中心力场，我们知道其定态波函数可以分离变量为球谐函数与径向函数的乘积。而中心力场（球对称势），球谐函数都是一样的（上节课结论），所以只考虑径向波函数（因为要取决于 V ( r ) V(r) V(r)的具体形式）。

径向方程
− ℏ 2 2 m d 2 u d r 2 + $- e 2 4 π ε 0 1 r + ℏ 2 2 m l ( l + 1 ) r 2$ u = u E . -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left $-\\frac{e\^2}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{1}{r} + \\frac{\\hbar\^2}{2m}\\frac{l(l+1)}{r\^2}\\right$ u = uE. −2mℏ2dr2d2u+ $-4πε0e2r1+2mℏ2r2l(l+1)$ u=uE.

求解过程类似于谐振子的解析解法------考察渐进行为、寻找多项式、根据归一化条件对多项式进行截断------得到一个最高次的多项式指标 n n n（主量子数）。

求解出玻尔公式（氢原子能级公式）：
E n = − $m 2 ℏ 2 ( e 2 4 π ε 0 ) 2$ 1 n 2 = E 1 n 2 , n = 1 , 2 , 3 , ... E_n = -\left $\\frac{m}{2\\hbar\^2}\\left(\\frac{e\^2}{4\\pi\\varepsilon_0}\\right)\^2\\right$ \frac{1}{n^2} = \frac{E_1}{n^2}, \quad n=1,2,3,\dots En=− $2ℏ2m(4πε0e2)2$ n21=n2E1,n=1,2,3,...

n n n 代表电子所属的电子层（能级）。

n = 1 n = 1 n=1：称为基态（Ground State）。这是氢原子的最低能量状态，对应公式中的 E 1 E_1 E1（约等于 − 13.6 eV -13.6 \text{ eV} −13.6 eV）。
n = 2 , 3 , 4 , . . . n = 2, 3, 4, ... n=2,3,4,...：称为激发态（Excited States）。

你可以把氢原子想象成一栋只有一个房客（电子）的摩天大楼。这栋楼有很多层（ n = 1 , 2 , 3... n=1, 2, 3... n=1,2,3...），每层都有房间。虽然房客只有一个，但他可以住在一楼（基态），也可以搬到二楼、三楼（激发态）。电子层并不是真实存在的实体轨道，而是电子可能出现的能量状态和空间区域。

能量的"跳跃"（跃迁）

虽然氢原子平时倾向于呆在能量最低、最稳定的第一层（ n = 1 n=1 n=1），但如果外界给了它能量（比如光照、加热或电流撞击），这个电子就会"跳"到高层去。

吸收能量：电子从 n = 1 n=1 n=1 跳到 n = 2 , 3... n=2, 3... n=2,3...（就像人往楼上爬）。
释放能量：电子在高层呆不稳，会掉回低层，并把多余的能量以光子的形式射出来。这就是为什么我们能看到氢原子的光谱。

氢原子的束缚定态波函数 ψ n l m = R n l ( r ) Y l m ( θ , φ ) \psi_{nlm} = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)，每一个定态我们常称为氢原子轨道。

ψ n l m \psi_{nlm} ψnlm 取决于 n n n---主量子数， l l l---角量子数， m m m---磁量子数。

n = 1 , 2 , ... n = 1,2,\dots n=1,2,...
l = 0 , 1 , ... , n − 1 l = 0,1,\dots,n-1 l=0,1,...,n−1
m = − l , − l + 1 , − l + 2 , ... , 0 , ... , + l − 1 , + l m = -l, -l+1, -l+2, \dots, 0, \dots, +l-1, +l m=−l,−l+1,−l+2,...,0,...,+l−1,+l

对（类）氢原子来说，能量 E n E_n En 只取决于主量子数 n n n。所以氢原子能量是 n 2 n^2 n2 度简并的。

示例： E 3 E_3 E3 对应的波函数有 ψ 300 \psi_{300} ψ300、 ψ 31 − 1 \psi_{31-1} ψ31−1、 ψ 310 \psi_{310} ψ310、 ψ 311 \psi_{311} ψ311、 ψ 32 − 2 \psi_{32-2} ψ32−2、 ψ 32 − 1 \psi_{32-1} ψ32−1、 ψ 320 \psi_{320} ψ320、 ψ 321 \psi_{321} ψ321、 ψ 322 \psi_{322} ψ322。

等差数列求和
1 + 3 + 5 + ⋯ + （ 2 n − 1 ） = n 2 1+3+5+\cdots+（2n-1）=n^2 1+3+5+⋯+（2n−1）=n2

正交归一性：
∫ 0 ∞ ∣ R ∣ 2 r 2 d r = 1 \int_0^\infty |R|^2 r^2 dr = 1 ∫0∞∣R∣2r2dr=1

和
∫ 0 2 π ∫ 0 π ∣ Y ∣ 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ = 1. \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |Y|^2 \sin\theta d\theta d\phi = 1. ∫02π∫0π∣Y∣2sinθdθdϕ=1.

以及
∫ Ψ n l m ∗ Ψ n ′ l ′ m ′ r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . \int \Psi_{nlm}^* \Psi_{n'l'm'} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi = \delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'}. ∫Ψnlm∗Ψn′l′m′r2sinθdrdθdϕ=δnn′δll′δmm′.

狄拉克符号形式：
⟨ Ψ n l m ∣ Ψ n ′ l ′ m ′ ⟩ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . \langle \Psi_{nlm} | \Psi_{n'l'm'} \rangle = \delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'}. ⟨Ψnlm∣Ψn′l′m′⟩=δnn′δll′δmm′.

3 角动量

经典力学中角动量 L = r × p \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} L=r×p,其三个分量为：
L x = y p z − z p y , L y = z p x − x p z , L z = x p y − y p x . L_x = y p_z - z p_y, \quad L_y = z p_x - x p_z, \quad L_z = x p_y - y p_x. Lx=ypz−zpy,Ly=zpx−xpz,Lz=xpy−ypx.

其行列式表达：
∣ L x L y L z x y z p x p y p z ∣ \begin{vmatrix} L_x & L_y & L_z \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} LxxpxLyypyLzzpz

即各个分量的代数余子式。

对应到量子力学中就是将 p \boldsymbol{p} p 代换成相应的算符:
L ^ x = y p ^ z − z p ^ y = y ( − i ℏ ∂ ∂ z ) + z ( i ℏ ∂ ∂ y ) \hat{L}_x = y \hat{p}_z - z \hat{p}_y = y\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}\right) + z\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\right) L^x=yp^z−zp^y=y(−iℏ∂z∂)+z(iℏ∂y∂)

角动量三分量算符的对易关系：

$L \^ x , L \^ y$ = $y p \^ z − z p \^ y , z p \^ x − x p \^ z$ = $y p \^ z , z p \^ x$ − $y p \^ z , x p \^ z$ − $z p \^ y , z p \^ x$ + $z p \^ y , x p \^ z$ = y $p \^ z , z p \^ x$ + $y , z p \^ x$ p ^ z − 0 − 0 + z $p \^ y , x p \^ z$ + $z , x p \^ z$ p ^ y = y ( − i ℏ ) p ^ x + 0 + 0 + x ( i ℏ ) p ^ y = i ℏ ( x p ^ y − y p ^ x ) = i ℏ L ^ z \begin{aligned} $\\hat{L}_x, \\hat{L}_y$ &= $y\\hat{p}_z - z\\hat{p}_y,\\ z\\hat{p}_x - x\\hat{p}_z$ \\ &= $y\\hat{p}_z, z\\hat{p}_x$ - $y\\hat{p}_z, x\\hat{p}_z$ - $z\\hat{p}_y, z\\hat{p}_x$ + $z\\hat{p}_y, x\\hat{p}_z$ \\ &= y $\\hat{p}_z, z\\hat{p}_x$ + $y, z\\hat{p}_x$ \hat{p}_z - 0 - 0 + z $\\hat{p}_y, x\\hat{p}_z$ + $z, x\\hat{p}_z$ \hat{p}_y \\ &= y(-i\hbar)\hat{p}_x + 0 + 0 + x(i\hbar)\hat{p}_y \\ &= i\hbar(x\hat{p}_y - y\hat{p}_x) = i\hbar \hat{L}_z \end{aligned} $L\^x,L\^y$ = $yp\^z−zp\^y, zp\^x−xp\^z$ = $yp\^z,zp\^x$ − $yp\^z,xp\^z$ − $zp\^y,zp\^x$ + $zp\^y,xp\^z$ =y $p\^z,zp\^x$ + $y,zp\^x$ p^z−0−0+z $p\^y,xp\^z$ + $z,xp\^z$ p^y=y(−iℏ)p^x+0+0+x(iℏ)p^y=iℏ(xp^y−yp^x)=iℏL^z

有
$L x , L y$ = i ℏ L z ; $L y , L z$ = i ℏ L x ; $L z , L x$ = i ℏ L y . $L_x, L_y$ = i\hbar L_z; \quad $L_y, L_z$ = i\hbar L_x; \quad $L_z, L_x$ = i\hbar L_y. $Lx,Ly$ =iℏLz; $Ly,Lz$ =iℏLx; $Lz,Lx$ =iℏLy.

因为角动量三分量互不对易，所以它们并没有共同本征函数。

但 L ^ 2 = L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 L^2=L^x2+L^y2+L^z2，与各分量是对易的，比如：
$L 2 , L x$ = $L x 2 , L x$ + $L y 2 , L x$ + $L z 2 , L x$ = L y $L y , L x$ + $L y , L x$ L y + L z $L z , L x$ + $L z , L x$ L z = L y ( − i ℏ L z ) + ( − i ℏ L z ) L y + L z ( i ℏ L y ) + ( i ℏ L y ) L z = 0 \begin{aligned} $L\^2, L_x$ &= $L_x\^2, L_x$ + $L_y\^2, L_x$ + $L_z\^2, L_x$ \\ &= L_y $L_y, L_x$ + $L_y, L_x$ L_y + L_z $L_z, L_x$ + $L_z, L_x$ L_z \\ &= L_y(-i\hbar L_z) + (-i\hbar L_z)L_y + L_z(i\hbar L_y) + (i\hbar L_y)L_z \\ &= 0 \end{aligned} $L2,Lx$ = $Lx2,Lx$ + $Ly2,Lx$ + $Lz2,Lx$ =Ly $Ly,Lx$ + $Ly,Lx$ Ly+Lz $Lz,Lx$ + $Lz,Lx$ Lz=Ly(−iℏLz)+(−iℏLz)Ly+Lz(iℏLy)+(iℏLy)Lz=0

同样， L 2 L^2 L2 也同 L y L_y Ly 和 L z L_z Lz 对易：

$L 2 , L x$ = 0 , $L 2 , L y$ = 0 , $L 2 , L z$ = 0 $L\^2, L_x$ = 0, \quad $L\^2, L_y$ = 0, \quad $L\^2, L_z$ = 0 $L2,Lx$ =0, $L2,Ly$ =0, $L2,Lz$ =0

所以我们可以找到 L ^ 2 \hat{L}^2 L^2 与 L ^ z \hat{L}_z L^z 的共同本征态：
L ^ 2 f = λ f , L ^ z f = μ f \hat{L}^2 f = \lambda f, \quad \hat{L}_z f = \mu f L^2f=λf,L^zf=μf

我们将用前面章节应用于谐振子问题非常相似的 "梯子算符" 方法。令

L ± ≡ L x ± i L y . L_{\pm} \equiv L_x \pm iL_y. L±≡Lx±iLy.

L ± L_{\pm} L± 与 L z L_z Lz 的对易关系为
$L z , L \pm$ = $L z , L x$ ± i $L z , L y$ = i ℏ L y ± i ( − i ℏ L x ) = ± ℏ ( L x ± i L y ) , $L_z, L_{\\pm}$ = $L_z, L_x$ \pm i $L_z, L_y$ = i\hbar L_y \pm i(-i\hbar L_x) = \pm\hbar(L_x \pm iL_y), $Lz,L\pm$ = $Lz,Lx$ ±i $Lz,Ly$ =iℏLy±i(−iℏLx)=±ℏ(Lx±iLy),

所以
$L z , L \pm$ = ± ℏ L ± $L_z, L_{\\pm}$ = \pm\hbar L_{\pm} $Lz,L\pm$ =±ℏL±

当然，也有
$L 2 , L \pm$ = 0 $L\^2, L_{\\pm}$ = 0 $L2,L\pm$ =0

证明：如果 f f f 是 L 2 L^2 L2 和 L z L_z Lz 的本征函数，那么 L ± f L_{\pm}f L±f 也是。

由于 L 2 L^2 L2和 L ± L_{\pm} L±是对易的，所以可以交换顺序：
L 2 ( L ± f ) = L ± ( L 2 f ) = L ± ( λ f ) = λ ( L ± f ) , L^2(L_{\pm}f) = L_{\pm}(L^2 f) = L_{\pm}(\lambda f) = \lambda(L_{\pm}f), L2(L±f)=L±(L2f)=L±(λf)=λ(L±f),

所以 L ± f L_{\pm}f L±f 是 L 2 L^2 L2 相同的本征值 λ \lambda λ 的一个本征函数。

证明： L ± f L_{\pm}f L±f是不是 L z L_z Lz的本征函数。
L z ( L ± f ) = ( L z L ± − L ± L z ) f + L ± L z f = $L z , L \pm$ f + L ± L z f = ± ℏ L ± f + L ± ( μ f ) = ( μ ± ℏ ) ( L ± f ) \begin{aligned} L_z(L_{\pm}f) &= (L_z L_{\pm} - L_{\pm} L_z)f + L_{\pm} L_z f \\ &= $L_z,L_{\\pm}$ f + L_{\pm} L_z f \\ &= \pm\hbar L_{\pm} f + L_{\pm}(\mu f)\\ &= (\mu \pm \hbar)(L_{\pm}f) \end{aligned} Lz(L±f)=(LzL±−L±Lz)f+L±Lzf= $Lz,L\pm$ f+L±Lzf=±ℏL±f+L±(μf)=(μ±ℏ)(L±f)

所以 L ± f L_{\pm}f L±f 是 L z L_z Lz 的一个本征函数，但是本征值为 μ ± ℏ \mu \pm \hbar μ±ℏ。我们称 L + L_+ L+ 为 "升阶" 算符，因为它使 L z L_z Lz 的本征值增加一个 ℏ \hbar ℏ， L − L_- L− 为 "降阶" 算符，它使 L z L_z Lz 的本征值减少一个 ℏ \hbar ℏ。

对于分量 z z z，我们得到了关于其本征值和本征函数的"梯子"：

升高的过程不能永远持续下去，因为这样会达到一个 z z z分量超过总量的态，而这是不可能的。一定存在一个最高的阶梯 f t f_t ft ，使得：
L + f l = 0. L_+ f_l = 0. L+fl=0.

假设 ℏ l \hbar l ℏl 是 L z L_z Lz 在这个最高阶梯的本征值：
L z f t = ℏ l f t ; L 2 f t = λ f t . L_z f_t = \hbar l f_t; \quad L^2 f_t = \lambda f_t. Lzft=ℏlft;L2ft=λft.

因为
L ± L ∓ = ( L x ± i L y ) ( L x ∓ i L y ) = L x 2 + L y 2 ∓ i ( L x L y − L y L x ) = L 2 − L z 2 ∓ i ( i ℏ L z ) , \begin{aligned} L_\pm L_\mp &= (L_x \pm i L_y)(L_x \mp i L_y) = L_x^2 + L_y^2 \mp i(L_x L_y - L_y L_x) \\ &= L^2 - L_z^2 \mp i(i\hbar L_z), \end{aligned} L±L∓=(Lx±iLy)(Lx∓iLy)=Lx2+Ly2∓i(LxLy−LyLx)=L2−Lz2∓i(iℏLz),

或者写作另一种形式，
L 2 = L ± L ∓ + L z 2 ∓ ℏ L z L^2 = L_\pm L_\mp + L_z^2 \mp \hbar L_z L2=L±L∓+Lz2∓ℏLz

因此有
L 2 f t = ( L − L + + L z 2 + ℏ L z ) f t = ( 0 + ℏ 2 l 2 + ℏ 2 l ) f t = ℏ 2 l ( l + 1 ) f t = λ f t \begin{aligned} L^2 f_t &= (L_- L_+ + L_z^2 + \hbar L_z) f_t \\ &= (0 + \hbar^2 l^2 + \hbar^2 l) f_t \\ &= \hbar^2 l(l+1) f_t = \lambda f_t \end{aligned} L2ft=(L−L++Lz2+ℏLz)ft=(0+ℏ2l2+ℏ2l)ft=ℏ2l(l+1)ft=λft

得到，以 L z L_z Lz 的最大量子数 l l l 表示的 L 2 L^2 L2 的本征值为：
λ = ℏ 2 l ( l + 1 ) \lambda = \hbar^2 l(l+1) λ=ℏ2l(l+1)

同时也存在一个最低的阶梯， f b f_b fb，使得
L − f b = 0. L_- f_b = 0. L−fb=0.

设在 f b f_b fb 态， L z L_z Lz 的本征值为 ℏ l ˉ \hbar \bar l ℏlˉ：
L z f b = ℏ l ˉ f b ; L 2 f b = λ f b . L_z f_b = \hbar \bar l f_b; \quad L^2 f_b = \lambda f_b. Lzfb=ℏlˉfb;L2fb=λfb.

我们有
L 2 f b = ( L + L − + L z 2 − ℏ L z ) f b = ( 0 + ℏ 2 l ˉ 2 − ℏ 2 l ˉ ) f b = ℏ 2 l ˉ ( l ˉ − 1 ) f b , \begin{aligned} L^2 f_b &= (L_+ L_- + L_z^2 - \hbar L_z) f_b \\ &= (0 + \hbar^2 \bar l^2 - \hbar^2 \bar l) f_b \\ &= \hbar^2 \bar l(\bar l - 1) f_b, \end{aligned} L2fb=(L+L−+Lz2−ℏLz)fb=(0+ℏ2lˉ2−ℏ2lˉ)fb=ℏ2lˉ(lˉ−1)fb,

所以
λ = ℏ 2 l ˉ ( l ˉ − 1 ) 其中 l ˉ = − l \lambda = \hbar^2 \bar l(\bar l - 1) \quad \text{其中} \quad \bar l=-l λ=ℏ2lˉ(lˉ−1)其中lˉ=−l

L z L_z Lz 的本征值显然应是 m ℏ m\hbar mℏ 的形式， m m m 必须是整数，有 2 l + 1 2l+1 2l+1 个值： − l , − l + 1 , ... , l − 1 , l -l,\ -l+1,\ \dots,\ l-1,\ l −l, −l+1, ..., l−1, l。
l l l 必须是整数或半整数。

L 2 L^2 L2 和 L z L_z Lz 的共同本征函数由数 l l l 和 m m m 表征：

L 2 f l m = ℏ 2 l ( l + 1 ) f l m ; L z f l m = ℏ m f l m L^2 f_l^{m} = \hbar^2 l(l+1) f_l^{m}; \quad L_z f_l^{m} = \hbar m f_l^{m} L2flm=ℏ2l(l+1)flm;Lzflm=ℏmflm

最后，事实上， L ^ 2 \hat{L}^2 L^2 与 L ^ z \hat{L}z L^z 的共同本征函数就是球谐函数 Y l m Y{lm} Ylm：

L ^ 2 Y l m = ℏ 2 l ( l + 1 ) Y l m , L ^ z Y l m = m ℏ Y l m \hat{L}^2 Y_{lm} = \hbar^2 l(l+1) Y_{lm}, \quad \hat{L}z Y{lm} = m\hbar Y_{lm} L^2Ylm=ℏ2l(l+1)Ylm,L^zYlm=mℏYlm

还有：
L ^ ± Y l m = ℏ l ( l + 1 ) − m ( m ± 1 ) Y l m ± 1 \hat{L}\pm Y{lm} = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} Y_{lm\pm 1} L^±Ylm=ℏl(l+1)−m(m±1) Ylm±1

参考资料

【兰兰的不自量力】量子力学考研教学视频15：氢原子与角动量
《量子力学概论》格里菲斯